1、2019 年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分） 的相反数是（ ）A B6 C6 D2（3 分）我国人工智能在 2017 年迎来发展的“应用元年“，预计 2020 年中国人工智能核心产业规模超 1500 亿元，将 150000000000 这个数用科学记数法表示为（ ）A1510 10 B1.510 11 C1.510 12 D0.1510 123（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）A B C D4（3 分）将不等式组 的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）A BC D
2、5（3 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC于点 E，若 A54，B46则CDE 的大小为（ ）A45 B40 C39 D356（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的边 AB 在 x 轴的正半轴上，ABC 90，点 B 在点 A 的右侧，点 C 在第一象限将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 75得到ADE，点 C 的对应点 E 恰好落在 y 轴的正半轴上，若点 A 的坐标为（1，0），则边 AB 的长为（ ）A B C2 D7（3 分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一
3、个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC 约为 26.5，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为（ ）Aasin26.5 B Cacos26.5 D8（3 分）如图，在平面直角坐标系中直线 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，C 是 OB 的中点，D 是线段 AB 上一点，若 CDOC，则点 D 的坐标为（ ）A（3，9） B（3， ） C（4，8） D.（4，7）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）比较大小： 3（填写“”或“”）10（3 分）分解因式：a 32a 2b+ab2 1
4、1（3 分）如图，ABDE，AE 与 BD 相交于点 C若 AC4，BC2，CD1，则 CE的长为 12（3 分）已知线段 AB 按以下步骤作图：分别以点 A，点 B 为圆心，以 AB 长为半径作圆弧，两弧相交于点 C；连结 AC、BC；以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D；连结 BD则ADB 的大小是 度13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 （x0）的图象经过点 A，ABx 轴于点 B，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，CDx 轴于点 D若ABD 的面积为 8，则 k的值为 14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+3x+2 与
5、y 轴交于点 A，点 B 是抛物线的顶点，点 C 与点 A 是抛物线上的两个对称点，点 D 在 x 轴上运动，则四边形ABCD 的两条对角线的长度之和的最小值为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简，再求值：（2x1） 2+（x+2）（x2）4x（x1），其中x 16（6 分）在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率17（6 分）在创建文明城市的进程中某市为美化城市环境，计划种植树木
6、6000 棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多 20%，结果提前 5 天完成任务，求原计划每天植树的棵数18（7 分）图 1、图 2 均是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB的端点均在格点上，（1）点 C 在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图 1 中用黑色实心圆点标出点 C 所有可能的位置，（2）如图 2，点 D、M、N 均在格点上，请用无刻度的直尺在线段 MN 上找到一点 E，使线段 DE AB（保留作图痕迹）19（7 分）如图，PC 是O 的直径，PA 切O 于点 P，OA 交O 于点 B，连结 BC已知O 的半径为 2，C 35（1）求A 的度数（
7、2）求 的长20（7 分）某中学八、九两个年级各有学生 180 人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：（1）收集数据从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90八年级75 79 81 70 74 80 86 69 83 7793 73 88 81 72 81 94 83 77 83九年级80 81 70 81 73 78 82 80 70 40（2）整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩 x 40x49 50x59 60x69 70x79 80x89
