1、2019 年江苏省泰州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1（3 分）4 的倒数是（ ）A4 B4 C D2（3 分）某市旅游节期间，共接待游客 2420000 人次，则 2420000 用科学记数法表示为（ ）A24210 4 B2.4210 6 C24.210 5 D0.24210 73（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D4（3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A圆锥 B三棱锥 C圆柱 D三棱柱5（3 分）为弘
2、扬水浒文化，某校举办水浒文化进校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）中位数 众数 平均数 方差9.1 9.2 9.0 0.3A中位数 B众数 C平均数 D方差6（3 分）如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上任意一点，AB3，则ABC 周长的最大值是（ ）A2 +3 B3 +3 C2 +3 D9二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7（3 分）计算：a 5a3 8（3 分）二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 9（
3、3 分）分解因式：4m 2 64 10（3 分）已知 a+b3，ab2，则 a2b 2 11（3 分）“任意打开九年级数学课本，正好是第 19 页”，这是 事件（选填“随机”或“必然”或“不可能”）12（3 分）如图，在ABC 中，ABC 90，C 20，DE 是边 AC 的垂直平分线，连结 AE，则 BAE 等于 13（3 分）已知三角形的三边分别为 6cm，8cm，10cm，则这个三角形内切圆的半径是 14（3 分）设 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 15（3 分）已知一个圆锥形零件的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则这个圆锥形的零件的
4、侧面积为 cm 2（结果用 表示）16（3 分）如图，在 RtABC 中，ACBC，AB10，以 AB 为斜边向上作 RtABD，使ADB 90 连接 CD，若 CD7 ，则 AD 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）（1）计算：（ ） 1 2sin60+（2019） 0；（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来18（8 分）先化简，再求值：（ ） ，请从 0、1、2、1、2 五个数中选一个你喜欢的数代入求值19（8 分）某校为了解九年级学生艺术测试情况，以九年级（1）班学生的艺术测试
5、成绩为样本，按 A、B、C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）此次抽样共调查了多少名学生？（2）请求出样本中 D 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）若该校九年级有 1000 名学生，请你用此样本估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数20（8 分）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有 3 个检票通道 A、B、C，游客可随机选择其中的一个通过（1）一名游客经过此检票口时，选择 A 通道通过的概率是 ；（2）两名游客经
6、过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）21（10 分）某市特产大闸蟹，2016 年的销售额是 50 亿元，因优质生态，销售额是逐年增加，2018 年的销售额达 98 亿元，若2017、2018 年每年销售额增加的百分率都相同（1）求平均每年销售额增加的百分率；（2）某市这 3 年大闸蟹的总销售额是多少亿元？22（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，BEAC，DF AC，垂足分别为 E、F，连接DE、BF（1）求证：BEDF ；（2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由23（10 分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形 BCDG 是
7、某速滑场馆建造的速滑台，已知 CDEG，高 DG 为 4 米，且坡面 BC 的坡度为 1：1后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面 AC 的坡度为 1： （1）求新坡面 AC 的坡角；（2）原坡面底部 BG 的正前方 10 米（EB 的长）处是护墙 EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙 7 米请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据： 1.73）24（10 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）和反比例函数 y （n0）分别交于点A（5， 1），B（1，a）（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；（2）连接 AO、BO，求AOB 的面积；（3）根据图象直接写
8、出不等式 kx+b 的解集25（12 分）如图 1，已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB 垂足为 H，P 是 BA 延长线上一点，且 CA 平分PCH（1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tanPCA ，AH2，分别求出 O 的半径 CO 和 PC 的长；（3）如图 2，过点 A 作 PC 的平行线，分别交 CD、 O 于点 N、M，连接 DM，分别交 AB、CO 于点 E、F ，若 tanPCA ，试探究 DM 与 AC 之间的数量关系26（14 分）如图 1，直线 ykx+n 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点，OA1，OB2，以 AB 为边作正方形 AB
