1、2019 年浙江省杭州市桐庐县钟山乡初级中学中考数学二模试卷一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1计算：（3） 4（ ）A12 B12 C81 D812因式分解：a 24（ ）A（a2）（a+2） B（2a）（2a）C（a2） 2 D（a2）（ a+2）3如图，在ABC 中，ACB45，ADBC 于点 D，点 E 为 AD 上一点，连接CE，CEAB ，若 ACE 20，则B 的度数为（ ）A60 B65 C70 D754若实数 k 满足 3k 4，则 k 可能的值是（ ）A2 B2 C D|1|5下列等式成立的
2、是（ ）A B（x1）（1x）1x 2C D（x 1） 2x 2+2x+16在ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与 B，C 重合），连接 AD，下列表述错误的是（ ）A若 AD 是 BC 边的中线，则 BC2CDB若 AD 是 BC 边的高线，则 ADACC岩 AD 是BAC 的平分线，则ABD 与ACD 的面积相等D若 AD 是BAC 的平分线又是 BC 边的中线，则 AD 为 BC 边的高线7下列按条件列出的不等式中，不正确的是（ ）Ax 超过 0，则 x0Bx 是不大于 0 的数，则 x0Cx 是不小于1 的数，则 x1Dx+y 是负数，则 x+y08如图O 中，OABC，AOC50
3、，则ADB 的度数为（ ）A15 B25 C30 D509如图，已知在ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B，点 C 重合），连结 AD，点 E、点F 分别为 AB、AC 上的点，且 EFBC ，交 AD 于点 G，连结 BG，并延长 BG 交 AC 于点 H已知 2，若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；若 BHAC，当 BC2CD 时，2sinDAC 则（ ）A正确； 不正确 B 正确； 正确C不正确；正确 D不正确； 正确10二次函数 y（x 4） 2+3 的最小值是（ ）A2 B3 C4 D5二、填空題：本大题有 6 个小題，毎小题 4 分，共 24 分.11某班共有
4、 6 名学生干部，其中 4 名是男生，2 名是女生，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 12如图，过圆外一点 P 作O 的切线 PC，切点为 B，连结 OP 交圆于点 A若 AP0A1，则该切线长为 13两组数据：3，a，8，5 与 a，6，b 的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一組，则这组新数据的中位数为 14化简根式： 15如图，ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点，BF 平分ABC ，交 DE 于点 F，若 BC6，则 DF 的长是 16已知 xy3，且 x2， y1，则 x+y 的取值范围是 三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字
5、说明、证明过程或演算步骤.17（6 分）某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对“我最喜爱课间活动”进行了一次抽样调查，分别从打篮球、踢足球、自由活动、跳绳、其它、等 5 个方面进行问卷调查（每人只能选一项），根据调查结果绘制了如图的不完整统计图，请你根据图中信息，解答下列问题（1）本次调查共抽取了学生多少人？（2）求本次调查中喜欢踢足球人数，并补全条形统计图；（3）若全校共有中学生 1200 人，请你估计我校喜欢跳绳学生有多少人18（8 分）在平面直角坐标系中，过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则称这个点为强点例如，图中过点 P 分別作 x 轴，y 轴的
6、垂线与坐标轴围成矩形OAPB 的周长与面积相等，则点 P 是强点（1）点 M（l，2），N（4， 4），Q（6，3）中，是强点的有 ；（2）若强点 P（a，3）在直线 yx +b（b 为常数）上，求 a 和 b 的值19（8 分）如图，D、E 分别是 ABC 的边 AB、AC 上的点，DEBC ，AB 7，AD5 ，DE10，求 BC 的长20（10 分）如图，在 Rt ABC 中C90，BC7cm动点 P 在线段 AC 上从点 C 出发，沿CA 方向运动；动点 Q 在线段 BC 上同时从点 B 出发，沿 BC 方向运动如果点 P，Q 的运动速度均为 lcm/s，那么运动几秒时，它们相距 5c