8、 90x100八年级 0 0 1 11 7 1九年级 1 0 0 7 10 2（说明：成绩 80 分及以上为体质健康优秀，7079 分为体质健康良好，6069 分为体质健康合格，60 分以下为体质健康不合格）（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整：平均数 中位数 众数八年级 78.3 77.5 九年级 78 81（4）得出结论估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为 可以推断出 年级学生的体质健康情况更好一些，理由为 至少从两个不同的角度说明推断的合理性）21（8 分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另
9、一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低当隧道气打通时，甲队工作了 40 天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为 y（米），甲队的工作时间为 x（天），y 与 x 之间的函数图象如图所示（1）求甲队的工作效率（2）求乙队调离一部分工人后 y 与 x 之间的函数关系式（3）求这条隧道的总长度22（9 分）问题探究：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，且 AEDF线段 BE 与 AF 相交于点 G，GH 是BFG 的中线（1）求证：ABEDAF（2）判断线段 BF 与 GH 之间的数量关系，并说明理由问题拓展：如图，在
10、矩形 ABCD 中，AB4，AD6点 E 在边 AD 上，点 F 在边CD 上，且 AE2，DF3，线段 BE 与 AF 相交于点 G若 GH 是BFG 的中线，则线段 GH 的长为 23（10 分）如图，在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC8点 P 从点 A 出发，沿AB 以每秒 1 个单位的速度向终点 B 运动；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 ACCB 以每秒2 个单位的速度向终点 B 运动，当 P、Q 两点其中一点到达点 B 时，另一点也随之停止运动，过点 P 作 PMAC，过点 Q 作 QMAB当点 M 与点 Q 不重合时，以 PM、QM为邻边作 PM、 QN设 P、Q 两点的
11、运动时间为 t（t 0）秒（1）求线段 CQ 的长（用含 t 的代数式表示）（2）点 Q 在边 AC 上运动，当点 M 落在边 BC 上时，求 t 的值（3）设PMQN 与ABC 重叠部分图形的面积为 S（S0），当点 M 在ABC 内部时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）当PMQN 的一边是它邻边 2 倍时，直接写出 t 的取值范围24（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 24ax+3（a0）与抛物线 y+k 均经过点 A（ 1，0）直线 xm 在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）函数 yax 24ax +3（xm ）的图象记为 G1，函数y +k（xm）的图象
12、记为 G2，图象 G1 与 G2 合起来得到的图形记为 G（1）求 a、k 的值（2）当 m 时，求图形 G 上 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围（3）当2x 时，图形 G 上最高点的纵坐标为 2，求 m 的值（4）当直线 y2m 1 与图形 G 有 2 个公共点时，直接写出 m 的取值范围2019 年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）1（3 分） 的相反数是（ ）A B6 C6 D【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案【解答】解： +（ ） 0， 的相反数是： 故选：A【点评】此题主要考查了相反数，
13、正确把握相反数的定义是解题关键2（3 分）我国人工智能在 2017 年迎来发展的“应用元年“，预计 2020 年中国人工智能核心产业规模超 1500 亿元，将 150000000000 这个数用科学记数法表示为（ ）A1510 10 B1.510 11 C1.510 12 D0.1510 12【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：1500000000001.510 11，故选：B【
14、点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）如图是由 5 个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）A B C D【分析】根据组合体的形状即可求出答案【解答】解：这个立体图形的俯视图是：故选：D【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力解题的关键是根据组合体的形状进行判断4（3 分）将不等式组 的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）A BC D【分析】首先解出两个不等式的解集；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解
