1、2019 年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）1（3 分） 的绝对值是（ ）A5 B C D52（3 分）下列运算正确的是（ ）Aaa 3a 3 B（a 3） 2a 5 C（3ab 2） 39a 3b6 D（2a+1） 2 4a 2+4a+13（3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D4（3 分）点（1，4）在反比例函最 y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A（1，4） B（ ，8） C（1，4） D（4，1）5（3 分）大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）A B C D6（3 分）不等
2、式组 的最小整数解是（ ）A0 B1 C1 D27（3 分）甲队有工人 96 人，乙队有工人 72 人，如果要求乙队的人数是甲队人数的 ，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调 x 人到甲队，列出的方程正确的是（ ）A96+x （ 72x ） B （96+x）72xC （96x）72x D 96+x72x8（3 分）如图，小明想测量斜坡 CD 旁一棵垂直于地面 AE 的树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡CD 的长度为 20m，斜坡顶点 D 到地面的垂直高度 DE10m，则树 AB 的高度是（ ）mA20 B
3、30 C30 D409（3 分）如图，ABC 中，G、E 分别为 AB、AC 边上的点，GEBC，BDCE 交 EG延长线于 D，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D 10（3 分）小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从 A、B 出发，沿直线轨道同时到达 C 处，已知乙的速度是甲的速度的 1.5 倍，甲、乙两遥控车与 A 处的距离 d1、d 2（米）与时间 t（分钟）的函数关系如图所示，则下列结论中：AC 的距离为 120 米；乙的速度为 60 米/分；a 的值为 ；若甲、乙两遥控车的距离不少于 10 米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号
4、不会产生相互干扰的 t 的取值范围是 0t ，其中正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）11（3 分）将 6800000 用科学记数法表示为 12（3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是 13（3 分）计算 2 的结果是 14（3 分）把多项式 mx2+2m2x+m3 分解因式的结果是 15（3 分）已知扇形的半径为 6cm，面积为 10cm2，则该扇形的弧长等于 16（3 分）二次函数 y2（x+3） 24 的最小值为 17（3 分）在直角三角形 ABC 中，ACB 90，AB10，tanA ，点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则
5、AP 的长为 18（3 分）如图，AB 是 O 的直径，AT 是 O 的切线， ABT 50，BT 交O 于点C，E 是 AB 上一点，延长 CE 交 O 于点 D，则CDB 的度数是 19（3 分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字2，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k 的值，再把此球放回袋中搅匀，再随机摸出一个小球，记下数字作为 b 的值，则直线ykx+b 不经过第二象限的概率是 20（3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过 E 作EGCD 交 AF 于点 G，连接 D
6、G，若 AG6，EG ，则 BE 的长为 三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分21（7 分）先化简，再求代数式 的值，其中 a2sin60+3tan4522（7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图中画出面积为 4 的等腰ABC，且点 C 在小正方形的顶点上；（2）在图中画出平行四边形 ABDE，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，tanABD5，连接 CE，请直写出ACE 的面积23（8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四
7、门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m 的值是 （2）分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整（3）该校共有学生 2000 人，估计该校约有多少人选修乐器课程？24（8 分）如图，AD 是 ABC 的中线，AEBC，BE 交 AD 于点 F，F 是 AD 的中点，连接 EC（1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形；（2）若四边形 ABCE 的面积为 S，请直接写