7、m21（10 分）如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，M 是 BC 的中点，过 M 作 MPAD 交AC 于 P，求证：AB +APPC 22（12 分）现有一次函数 ymx+n 和二次函数 ymx 2+nx+1，其中 m0，（1）若二次函数 ymx 2+nx+1 经过点（2，0），（3，1 ），试分别求出两个函数的解析式（2）若一次函数 ymx+n 经过点（2，0），且图象经过第一、三象限二次函数 ymx 2+nx+1经过点（a，y 1）和（a+1，y 2），且 y1y 2，请求出 a 的取值范围（3）若二次函数 ymx 2+nx+1 的顶点坐标为 A（h，k）（ h0），同时二次
8、函数 yx 2+x+1 也经过 A 点，已知1h1，请求出 m 的取值范围23（12 分）如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 P、Q 分别在边 AB、BC 上，且 APBQ （1）求证：BDQADP；（2）已知 AD3，AP 2，求 cosBPQ 的值（结果保留根号）2019 年浙江省杭州市桐庐县钟山乡初级中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1【分析】根据有理数的乘方意义，（3） 4（3）（3）（3）（3）进行计算【解答】解：（3） 4（3）（3）（3）（3）81故选：D
9、【点评】本题考查了有理数的乘方运算关键是理解有理数乘方运算的意义2【分析】直接利用平方差公式分解因式即可【解答】解：a 24（a+2）（a2）故选：A【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键3【分析】根据已知条件得到ADC 是等腰直角三角形，求得 ADCD，CAEACD45，根据全等三角形的性质得到BDEC，根据三角形的外角的性质即可得到结论【解答】解：ADBC，ACB45，ADC 是等腰直角三角形，ADCD，CAEACD45，在 Rt ABD 与 RtCED 中 ，RtABDRtCED（HL ），BDEC，DECCAE+ACE45+2065，B65，故选：B【点评】
10、本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键4【分析】利用平方法比较数的大小，因为 9k 216，将 2 、2 、 分别平方即可求解；【解答】解：3k4，9k 216（2 ） 28，（2 ） 212，（ ） 2 ，2 满足给定的范围，故选：B【点评】本题考查无理数的估算；熟练掌握利用平方法比较无理数是解题的关键5【分析】利用分式的性质以及整式混合运算的计算方法逐一计算结果，进一步判断得出答案即可【解答】解：A、 不能约分，此选项错误；B、（x1）（ 1x ） 1+x2，此选项错误；C、 ，此选项错误；D、（x1） 2x 2
11、+2x+1，此选项正确故选：D【点评】此题考查分式的混合运算，整式的混合运算，掌握分式的性质和整式混合运算的方法是解决问题的关键6【分析】根据三角形中的角平分线，高线，中线的定义，三角形的面积公式即可得到结论【解答】解：A、AD 是 BC 边的中线，BDCD，BC2CD，故 A 正确；B、AD 是 BC 边的高线，ADC90，在 Rt ADC 中， ADAC，故 B 正确；C、AD 是BAC 的中线，则ABD 与ACD 的面积相等，故 C 错误；D、AD 是BAC 的平分线又是 BC 边的中线，ABC 是等腰三角形，AD 为 BC 边的高线，故 D 正确，故选：C【点评】本题考查了三角形中的角
12、平分线，高线，中线的定义，三角形的面积，熟练掌握各定义是解题的关键7【分析】根据不等式的定义好性质解答【解答】解：A、依题意得 x0，故本选项不符合题意B、依题意得 x0，故本选项不符合题意C、依题意得 x1，故本选项不符合题意D、依题意得 x+y0，故本选项符合题意故选：D【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系8【分析】连接 OB，由垂径定理及圆心角定理可得 AOB AOC50
13、，再利用圆周角定理即可得出答案【解答】解：如图连接 OB，OABC，AOC50，AOBAOC50，则ADB AOB 25，故选：B【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理与圆周角定理9【分析】过点 B 作 BMAC ，与 AD 的延长线相交于点 M，可得ADCMDB ，由EF BC 得 AG：GD，进而得 MG：AG，再由相似三角形得结果，便可判断 是否正确；过点 D 作 DNAC 于点 N，再解直角三角形和应用相似三角形的比例线段便可判断 的正误【解答】解：过点 B 作 BMAC ，与 AD 的延长线相交于点 M，CMBD，在ACD 和MBD 中，ACDMBD（ASA），AD
14、MD ，EFBC， ， ， ，BMAC，MBGAHG， ， ，故正确；（2）过点 D 作 DNAC 于点 N，则 DNADsinDAC，BHAC，DNAC，BHDN， ，即 ，BC2CD， ， 故错误；故选：A【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是作辅助线，构造全等三角形与相似三角形、直角三角形进行解答10【分析】根据顶点式的形式，结合二次函数最值求法，确定答案【解答】解：二次函数 y（x4） 2+3 的最小值是：3故选：B【点评】本题考查的是二次函数的性质，ya（xh） 2+k，当 a0 时，xh 时，y 有最小值k，