9、CD，抛物线 y +bx+c 经过点 A、B（1）分别求出直线与抛物线相应的函数表达式；（2）试判断正方形 ABCD 的顶点 C 是否在抛物线上，并说明理由；（3）若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（P 不与 A、B 重合）连接 AP、BP，求五边形 APBCD 面积的最大值；是否存在以 AP 为边的正方形 APEF，使其顶点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上？若存在，请求出此时 P 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年江苏省泰州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
10、要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1（3 分）4 的倒数是（ ）A4 B4 C D【分析】根据倒数的定义：乘积是 1 的两个数，即可求解【解答】解：4 的倒数是 故选：D【点评】本题主要考查了倒数的定义，正确理解定义是解题关键2（3 分）某市旅游节期间，共接待游客 2420000 人次，则 2420000 用科学记数法表示为（ ）A24210 4 B2.4210 6 C24.210 5 D0.24210 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位
11、数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：数据 2420000 用科学记数法表示为 2.42106故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选
12、：C【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键4（3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A圆锥 B三棱锥 C圆柱 D三棱柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱故选：D【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形5（3 分）为弘扬水浒文化，某校举办水浒文化进校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选
13、手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）中位数 众数 平均数 方差9.1 9.2 9.0 0.3A中位数 B众数 C平均数 D方差【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数故选：A【点评】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响6（3 分）如图，
14、C 是以 AB 为直径的半圆 O 上任意一点，AB3，则ABC 周长的最大值是（ ）A2 +3 B3 +3 C2 +3 D9【分析】当点 C 在 中点时，ABC 周长最大最大，然后根据 AB3 计算即可【解答】解：AB 为直径，ACB90，AC 2+BC2AB 23 29，AC+BC ，当 SABC 最大时，AC+BC 最大，S ABC ABCD ，当点 C 在 中点时，CDCO AB 为最大，此时 SABC 最大，S ABC ，即 AC+BC 最大 ，ABC 周长的最大值AC+BC+AB +3故选：B【点评】本题考查了周长的最大值，熟练掌握勾股定理与圆的性质是解题的关键二、填空题（本大题共
15、10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7（3 分）计算：a 5a3 a 2 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可【解答】解：a 5a3a 53 a 2故填 a2【点评】本题考查同底数幂的除法法则8（3 分）二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x5 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可【解答】解：根据题意得：x50，解得 x5故答案为：x5【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键9（3 分）分解因式：4m 2 64 4（m +4）（m 4） 【分析】先提取公因式
16、 4，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解【解答】解：4m 264，4（m 216），4（m+4）（ m4）【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止10（3 分）已知 a+b3，ab2，则 a2b 2 6 【分析】根据 a2b 2（a+b）（ab），然后代值计算即可【解答】解：a 2b 2（a+b）（ab）326；故答案是：6【点评】本题考查了平方差公式平方差公式为（a+b）（ab）a 2b 2本题是一道较简单的题目11（3 分）“任意打开九年级数学课本，正好是第 19 页”，
17、这是 随机 事件（选填“随机”或“必然”或“不可能”）【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：“任意打开九年级数学课本，正好是第 19 页”是随机事件，故答案为：随机【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件12（3 分）如图，在ABC 中，ABC 90，C 20，DE 是边 AC 的垂直平分线，连结 AE，则 BAE 等于 50 【分析】根据三角形内角和定理求出BAC，根据线段垂直平分线的性质求出CEAE，