8、出图中所有面积是 S 的三角形25（10 分）某建设工地一个工程有大量的沙石需要运输建设公司车队有载重量为 8 吨和 10 吨的卡车共 12 辆，全部车辆一次能运输 110 吨沙石（1）求建设公司车队载重量为 8 吨和 10 吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，车队需要一次运输沙石超过 160 吨，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共 6 辆，车队最多新购买载重量为 8 吨的卡车多少辆？26（10 分）ABC 内接于O，AC 为O 的直径，A60，点 D 在 AC 上，连接BD 作等边三角形 BDE，连接 OE（1）如图 1，求证：OEAD；（2）如图 2，连接 CE，求证： OCEAB
9、D ；（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 EO 交O 于点 G，在 OG 上取点 F，使OF2OE，延长 BD 到点 M 使 BDDM，连接 MF，若 tanBMF ，OD3，求线段 CE 的长27（10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax 24ax 交 x 轴正半轴于点 A（5，0），交 y 轴于点 B（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 为第一象限内抛物线上一点，连接 AP，将射线 AP 绕点 A 逆时针旋转 60，与过点 P 且垂直于 AP 的直线交于点 C，设点 P 横坐标为 t，点 C 的横坐标为m，求 m 与 t 之间的函数关系式（不要求写出
10、t 的取值范围）；（3）如图 2，在（2）的条件下，过点 C 作直线交 x 轴于点 D，在 x 轴上取点 F，连接FP，点 E 为 AC 的中点，连接 ED，若 F 的横坐标为 ，AFPCDE，且FAP+ACD 180，求 m 的值2019 年黑龙江省哈尔滨市香坊区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）1（3 分） 的绝对值是（ ）A5 B C D5【分析】根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值【解答】解： 的绝对值是 ，故选：B【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数2（3 分）下列运算正确的是（ ）Aaa 3a 3 B（a
11、3） 2a 5 C（3ab 2） 39a 3b6 D（2a+1） 2 4a 2+4a+1【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方、积的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案【解答】解：A、aa 3a 4，故此选项错误；B、（a 3） 2a 6，故此选项错误；C、（3ab 2） 327a 3b6 ，故此选项错误；D、（2a+1） 2 4a 2+4a+1，正确故选：D【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方、积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键3（3 分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图
12、形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形4（3 分）点（1，4）在反比例函最 y 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）A（1，4） B（
13、，8） C（1，4） D（4，1）【分析】根据点（1，4）在反比例函最 y 的图象上，可以求得 k 的值，从而可以判断各个选项是否正确【解答】解：点点（1，4）在反比例函最 y 的图象上，k4，1444，故选项 A 不符合题意，（ ）（8）44，故选项 B 不符合题意，（）（4）44，故选项 C 不符合题意，4（1）4，故选项 D 符合题意，故选：D【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答5（3 分）大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）A B C D【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案【解答】解：从上边看第一
14、列是 1 个小正方形，第二列是 2 个小正方形，如图：故选：A【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题时注意：从上边看得到的图形是俯视图6（3 分）不等式组 的最小整数解是（ ）A0 B1 C1 D2【分析】求出不等式组的解集，确定出最小的整数解即可【解答】解：不等式组整理得： ，解得： x4，则不等式组的最小整数解是 0，故选：A【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了7（3 分）甲队有工人 96 人，乙队有工人 72 人，如果要求乙队的人数是甲队人数的 ，应从乙队调多少人去甲队？如果设应从乙队调