15、当 a0 时，x h 时，y 有最大值 k二、填空題：本大题有 6 个小題，毎小题 4 分，共 24 分.11【分析】直接根据概率公式计算可得【解答】解：共有 6 名学生干部，其中女生有 2 人，任意抽一名学生干部去参加一项活动，其中是女生的概率为 ，故答案为： 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数12【分析】根据切线的性质定理可知 OBPB，由题意可知 APOA 1，则 OB1，于是根据勾股定理即可求出 PB 的长【解答】解：OA、OB 都是半径，OBOA AP1又PC 与O 相切于 B 点OBPB于是在
16、RtPBO 中，OB1，OP2PB 故答案为 【点评】本题考查的是切线的性质定理，即圆的切线垂直于经过切点的半径由相切到垂直是解题中常常用到的一种思路13【分析】首先根据平均数的定义列出关于 a、b 的二元一次方程组，再解方程组求得 a、b 的值，然后求中位数即可【解答】解：两组数据：3，a，8，5 与 a，6，b 的平均数都是 6， ，解得 ，若将这两组数据合并为一组数据，按从小到大的顺序排列为 3，4，5，6，8，8，8，一共 7 个数，第四个数是 6，所以这组数据的中位数是 6故答案为 6【点评】本题考查平均数和中位数平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数一组数据的中位数与这
17、组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数14【分析】原式被开方数利用完全平方公式化简，再利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简即可得到结果【解答】解：cos51cos45 ，2cos51 0，则原式 |2cos51 | 2cos51故答案为： 2cos51【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键15【分析】由已知可得 DE 为A
18、BC 的中位线，从而可得到 DEAB，根据两直线平行内错角相等可得到BFD ABF，再根据角平分线的性质推出FBDBFD，根据等角对等边可得到DFDB，已知 BC 的长，从而不难求得 DF 的长【解答】解：D、E 分别是 BC、AC 的中点，DEAB，BFDABF，BF 为角平分线，ABF FBD，FBDBFD，DFDB ，DBDC，DF BC3故答案为：3【点评】此题主要考查三角形中位线定理及角平分线定义的综合运用16【分析】利用不等式的性质解答即可【解答】解：xy 3，xy+3，又x2，y+32，y1又y1，1y1，同理得：2x4，由+得1+2y+x1+4x+y 的取值范围是 1x +y
19、5；故答案为：1x+y 5【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，关键是先根据已知条件用一个量如 y 取表示另一个量如 x，然后根据题中已知量 x 的取值范围，构建另一量 y 的不等式，从而确定该量 y 的取值范围，同法再确定另一未知量 x 的取值范围三、解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17【分析】（1）根据打篮球的人数和百分比即可解决问题；（2）求出本次调查中喜欢踢足球人数即可解决问题；（3）总人数乘以样本中喜欢跳绳学生人数所占比例可得；【解答】解：（1）总人数510%50（人）；（2）本次调查中喜欢踢足球人数505208512（人），条
20、形图如图所示：（3）估计我校喜欢跳绳学生有 1200 192（人）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18【分析】（1）利用矩形的周长公式、面积公式结合强点的定义，即可找出点 N，Q 是强点；（2）分 a0 及 a0 两种情况考虑：当 a0 时，利用强点的定义可得出关于 a 的一元一次方程，解之可得出 a 的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 b 值；当 a0 时，利用强点的定义可得出关于 a 的一元一次方程，解之可得出 a 的值，
21、再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 b 值综上，即可得出结论【解答】解：（1）（4+4）244，（6+3）263，点 N，Q 是强点故答案为：N，Q（2）分两种情况考虑：当 a 0 时，（ a+3）2 3a，a6点 P（6，3）在直线 yx +b 上，36+b，b9；当 a 0 时，（ a+3） 23a，a6点 P（6，3）在直线 yx +b 上，36+b，b3综上所述：a6，b9 或 a6，b3【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的周长及面积以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用强点的定义找出点 N，Q 是强点；（2）分 a0 及 a0 两种情况，求出 a，b 的值1