15、集在数轴上表示出来即可【解答】解：解不等式 得， x3解不等式 得， x4在数轴上表示为：故选：A【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示5（3 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC于点 E，若 A54，B46则CDE 的大小为（ ）A45 B40 C39 D35【分析】根据三角形内
16、角和得出ACB，利用角平分线得出DCB，再利用平行线的性质解答即可【解答】解：A54，B46，ACB180544680，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，DCB 8040，DEBC，CDEDCB40，故选：B【点评】此题考查三角形内角和问题，关键是根据三角形内角和、角平分线的定义和平行线的性质解答6（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的边 AB 在 x 轴的正半轴上，ABC 90，点 B 在点 A 的右侧，点 C 在第一象限将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 75得到ADE，点 C 的对应点 E 恰好落在 y 轴的正半轴上，若点 A 的坐标为（1，0），则边 AB 的
17、长为（ ）A B C2 D【分析】在 RtAEO 中，求出 AE 即可解决问题【解答】解：A（1，0），OA1，由题意EAO180754560，在 Rt AEO 中，AE 2OA2，在 Rt ABC 中ABC 90，ABCB，AB AC ，故选：A【点评】本题考查坐标与图形的变化，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型7（3 分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a已知，冬至时北京的正午日光入射角ABC 约为 26.5，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC
18、 的长）约为（ ）Aasin26.5 B Cacos26.5 D【分析】根据题意和图形，可以用含 a 的式子表示出 BC 的长，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，故选：B【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答8（3 分）如图，在平面直角坐标系中直线 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，C 是 OB 的中点，D 是线段 AB 上一点，若 CDOC，则点 D 的坐标为（ ）A（3，9） B（3， ） C（4，8） D.（4，7）【分析】由解析式求得 B 的坐标，加入求得 C 的坐标，OC 5，设 D（x，
19、+10），根据勾股定理得出 x2+（ 5） 225，解得 x4，即可求得 D 的坐标【解答】解：由直线 可知：B（0，10），OB10，C 是 OB 的中点，C（0，5），OC5，CDOC ，CD5，D 是线段 AB 上一点，设 D（x， +10），CD 5，x 2+（ 5） 225，解得 x14，x 20（舍去）D（4，8），故选：C【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求得 C 的坐标，根据勾股定理列出方程是解题的关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）9（3 分）比较大小： 3（填写“”或“”）【分析】首先把两个数分别平方，然后比较平方的结果即可比较大小
20、【解答】解：79， 3故答案为：【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等实数大小比较法则：（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2）两个负数，绝对值大的反而小10（3 分）分解因式：a 32a 2b+ab2 a（ab） 2 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式a（a 22ab+b 2）a（ab） 2，故答案为：a（ab） 2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键11（3 分）如图，ABDE，AE 与 BD 相交于点 C若 AC4，BC2，CD1，则 CE的长为
21、 2 【分析】先证明ABCEDC，然后利用相似比计算 CE 的长【解答】解：ABDE ，ABCEDC， ，即 ，CE2故答案为 2【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活应用相似三角形相似的性质进行几何计算也考查了解直角三角形12（3 分）已知线段 AB 按以下步骤作图：分别以点 A，点 B 为圆心，以 AB 长为半径作圆弧，两弧相交于点 C；连结 AC、BC；以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆弧，交 AC 的延长线于点 D；连结
22、BD则ADB 的大小是 30 度【分析】利用作法得到 CA CBAB，CB CD，则可判断 ABC 为等边三角形，所以ACB60，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算D 的度数【解答】解：由作法得 CA CBAB，CB CD，ABC 为等边三角形，ACB60，而 CBCD，DCBD，而ACBD+CBD60，D30故答案为 30【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）13（3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 （x0）的图象经过点 A，ABx 轴于点 B，点