15、x 人到甲队，列出的方程正确的是（ ）A96+x （ 72x ） B （96+x）72xC （96x）72x D 96+x72x【分析】根据等量关系：乙队调动后的人数 甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可【解答】解：设应从乙队调 x 人到甲队，此时甲队有（96+x）人，乙队有（72x）人，根据题意可得： （96+ x）72x故选：B【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程8（3 分）如图，小明想测量斜坡 CD 旁一棵垂直于地面 AE 的树 AB 的高度，他们先在点 C 处测得树顶 B 的仰角为 60，然后
16、在坡顶 D 测得树顶 B 的仰角为 30，已知斜坡CD 的长度为 20m，斜坡顶点 D 到地面的垂直高度 DE10m，则树 AB 的高度是（ ）mA20 B30 C30 D40【分析】先根据 CD20 米，DE10m 得出DCE30 ，故可得出DCB90，再由BDF30可知DBE 60，由 DFAE 可得出 BGFBCA60，故GBF30，所以DBC30，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：在 RtCDE 中，CD20m，DE10m，sinDCE ，DCE30ACB60，DFAE ，BGF60ABC30，DCB90BDF30，DBF60，DBC30，BC 20 （m），ABBCsin
17、6020 30（m ）故选：C【点评】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键9（3 分）如图，ABC 中，G、E 分别为 AB、AC 边上的点，GEBC，BDCE 交 EG延长线于 D，BE 与 CD 相交于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A B C D 【分析】如图，设 AB 交 CD 于点 O利用相似三角形的性质进行证明即可【解答】解：如图，设 AB 交 CD 于点 ODGBC，DOGCOB， ，BDAC，DOB COA ， ，BDAC，DEBC，四边形 DECB 是平行四边形，BDEC，GEBC， ， ，故
18、选：D【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10（3 分）小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从 A、B 出发，沿直线轨道同时到达 C 处，已知乙的速度是甲的速度的 1.5 倍，甲、乙两遥控车与 A 处的距离 d1、d 2（米）与时间 t（分钟）的函数关系如图所示，则下列结论中：AC 的距离为 120 米；乙的速度为 60 米/分；a 的值为 ；若甲、乙两遥控车的距离不少于 10 米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号不会产生相互干扰的 t 的取值范围是 0t ，其中正确的有
19、（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题【解答】解：由图可得，AC 的距离为 120 米，故正确；乙的速度为：（60+120）360 米/分，故正确；a 的值为：60601，故错误；令60+（1203）t60t10，得 t ，即若甲、乙两遥控车的距离不少于 10 米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号不会产生相互干扰的 t 的取值范围是 0t ，故 正确；故选：C【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答二、填空题（每小题 3 分，共计 30 分）11（3 分）将
20、 6800000 用科学记数法表示为 6.810 6 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：把 6800000，用科学记数法表示为 6.8106故答案是：6.810 6【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值12（3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是 x 【分
21、析】根据分母不等于 0 列不等式求解即可【解答】解：由题意得，3x+10，解得 x 故答案为：x 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负13（3 分）计算 2 的结果是 【分析】根据二次根式的乘除，可化简二次根式，根据二次根式的加减，可得答案【解答】解：原式 3 ，故答案为： 【点评】本题考查了二次根式的加减，熟记二次根式的运算法则并根据法则计算是解题关键14（3 分）把多项式 mx2+2m2x+m3 分解因式的结果是 m（xm） 2
22、 【分析】直接提取公因式 m，再利用完全平方公式分解因式即可【解答】解：原式mx 2+2m2x+m3m（x 2+2mx+m2）m（xm） 2故答案为：m（xm） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键15（3 分）已知扇形的半径为 6cm，面积为 10cm2，则该扇形的弧长等于 cm 【分析】设扇形的弧长为 lcm，再由扇形的面积公式即可得出结论【解答】解：设扇形的弧长为 lcm，扇形的半径为 6cm，面积为 10cm2， l610，解得 l cm故答案为： cm【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键16（3 分）二次函数