22、9【分析】由 DE 与 BC 平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE 与三角形 ABC 相等，由相似得比例，把已知边代入求出 BC 的长即可【解答】解：DEBC，ADEB，AED C，ADEABC， ，AB7，AD 5，DE10，BC 14【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键20【分析】设运动 x 秒时，它们相距 5cm，则 CQ（7x ）cm，CPxcm ，根据勾股定理及PQ5cm，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：设运动 x 秒时，它们相距 5cm，则 CQ（7x ）cm，CPxcm
23、 ，根据题意得：x 2+（7x ） 25 2，解得：x 13，x 24答：运动 3 秒或 4 秒时，它们相距 5cm【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键21【分析】延长 BA 交 MP 的延长线于点 E，过点 B 作 BFAC，交 PM 的延长线于点 F，由平行线的性质和角平分线的性质可得EAPE，即 APAE，由“ASA”可证BMFCMP，可得 BFCP， BFBE，则可得结论【解答】证明：如图，延长 BA 交 MP 的延长线于点 E，过点 B 作 BFAC，交 PM 的延长线于点 F，AD 是BAC 的平分线，BADCADADPMBADE，C
24、ADAPECPMEAPEAPAE，M 是 BC 的中点，BMMCBFACACBCBF，且 BM MC，BMF CMPBMF CMP（ASA ）PCBF， FCPM，FEBEBFPCBEBA+ AEBA+AP【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键22【分析】（1）直接将点代入函数解析式，待定系数即可求解函数解析式；（2）点（2，0）代入一次函数解析式，得到 n2m ，利用 m 与 n 的关系能求出二次函数对称轴 x1，由一次函数经过一、三象限可得 m0，确定二次函数开口向上，此时当 y1y 2，只需让 a 到对称轴的距离比 a+1 到对
25、称轴的距离大即可求 a 的范围（3）将 A（h，k ）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得 h ，将得到的三个关系联立即可得到 ，再由题中已知1h1，利用 h 的范围求出 m 的范围【解答】解：（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数 ymx+n 中，解得 ，一次函数的解析式是 yx 2，再将点（2，0），（3，1），代入二次函数 ymx 2+nx+1，解得 ，二次函数的解析式是 y x2+ +1（2）一次函数 ymx+n 经过点（2，0），n2m，二次函数 ymx 2+nx+1 的对称轴是 x ，对称轴为 x1，又一次函数 ymx+n 图象经过第一、三象限，m0，y 1y 2，1
26、a1+a1，a （3）ymx 2+nx+1 的顶点坐标为 A（h，k），kmh 2+nh+1，且 h ，又二次函数 yx 2+x+1 也经过 A 点，kh 2+h+1，mh 2+nh+1h 2+h+1， ，又1h1，m2 或 m0【点评】本题考点：点与函数的关系；二次函数的对称轴与函数值关系；待定系数法求函数解析式；不等式的解法；数形结合思想是解决二次函数问题的有效方法23【分析】（1）由四边形 ABCD 是菱形，可证得ADAB，ABD CBD ABC ，ADBC，又由A60，易得ABD 是等边三角形，然后由 SAS 即可证得BDQ ADP；（2）首先过点 Q 作 QEAB，交 AB 的延长线
27、于 E，然后由三角函数的性质，即可求得 PE 与QE 的长，又由勾股定理，即可求得 PQ 的长，则可求得 cosBPQ 的值【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ADAB，ABDCBD ABC ，ADBC，A60，ABD 是等边三角形，ABC120，ADBD ，CBDA 60，APBQ ，BDQ ADP（SAS）；（2）解：过点 Q 作 QEAB，交 AB 的延长线于 E，BQAP2，ADBC，QBE60，QEQB sin602 ，BEQBcos602 1，ABAD 3，PBABAP321，PEPB+BE2，在 RtPQE 中，PQ ，cosBPQ 【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用