23、 C 与点 A 关于原点 O 对称，CDx 轴于点 D若ABD 的面积为 8，则 k的值为 8 【分析】设点 A 的坐标为 A（a， ），则点 C 的坐标为（a， ）利用三角形的面积公式构建方程即可求出 k 的值【解答】解：设点 A 的坐标为 A（a， ），点 C 与点 A 关于原点 O 对称，点 C 的坐标为（a， ）ABx 轴于点 B，CDx 轴于点 D，B，D 两点的坐标分别为 B（a，0），D （a，0）BD2a，AB ，ABD 的面积为 8，S ABD ABBD （2a）8，解得 k8，故答案为8【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的意义，利用关于原点对称的点的坐标得出 C 点坐标
24、是解题关键14（3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+3x+2 与 y 轴交于点 A，点 B 是抛物线的顶点，点 C 与点 A 是抛物线上的两个对称点，点 D 在 x 轴上运动，则四边形ABCD 的两条对角线的长度之和的最小值为 【分析】先将函数化为顶点式 y（x ） 2+ ，所以顶点坐标 B（ ），对称轴为直线 x ，BD 最小值为 ，又点 C 与点 A 是抛物线上的两个对称点，对称轴为直线 x ，所以 C（3，2），AC3，因此四边形 ABCD 的两条对角线的长度之和AC+BD 的最小值为 +2 【解答】解：yx 2+3x+2（x ） 2+ ，B（ ），对称轴为直线 x当 B
25、Dx 轴时，BD 最小， BD令 x0，则 y2，点 C 与点 A 是抛物线上的两个对称点，对称轴为直线 x ，C（3，2）AC3，四边形 ABCD 的两条对角线的长度之和 AC+BD 的最小值为 +2 ，故答案为 【点评】本题考查了二次函数的性质与二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键三、解答题（本大题共 10 小题，共 78 分）15（6 分）先化简，再求值：（2x1） 2+（x+2）（x2）4x（x1），其中x 【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值【解答】解：原式4x 24x+1+
26、x244x 2+4xx 23，当 x 时，原式231【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键16（6 分）在一个不透明的袋子中装有三个小球，分别标有数字2、2、3，这些小球除数字不同外其余均相同，现从袋子中随机摸出一个小球记下数字后放回，搅匀后再随机摸出一个小球，用画树状图或列表的方法，求两次摸出的小球上数字之和是正数的概率【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出小明两次摸出小球上的数字的和为正数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中和为正数的结果有 6 种，两次摸出的小球上数字之和是正数的概率为 【
27、点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率17（6 分）在创建文明城市的进程中某市为美化城市环境，计划种植树木 6000 棵，由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多 20%，结果提前 5 天完成任务，求原计划每天植树的棵数【分析】设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（1+20%）x 棵，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前 5 天完成任务，【解答】解：设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树（1+20%）x 棵，依题意，得： 5，解得：x200答
28、：原计划每天植树 200 棵【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键18（7 分）图 1、图 2 均是 33 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 AB的端点均在格点上，（1）点 C 在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图 1 中用黑色实心圆点标出点 C 所有可能的位置，（2）如图 2，点 D、M、N 均在格点上，请用无刻度的直尺在线段 MN 上找到一点 E，使线段 DE AB（保留作图痕迹）【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行双绞线的性质和三角形的中位线的性质即可得到结论【解答】解：（1）如图 1 所示；（2）如图 2
29、所示；【点评】此题主要考查了作图应用与设计作图，以及勾股定理，关键是正确根据题目要求画出图形19（7 分）如图，PC 是O 的直径，PA 切O 于点 P，OA 交O 于点 B，连结 BC已知O 的半径为 2，C 35（1）求A 的度数（2）求 的长【分析】（1）根据圆周角定理求出AOP，根据切线的性质计算，得到答案；（2）根据弧长公式计算即可【解答】解：（1）由圆周角定理得，AOP2C 70PA 切O 于点 P，APO90，A20；（2）BOC180AOP110， 【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键20（7 分）某中学八、九两个年级各有学生