23、 y2（x+3） 24 的最小值为 4 【分析】根据顶点式，可直接得到【解答】解：二次函数 y2（x+3） 24 中当 x3 时，取得最小值 4，故答案为4【点评】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是正确掌握二次函数的顶点式，若题目给出是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式17（3 分）在直角三角形 ABC 中，ACB 90，AB10，tanA ，点 P 为边 BC 的三等分点，连接 AP，则 AP 的长为 2 或 4 【分析】根据三角函数定义得 BC：AC ，再由勾股定理求得 AC 和 BC，最后分情况（CP：CB1：3 或 CP：CB2：3）由勾股定理求得 AP【解答】解：
24、tanA ， ，不妨设 BC3x ，则 AC4x ，AB10，ACB90，BC 2+AC2AB 2，即（3x） 2+（4x） 310 2，解得，x2，BC6，AC8，点 P 为边 BC 的三等分点，当 CP：CB 1：3 时，有 CP2，则 AP ；当 CP：CB 2：3 时，有 CP4，则 AP 故答案为 2 或 4 【点评】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，关键根据正切函数定义与勾股定理求出 BC 与 AC 边，注意 P 是 BC 的三等分点包含两种情况，不要漏掉解18（3 分）如图，AB 是 O 的直径，AT 是 O 的切线， ABT 50，BT 交O 于点C，E 是 AB 上一点，
25、延长 CE 交 O 于点 D，则CDB 的度数是 40 【分析】由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得CDB 的度数【解答】解：连接 AC，由 AB 是O 的直径，得ACB90，CAB90ABT40，CDBCAB40，故答案为：40【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握运用同弧所对的圆周角相等解答是关键19（3 分）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字2，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k 的值，再把此球放回袋中搅匀，再随机摸出一个小球，记下数字作为 b 的值，则直线ykx+b 不经过第二象限的概率是 【分析】先列
26、表或画树状图，列出 k、b 的所有可能的值，进而得到直线 ykx +b 不经过第二象限的概率【解答】解：列表：共有 9 种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为 2，所以直线 ykx+b 不经过第二象限的概率 故答案为： 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率20（3 分）如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过 E 作EGCD 交 AF 于点 G，连接 DG，若 AG6，EG ，则 BE 的长为 【分析】先依据翻折的性
27、质和平行线的性质证明DGF DFG ，从而得到 GDDF，接下来依据翻折的性质可证明 DGGEDF EF，连接 DE，交 AF 于点 O由菱形的性质可知 GFDE，OGOF GF，接下来，证明DOFADF ，由相似三角形的性质可证明 DF2FOAF ，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系，过点 G 作GHDC，垂足为 H利用（ 2）的结论可求得 FG4，然后再ADF 中依据勾股定理可求得 AD 的长，然后再证明 FGH FAD ，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最后依据 BEAD GH 求解即可【解答】解：连接 DE 交 GF 于点 O，过点 G 作 GHDC ，垂足为 HGEDF
28、 ，EGFDFG由翻折的性质可知：GDGE，DF EF，DGF EGF，DGF DFGGDDFDGGE DF EF 四边形 EFDG 为菱形，四边形 EFDG 为菱形，GFDE ，OGOF GFDOF ADF90，OFDDFA，DOF ADF ，即 DF2FOAFFO GF，DFEG，EG 2 GFAFEG 2 GFAF，AG 6，EG 2 ，20 FG（FG+6），整理得：FG 2+6FG400解得：FG4，FG10（舍去）DFGE 2 ，AF10，AD 4 GHDC，ADDC，GHAD FGH FAD ，即 ，GH ，BEAD GH4 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答
29、本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 DF2FOAF 是本题的关键三、解答题（其中 21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共计 60 分21（7 分）先化简，再求代数式 的值，其中 a2sin60+3tan45【分析】先把除法变成乘法，根据乘法的分配律进行计算，再算减法，最后求出 a 的值代入，即可求出答案【解答】解： （a+3） （a+3） （a+3）2 ，当 a2sin60+3tan452 +31 +3 时，原式 【点评】本题考查了分式的化简和求值、特殊角的三角函数值，能正确根