18、求出 EAC C 20，即可得出答案【解答】解：在ABC 中，ABC 90，C 20 ，BAC180BC70，DE 是边 AC 的垂直平分线，C20，CEAE，EACC20，BAE BACEAC702050，故答案为：50【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出 CEAE 是解此题的关键13（3 分）已知三角形的三边分别为 6cm，8cm，10cm，则这个三角形内切圆的半径是 2cm 【分析】连接 IA、IB 、IC，设ABC 的内切圆的半径为 r，根据勾股定理的逆定理得到ABC 为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可【解答】解：连接 IA
19、、IB 、IC，设ABC 的内切圆的半径为 r，AC 2+BC236+64100，AB 2100，AC 2+BC2AB 2，ABC 为直角三角形，则 ACBC ACr+ BCr+ ABr，即 68 r（6+8+10），解得，r2，故答案为：2cm【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的面积公式，切线的性质是解题的关键14（3 分）设 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 2019 【分析】由于 m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n 1，并且 m2+m20200，然后把 m2+2m+n 可以变为
20、 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：m、n 是方程 x2+x20200 的两个实数根，m+ n 1，并且 m2+m20200，m 2+m2020，m 2+2m+nm 2+m+m+n202012019故答案为：2019【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法15（3 分）已知一个圆锥形零件的母线长为 13cm，底面半径为 5cm，则这个圆锥形的零件的侧面积为 65 cm 2（结果用 表示）【分析】根据扇形弧长公式计算，得到答案【解答】解：圆锥的底面周长2510 ，圆锥形的零件的侧面积 101365 ，故答案为：65
21、【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长16（3 分）如图，在 RtABC 中，ACBC，AB10，以 AB 为斜边向上作 RtABD，使ADB 90 连接 CD，若 CD7 ，则 AD 6 或 8 【分析】首先证明 A，C，B，D 四点共圆，再根据 ACBC，即可得出ADCBDC45，作 AECD 于 E，则AED 是等腰直角三角形，设AEDE x，则 AD x，在直角三角形 ACE 中，根据勾股定理即可求得【解答】解：如图，ACBADB90，A，C，B，D 四点共圆，又ABD
22、是等腰直角三角形，ADBD ， ，ADCBDC45，作 AECD 于 E，AED 是等腰直角三角形，设 AEDE x，则 AD x，CD7 ，CE7 x，AB10，AC AB5 ，在 Rt AEC 中，AC 2AE 2+EC2，（5 ） 2x 2+（7 x） 2解得 x4 或 3 ，AD x 8 或 6，故答案为 6 或 8【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是判定四点共圆，作辅助线构造等腰直角三角形，运用勾股定理进行计算三、解答题（本大题共 10 小题，满分 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
23、算步骤）17（12 分）（1）计算：（ ） 1 2sin60+（2019） 0；（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来【分析】（1）根据负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂分别求出每一部分的值，再计算加减即可；（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可【解答】解：（1）原式2+3 2 +13+2 ；（2）解不等式得：x1；解不等式 得： x3；不等式组的解集为：1x3，用数轴上表示为： 【点评】本题考查了负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能求出每一部分的值是解（1）的关键，能求出不等式
24、组的解集是解（2）的关键18（8 分）先化简，再求值：（ ） ，请从 0、1、2、1、2 五个数中选一个你喜欢的数代入求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的 a 的值代入计算可得【解答】解：原式 a1，当 a1 时，原式2【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件19（8 分）某校为了解九年级学生艺术测试情况，以九年级（1）班学生的艺术测试成绩为样本，按 A、B、C、D 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A 级：90 分100 分；B 级：
25、75 分89 分；C 级：60 分74 分；D 级：60 分以下）（1）此次抽样共调查了多少名学生？（2）请求出样本中 D 级的学生人数，并补全条形统计图；（3）若该校九年级有 1000 名学生，请你用此样本估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数【分析】（1）根据 A 级的学生数和所占的百分比可以求得本次抽样调查的学生数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得 D 级的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以得到该校九年级艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数【解答】解：（1）1020%50（名），即此次抽样共调查了 50 名学生；（2）样本中