30、 180 人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：（1）收集数据从八、九两个年级各随机抽取 20 名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90八年级75 79 81 70 74 80 86 69 83 7793 73 88 81 72 81 94 83 77 83九年级80 81 70 81 73 78 82 80 70 40（2）整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩 x 40x49 50x59 60x69 70x79 80x89 90x100八年级 0 0 1 11 7 1九年级
31、1 0 0 7 10 2（说明：成绩 80 分及以上为体质健康优秀，7079 分为体质健康良好，6069 分为体质健康合格，60 分以下为体质健康不合格）（3）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表，请将表格补充完整：平均数 中位数 众数八年级 78.3 77.5 80.5 九年级 78 75 81（4）得出结论估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为 108 可以推断出 九 年级学生的体质健康情况更好一些，理由为 两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些 至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【分析】（3）分析数据：
32、根据众数和中位线的定义即可得；（4） 总人数乘以样本中九年级体质优秀人数占九年级人数的比例即可得；从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些【解答】解：（3）八年级体质健康测试成绩的众数为：75，九年级体质健康测试成绩的中位数为 80.5；故答案为：75，80.5；（4） 估计九年级体质健康优秀的学生人数为 180 108 人，故答案为：108；（2）可以推断出九年级学生的体质健康情况更好一些，理由为两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些故答案为：九；两年级学生的平均数基本相同，而九年级的中位数
33、以及众数均高于八年级，说明九年级学生的体质健康情况更好一些【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据21（8 分）甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低当隧道气打通时，甲队工作了 40 天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为 y（米），甲队的工作时间为 x（天），y 与
34、 x 之间的函数图象如图所示（1）求甲队的工作效率（2）求乙队调离一部分工人后 y 与 x 之间的函数关系式（3）求这条隧道的总长度【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后 y 与 x 之间的函数关系式；（3）将 x40 代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度【解答】解：（1）甲队的工作效率是：7502530 米/天；（2）设乙队调离一部分工人后 y 与 x 之间的函数关系式 ykx +b，得 ，即乙队调离一部分工人后 y 与
35、x 之间的函数关系式是 y 25x+125；（3）将 x40 代入 y25x +125，得y2540+1251125，则这条隧道的总长度是：3040+11251200+11252325（米），答：这条隧道的总长度是 2325 米【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（9 分）问题探究：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 CD 上，且 AEDF线段 BE 与 AF 相交于点 G，GH 是BFG 的中线（1）求证：ABEDAF（2）判断线段 BF 与 GH 之间的数量关系，并说明理由问题拓展：如图，在矩形 ABCD 中，
36、AB4，AD6点 E 在边 AD 上，点 F 在边CD 上，且 AE2，DF3，线段 BE 与 AF 相交于点 G若 GH 是BFG 的中线，则线段 GH 的长为 【分析】（1）由正方形的性质得出BADD 90， ABDA ，由 SAS 证明ABE DAF 即可；（2）由全等三角形的性质得出ABEDAF，证出BGFABE+BAG90，在 Rt BFG 中，由直角三角形斜边上的中线性质得出 BF2GH；问题拓展：由三角函数得出ABEDAF，证出BGF90，在 RtBFG 中，由直角三角形斜边上的中线性质得出 BF2GH，由矩形的性质得出 C 90，BCAD6，CDAB4，得出 CFCDDF 1，
37、由勾股定理求出BF ，即可得出 GH 的长【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，BADD90，ABDA，在ABE 和DAF 中， ，ABE DAF（SAS）；（2）解：BF2GH；理由如下：ABE DAF，ABE DAF，DAF+BAG BAD 90，ABE +BAG90，BGFABE+BAG90，在 Rt BFG 中，GH 是边 BF 的中线，BF2GH；问题拓展：解：tanABE ，tan DAF ，ABE DAF，DAF+BAG BAD 90，ABE +BAG90，AGB90，BGF90，在 Rt BFG 中，GH 是边 BF 的中线，BF2GH，四边形 ABCD 是矩形，C9