30、据分式的运算法则进行化简是解此题的关键22（7 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形的顶点上（1）在图中画出面积为 4 的等腰ABC，且点 C 在小正方形的顶点上；（2）在图中画出平行四边形 ABDE，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，tanABD5，连接 CE，请直写出ACE 的面积【分析】（1）利用数形结合的思想画出ABC 即可（2）利用数形结合的思想画出平行四边形 ABDE 即可，利用分割法求出ACE 的面积【解答】解：（1）如图，ABC 即为所求（2）如图，平行四边形 ABDE 如图所示SACE 35 22 33 156【点评】本题考
31、查作图应用与设计，三角形的面积，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型23（8 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐器、舞蹈、绘画、书法，学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有 50 人，在扇形统计图中，m 的值是 30% （2）分别求出参加调查的学生中选择绘画和书法的人数，并将条形统计图补充完整（3）该校共有学生 2000 人，估计该校约有多少人选修乐器课程？【分
32、析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m 的值；（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；（3）总人数乘以样本中选修乐器课程人数所占百分比可得【解答】解：（1）本次调查的学生共有 2040%50（人），m 155030%；故答案为：50；30%；（2）绘画的人数 5020% 10（人），书法的人数 5010%5（人），如图所示：（3）估计该校选修乐器课程的人数为 200030%600 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答24（8 分）如图，AD 是 ABC 的
33、中线，AEBC，BE 交 AD 于点 F，F 是 AD 的中点，连接 EC（1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形；（2）若四边形 ABCE 的面积为 S，请直接写出图中所有面积是 S 的三角形【分析】（1）首先证明AFEDFB 可得 AEBD，进而可证明 AECD ，再由AEBC 可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形 ADCE 是平行四边形；（2）根据面积公式解答即可【解答】证明：AD 是ABC 的中线，BDCD，AEBC，AEF DBF，在AFE 和DFB 中，AFE DFB（AAS ），AEBD ，AECD，AEBC，四边形 ADCE 是平行四边形；（2）四边形 AB
34、CE 的面积为 S，BDDC，四边形 ABCE 的面积可以分成三部分，即ABD 的面积+ADC 的面积+AEC 的面积S，面积是 S 的三角形有ABD，ACD，ACE，ABE【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型25（10 分）某建设工地一个工程有大量的沙石需要运输建设公司车队有载重量为 8 吨和 10 吨的卡车共 12 辆，全部车辆一次能运输 110 吨沙石（1）求建设公司车队载重量为 8 吨和 10 吨的卡车各有多少辆？（2）随着工程的进展，车队需要一次运输沙石超过 160 吨，为
35、了完成任务，准备新增购这两种卡车共 6 辆，车队最多新购买载重量为 8 吨的卡车多少辆？【分析】（1）根据车队有载重量为 8 吨、10 吨的卡车共 12 辆，全部车辆运输一次能运输 110 吨沙石，分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）利用车队需要一次运输沙石 160 吨以上，得出不等式求出结论即可【解答】解：（1）设该车队载重量为 8 吨、10 吨的卡车分别有 x 辆、y 辆，根据题意得： ，解之得： 答：该车队载重量为 8 吨的卡车有 5 辆，10 吨的卡车有 7 辆；（2）设载重量为 8 吨的卡车增加了 z 辆，依题意得：8（5+z ）+10 （7+6z）160，解之得：z5，z0 且
36、为整数，z 的最大值为 4答：车队最多新购买载重量为 8 吨的卡车 4 辆【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的不等式关系是解题关键26（10 分）ABC 内接于O，AC 为O 的直径，A60，点 D 在 AC 上，连接BD 作等边三角形 BDE，连接 OE（1）如图 1，求证：OEAD；（2）如图 2，连接 CE，求证： OCEABD ；（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 EO 交O 于点 G，在 OG 上取点 F，使OF2OE，延长 BD 到点 M 使 BDDM，连接 MF，若 tanBMF ，OD3，求线段 CE 的长【分析】（1）连接 OB，