26、D 等级的人数是： 501023125（名）补全的条形统计图如右图所示；（3）根据题意得：1000 660（人），答：估计艺术测试中分数不低于 75 分的学生人数约为 660 人【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答20（8 分）游客到某景区旅游，经过景区检票口时，共有 3 个检票通道 A、B、C，游客可随机选择其中的一个通过（1）一名游客经过此检票口时，选择 A 通道通过的概率是 ；（2）两名游客经过此检票口时，求他们选择不同通道通过的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2
27、）通过列表展示所有 9 种等可能结果，再找出通道不同的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）一名游客经过此检票口时，选择 A 通道通过的概率 ；故答案为 ；（2）列表如下：A B CA （A ，A） （A ，B） （A，C）B （B ，A） （B ，B） （B，C）C （C ，A ） （C ，B） （C ，A）共有 9 种等可能结果，其中通道不同的结果为 6 种，所以他们选择不同通道通过的概率 P 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率21（10 分）
28、某市特产大闸蟹，2016 年的销售额是 50 亿元，因优质生态，销售额是逐年增加，2018 年的销售额达 98 亿元，若2017、2018 年每年销售额增加的百分率都相同（1）求平均每年销售额增加的百分率；（2）某市这 3 年大闸蟹的总销售额是多少亿元？【分析】（1）增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为 x，根据“2018 年的销售额达 98 亿元”，即可得出方程（2）利用（1）中求得的增长率得到：2017 年的销售额是：50（1+0.4）70，所以 3年总销售额为：50+70+98218【解答】解：（1）设平均每年增加的百分率为 x，根据题意得：
29、50（1+x） 298，解得：x 10.4，x 22.4（不符合题意，舍去），答：平均每年销售额增加的百分率为 40%（2）2017 年的销售额是：50（1+0.4）70所以 3 年总销售额为：50+70+98218（亿元）答：某市这 3 年大闸蟹的总销售额是 218 亿元【点评】本题考查一元二次方程的应用关于平均增长率问题，可设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2b22（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，BEAC，DF AC，垂足分别为 E、F，连接DE、BF（1）求证：BEDF ；（2）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理
30、由【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 BCDA，结合 ADBC，从而可得，ACBDAC，根据 AAS 证出ABECDF，从而得出 BEDF（2）证得 BEDF 且 BEDF 即可证得四边形 BEDF 是平行四边形【解答】（1）证明：矩形 ABCD，ABCD，AB CD ，BAE DCF，BEAC，DFAC，BEA DFC90，ABE CDF（AAS），BEDF （2）四边形 BEDF 是平行四边形BEAC，DFAC，BEDF ，又BEDF ，四边形 BEDF 是平行四边形【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键23（10
31、 分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，梯形 BCDG 是某速滑场馆建造的速滑台，已知 CDEG，高 DG 为 4 米，且坡面 BC 的坡度为 1：1后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面 AC 的坡度为 1： （1）求新坡面 AC 的坡角；（2）原坡面底部 BG 的正前方 10 米（EB 的长）处是护墙 EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙 7 米请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据： 1.73）【分析】（1）过点 C 作 CHBG，根据坡度的概念、正确的定义求出新坡面 AC 的坡角；（2）根据坡度的定义分别求出 AH、BH ，求出 EA，根据题意进行
32、比较，得到答案【解答】解：（1）如图，过点 C 作 CHBG，垂足为 H，则 CHDG 4，新坡面 AC 的坡度为 1： ，tanCAH ，CAH30，即新坡面 AC 的坡角为 30；（2）新的设计方案能通过，坡面 BC 的坡度为 1：1，BHCH4，tanCAH ，AH CH4ABAH BH4 4，AEEBAB10（4 4）144 7.087，新的设计方案能通过【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键24（10 分）如图，一次函数 ykx+b（k0）和反比例函数 y （n0）分别交于点A（5， 1），B（1，a）（1）求反比例
33、函数和一次函数的函数表达式；（2）连接 AO、BO，求AOB 的面积；（3）根据图象直接写出不等式 kx+b 的解集【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数的解析式，把点 A（5，1）与点B（1，5）代入一次函数 ykx+b，即可得到一次函数解析式为 yx4；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）由图象即可得 kx+b 的 x 的取值范围【解答】解：（1）点 A（5，1）与点 B（1，a）在反比例函数 y （n0）图象上，n515，即反比例函数的解析式为 y 当 x1 时，y 5，即 B（1，5），点 A（5，1）与点 B（1，5）在一次函数 ykx+b（ k0）图象上， ，解