38、0，BCAD6， CDAB 4，CFCDDF1，BF ，GH BF ；故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形和正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键23（10 分）如图，在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC8点 P 从点 A 出发，沿AB 以每秒 1 个单位的速度向终点 B 运动；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 ACCB 以每秒2 个单位的速度向终点 B 运动，当 P、Q 两点其中一点到达点 B 时，另一点也随之停止运动，过点 P 作 PMAC，过点 Q 作 QMAB当点 M 与点 Q
39、不重合时，以 PM、QM为邻边作 PM、 QN设 P、Q 两点的运动时间为 t（t 0）秒（1）求线段 CQ 的长（用含 t 的代数式表示）（2）点 Q 在边 AC 上运动，当点 M 落在边 BC 上时，求 t 的值（3）设PMQN 与ABC 重叠部分图形的面积为 S（S0），当点 M 在ABC 内部时，求 S 与 t 之间的函数关系式（4）当PMQN 的一边是它邻边 2 倍时，直接写出 t 的取值范围【分析】（1）分两种情况：当 0t3 时，点 Q 在线段 AC 上运动，当 3t 7 时，点Q 在线段 BC 上运动，于是得到结论；（2）根据勾股定理得到 AB 10，当点 M 落在边 BC 上
40、时，如图 1，根据相似三角形的性质和平行四边形的性质即可得到结论；（3）如图 2，当 0t 时，如图 3，当 5t 7 时，根据平行四边形的面积公式即可得到结论；（4） 当 0 t3 时，当 Q 在线段 AC 上运动时，如图 4，当点 Q 在线段 BC 上运动时，如图 5，当点 Q 在线段 BC 上运动时，根据题意列方程即可得到结论【解答】解：（1）在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC8，当 0t3 时，点 Q 在线段 AC 上运动，CQ62t ，当 3t7 时，点 Q 在线段 BC 上运动，CQ2t 6；（2）在 Rt ABC 中，C90，AC6，BC 8，AB 10，当点 M 落在边
41、 BC 上时，如图 1，QM AB，CQMCAB， ，CQ QM，PMAC，QMAB，四边形 APMQ 是平行四边形，QM APt，62t t，解得：t ；（3）如图 2，当 0t 时，S2t t t2，如图 3，当 5t7 时，S10t （142t ） （ 142t ） t2+ t63；综上所述，S 与 t 之间的函数关系式为： S ；（4） 当 0 t3 时，当 Q 在线段 AC 上运动时，即 AQ2t，APt ，AQ2AP，如图 4，当点 Q 在线段 BC 上运动时，PM2PN ，即 （142t） 210t （142t ） ，解得：t ，如图 5，当点 Q 在线段 BC 上运动时，2PM
42、PN，即 2 （142t）10t （142t ） ，解得：t ，当PMQN 的一边是它邻边 2 倍时，t 的取值范围为：0t3 或 或 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，直角三角形的性质，求函数的解析式，解直角三角形，正确的运用分类讨论思想是解题的关键24（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 24ax+3（a0）与抛物线 y+k 均经过点 A（ 1，0）直线 xm 在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）函数 yax 24ax +3（xm ）的图象记为 G1，函数y +k（xm）的图象记为 G2，图象 G1 与 G2 合起来得到的图形记为 G（1）求 a、k 的值（
43、2）当 m 时，求图形 G 上 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围（3）当2x 时，图形 G 上最高点的纵坐标为 2，求 m 的值（4）当直线 y2m 1 与图形 G 有 2 个公共点时，直接写出 m 的取值范围【分析】（1）把 A 点坐标代入两个函数解析式中，便可求得待定系数 a 和 k；（2）根据情况，画出函数图象，结合函数图象求解；（3）将 m 分两种情况画图讨论；（4）第四问需要画图找到四个临界点，结合图象解题【解答】解：（1）抛物线 yax 24ax +3（a0）与抛物线 y +k 图象 G1与均经过点 A（1，0）a4a+30， 22+k0 ，解得 a1，k2；（2）yx
44、24x +3（x2） 21，图象 G1 与的对称轴为直线 x2，y 2，图象 G2 与的对称轴为直线 x1，当 m 时，图形 G 上 y 随 x 的增大而减小时 x 的取值范围是 x1 或 x2；（3）当1m1 时，m 24m+3 2 （如图 1）解得 m12 ，m 22+ 1（舍去）当 1m2 时， （m+1 ） 222 （如图 2）解得 m11+2 ，m 212 1（舍去）（4）当直线 y2m 1 与 y（x2） 21，xm 相交时，2m1（m2） 21，m3+ ，m3 ；当直线 y2m1 与 y 2，xm 相交时，2m1 2m1+ ，m1 ，当 y2m12 时，m ，当 y2m11 时，m0 ， m1 ，m0， 3 m1+ ；【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的结合；能够将情况考虑周全，同时能够画出合理的图象，数形结合解题是关键