37、证明 ABDOBE，即可证出 OEAD（2）连接 OB，证明OCE OBE，则OCEOBE，由（1）的全等可知ABDOBE，则OCEABD （3）过点 M 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，过点 D 作 DN 垂直 EG 于点 N，则ADBMQD，四边形 MQOG 为平行四边形，DMFEDN，再结合特殊角度和已知的线段长度求出 CE 的长度即可【解答】解：（1）如图 1 所示，连接 OB，A60，OAOB ，AOB 为等边三角形，OAOB AB，AABOAOB60，DBE 为等边三角形，DBDE BE，DBE BDEDEB60，ABDOBE，ADBOBE（SAS），OEAD （2）如图 2
38、 所示，由（1）可知ADBOBE，BOEA60，BOA60，EOC60，BOECOE（SAS ），OCEOBE，OCEABD（3）如图 3 所示，过点 M 作 AB 的平行线交 AC 于点 Q，过点 D 作 DN 垂直 EG 于点N，BDDM ， ADBQDM，QMDABD，ADBMQD（ASA ），ABMQ ，A60，ABC90，ACB30，AB AOCOOG ，MQ OG，ABGO，MQ GO，四边形 MQOG 为平行四边形，设 AD 为 x，则 OEx ，OF2x ，OD3，OAOG 3+x ，GF 3x，DQAD x，OQMG 3 x，MG GF，DOG60，MGF120，GMFGFM
39、 30，QMD ABD ODE，ODN30，DMFEDN，OD3，ON ，DN ，tanBMF ，tanNDE ， ，解得 x1，NE ，DE ，CE 【点评】此题考查了圆的相关性质以及与圆有关的计算，以及全等三角形的性质和判定，第三问构造全等三角形找到与BMF 相等的角为解题关键27（10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax 24ax 交 x 轴正半轴于点 A（5，0），交 y 轴于点 B（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，点 P 为第一象限内抛物线上一点，连接 AP，将射线 AP 绕点 A 逆时针旋转 60，与过点 P 且垂直于 AP 的直线交于点 C，设点 P
40、 横坐标为 t，点 C 的横坐标为m，求 m 与 t 之间的函数关系式（不要求写出 t 的取值范围）；（3）如图 2，在（2）的条件下，过点 C 作直线交 x 轴于点 D，在 x 轴上取点 F，连接FP，点 E 为 AC 的中点，连接 ED，若 F 的横坐标为 ，AFPCDE，且FAP+ACD 180，求 m 的值【分析】（1）把点 A 坐标代入即能求 a 的值（2）由 APPC 和旋转 60得PAC 60得到特殊 RtAPC利用已知点 P、C 的横坐标的条件，分别过点 C、点 P 作坐标轴的垂线，构造三垂直模型下的相似，且相似比即为 PC 与 AP 的比 用 t、m 表示相似三角形对应边的长
41、度，利用相似比为 列方程，即得到 m 与 t 的关系式（3）由特殊 RtAPC 中ACP30与点 E 为 AC 的中点的条件得到 CEAEAP；构造 PQAP（Q 在 x 轴上）得PAQPQA，再由FAP+ACD180和FAP邻补角为PAN 得到ACDPAN ，即得到ACDPAQPQA，因此构造的QFP 与CDE 全等，得到 QFCD由四边形 APCD 内角和为 360可求得CDF60，作 CHx 轴构造特殊直角三角形，利用 CHMN 即可以 t 的式子表示CH，进而用 t 表示 CD又易由 t 的式子表示 QF，列方程即求得 t 的值再代回（2）的式子即求出 m 的值【解答】解：（1）抛物线
42、 yax 24ax 过点 A（5，0），25a20a 0解得：a抛物线的解析式为 y x2 x（2）过点 P 作 MNx 轴于点 N，过点 C 作 CMMN 于点 MMANP90MCP+ CPM90CPAPAPC90CPM+ APN90MCPAPNMCPNPAAPC90，PAC60ACP30，tan PAC ，即 MC NPx Pt，x CmMCtm，PNy P t2 ttm （ t2 t ）整理得：m t2+ t+3（3）过点 C 作 CHx 轴于点 H，在 x 轴上取点 Q，连接 PQ 且使 PQAQ，CHD90，PANPQNACP30，APC90，点 E 是 AC 中点AP ACCEAE
43、CEPQFAP +ACD 180，FAP +PAN180ACDPANACDPQN在CDE 与QFP 中CDEQFP（AAS ）CDQF由（1）得，ANt5，PM AN （t 5），PN t2 tCHMNPM+PN （t 5）+ t2 t t2+ t6CDH360CDPAPCFAP360（ACD+FAP）ACPAPC360180309060sinCDH CD CH （ t2+ t6 ） t2+ t12F（ ，0）QFAF+AQAF +2AN5 （ ）+2 （t 5）2t t2+ t122t解得：t 13，t 27点 P 在第一象限，t5t7m t2+ t+3 72+ 7+3【点评】本题考查了求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，特殊三角函数值，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程其中第（3）题如何把几个分散的条件通过构造全等三角形统一起来运用是解题关键，最后要求 m 的确定值也说明必须由线段的等量关系列方程来求得