34、得： ，一次函数解析式为 yx 4；（2）对于 yx 4，当 y0 时，x4，C（4，0），S AOB S AOC +SBOC 41+ 4512；（3）由图象可得，当 x1 或 0x5 时，kx+b 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积公式，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键25（12 分）如图 1，已知 AB 是 O 的直径，弦 CDAB 垂足为 H，P 是 BA 延长线上一点，且 CA 平分PCH（1）判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 tanPCA ，AH2，分别求出 O 的半径 CO 和 PC 的长；（3）如图 2，过点 A 作 P
35、C 的平行线，分别交 CD、 O 于点 N、M，连接 DM，分别交 AB、CO 于点 E、F ，若 tanPCA ，试探究 DM 与 AC 之间的数量关系【分析】（1）根据角平分线的定义得到PCAHCA，得到OCA+PCA 90，根据切线的判定定理解答即可；（2）根据正切的定义求出 CH，根据勾股定理求出 r，根据正切的定义列式求出 PC；（3）连接 CM，AHk，则 CH2k，ANCN x，根据勾股定理用 k 表示出 AN，根据相似三角形的性质求出 AM，再根据相似三角形的性质计算，得到答案【解答】解：（1）直线 PC 与 O 相切理由如下：CA 平分PCH ，PCAHCA，OAOC，OAC
36、OCA，CDAB ，CAH+HCA90，OCA+PCA90，即 PCOC，PC 与O 相切；（2）设O 的半径为 r，PCAHCA，tanHCAtan PCA ， ，AH2，CH4，在 RtOCH 中，OH 2+CH2OC 2，即（r2） 2+42r 2，解得 r5，即 O 的半径 CO5，tanHOC ，tanPOC ，即 ，解得，PC ；（3）MD AC，理由如下：连接 CM，AMPC，CAMPCAACH，ANCN，tanPCA ，tanHCAtan PCA ，设 AHk，则 CH2k，ANCN x，在 Rt ANH 中， AH2+NH2AN 2，即 k2+（2kx ） 2x 2，解得，x
37、 k，即 AN k，在 Rt ACH 中， AHk，CH2k，AC k，CDAB ， ，CMAACD，又CAN CAM，ACN AMC， ，即 AC2ANAM，（ k） 2 kAM，解得，AM4k，MN4k k k，AMDACDCAM，ANCMND ，ACN MDN， ，MD AC【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握相似三角形的判定定和性质定理、圆周角定理是解题的关键26（14 分）如图 1，直线 ykx+n 分别与 y 轴、x 轴交于 A、B 两点，OA1，OB2，以 AB 为边作正方形 ABCD，抛物线 y +bx+c 经过点 A、B（1）分
38、别求出直线与抛物线相应的函数表达式；（2）试判断正方形 ABCD 的顶点 C 是否在抛物线上，并说明理由；（3）若点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（P 不与 A、B 重合）连接 AP、BP，求五边形 APBCD 面积的最大值；是否存在以 AP 为边的正方形 APEF，使其顶点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上？若存在，请求出此时 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由 OA1，OB2 易得 A、B 两点坐标，用待定系数法代入y +bx+c 直接求解即可（2）过点 C 作 CHx 轴，利用正方形的性质证明ABOBCH 即可（3） 用割补法将五边形 APBCD 的面积分割
39、为APB 的面积与正方形 ABCD 的面积之和，若要让五边形面积最大，只需让APB 面积最大，即 PQ 最长时满足题目要求用待定系数法表示出 PQ 长度，将表达式化为顶点式求解即可分析如图，设出 P 点坐标，利用正方形的性质求解即可【解答】解：（1）OA1 ，OB 2，A（0，1），B（2，0）又A、B 在直线 ykx+ n 的图象上， ，解得， ，直线 AB 的函数表达式为，y +1又y x2+bx+c 经过点 A、 B ，解得，抛物线的函数表达式为，y x2 x+1（2）点 C 在抛物线上如图，过点 C 作 CH x 轴四边形 ABCD 为正方形，ABBC， ABC90，ABO+CBH90
40、，又ABO+BAO 90，BAOCBHABOBCH（AAS ）BHAO 1，CHBO2，C（3，2）又当 x3 时，y 32 3+12点 C 在抛物线上（3） 如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 OB、AB 于点 N、Q，过点 A 作 AMPN 设点 P（m， m2 m+1），则 Q（m， m+1）PQ m+1（m 2 m+1） m2+ mS APB S APQ +SBPQ + m2+ m （m 1）2+ 当 m1 时，S APB 最大值 又S 正方形 ABCD5五边形 APBCD 面积的最大值为， +5 存在如图，过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 G，过点 E 作 EIPG，设点 P（m， m2 m+1），由（2）易证APG PEI，AGPI，PGEI ，E（ m2+ m， m2 m+1）又点 B（2，0）、C（3，2 ）在直线 BC 上，易求 yBC2 x4假设点 E 在边 BC 上，则 m2 m+12（ m2+ m）+1解得，m 11，m 22又点 P 在直线 AB 下方的抛物线上，0m2，m1，存在以 AP 为边的正方形 APEF，使其顶点 E 在正方形 ABCD 的边 BC 上，此时P（1， ）【点评】本题考查了用待定系数法求解抛物线解析式的基本能力，并会根据解析式设在函数图象上的点的坐标，综合数形结合的思想解决图形问题的能力
