1、2018 年江苏省泰州市泰兴实验中学中考数学二模试卷一、选择题（每小题 3 分）1（3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2+3x24x 4 B（3x） 29x 2C（a+b） 2a 2+b2 Dx 2y2x32x 4y2（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A BC D3（3 分）如果一元二次方程 2x2+3x+m0 有实数根，那么实数 m 的取值范围为（ ）A B C D4（3 分）某几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）A长方体 B圆柱 C球 D正三棱柱5（3 分）2015 年 1 月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低
2、气温的众数和中位数分别是（ ） 日期 19 20 21 22 23 24 25最低气温/ 2 4 5 3 4 6 7A4，4 B5，4 C4，3 D4，4.56（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，AD3，动点 P 在直线 AB 上方，且满足 SPAB：S 矩形 ABCD1：3，则使PAB 为直角三角形的点 P 有（ ）个A1 B2 C3 D4二、填空题（每小题 3 分）7（3 分）分解因式：4x 216 8（3 分）根据泰州市旅游局数据统计显示，今年“五一”小长假，溱湖国家湿地公园、凤城河风景区、黄桥老街等景区共接待旅游总人数 133000 人，这个数据用科学记数法可表示为 人9（3
3、 分）一个多边形的每个外角都是 60，则这个多边形边数为 10（3 分）若方程 2x24x+10 的两个根分别是 x1，x 2，则 x1（1x 2）+x 2 的值为 11（3 分）已知圆锥的侧面积为 20cm2，母线长为 5cm，则圆锥底面半径为 cm12（3 分）从 、 、 、 、0. 中，任取一个数，取到无理数的概率是 13（3 分）如图，G 为ABC 的重心，DE 过点 G，且 DEBC，交 AB、AC ，分别于D、E 两点，若ADE 的周长为 15，则ABC 的周长为 14（3 分）如图，AB 为 O 的直径，点 C，D 在O 上若AOD30，则BCD 的度数是 度15（3 分）已知关
4、于 x、y 的方程组 ，则代数式 22x4y 16（3 分）如图，在ABC 中，AD 是高，BD6，CD4，tanBAD ，P 是线段AD 上一动点，一机器人从点 A 出发沿 AD 以 个单位/秒的速度走到 P 点，然后以 1 个单位/秒的速度沿 PC 走到 C 点，共用了 t 秒，则 t 的最小值为 三、解答题17（12 分）（1）计算（3） 0+4sin45 +|1 |（2）解不等式组18（8 分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A最强大脑、B中国诗词大会、C朗读者、D出彩中国人的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制
5、了如下两幅不完整的统计图请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为 ；（2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为 ；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校共有 3000 名学生，估计该校最喜爱中国诗词大会的学生有多少名19（8 分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑球 2个（1）先从袋中取出 m（m1）个红球，再从袋子中随机摸出 1 个球，将“摸出黑球”记为事件 A，填空：若 A 为必然事件，则 m 的值为 ，若 A 为随机事件，则 m 的取值为 ；（2）若从袋中随机摸出 2 个球，正好红球、黑球各 1 个，求这个事件的概率
6、20（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC（1）作对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接 AF、CE，判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由21（10 分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，已知甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5：8，现先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，结果甲队比乙队多筑路 20 天求乙队平均每天筑路多少公里22（10 分）如图，在ABC 中，ABAC ，N 为 BC 的中点，经过 A、C、N 三点作圆，过 C 作该圆的切线交
7、AB 的延长线于点 P（1）求证：CAB2BCP；（2）若 BC2 ，sin BCP ，求过 A、C 、N 三点的圆的直径23（10 分）如图，在两建筑物 AB、CD 之间有一旗杆 MN，旗杆高 30 米，从 C 点经过旗杆顶点 N 恰好看到建筑物 AB 的塔尖 B 点，且仰角 为 60，又从 D 点测得塔尖 B的仰角 为 45，若旗杆底部点 M 为 AC 的中点，试分别求建筑物 AB、CD 的高（结果保留根号）24（10 分）如图，抛物线 yx 2+bx+3 与 x 轴交于点 A，B，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若 P（0，t）（t1）是 y 轴上一点，
8、Q（5，0），将点 Q 绕着点 P 逆时针方向旋转 90得到点 E用含 t 的式子表示点 E 的坐标；当点 E 恰好在该抛物线上时，求 t 的值25（12 分）在平面直角坐标系 XOY 中，点 P 的坐标为（x 1，y 1），点 Q 的坐标为（x 2，y 2），且 x1x 2，若 P、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与 x 轴平行（含重合），则称 P、Q 互为 “向善点”如图 1 为点 P、Q 互为“向善点”的示意图已知点 A 的坐标为（1， ），点 B 的坐标为（m，0）（1）在点 M（1，0）、S（ 2，0）、T （3，3 ）中，与 A 点互为“向善点”的是 ；（2）若 A、B 互为
9、“向善点”，求直线 AB 的解析式；（3）B 的半径为 ，若 B 上有三个点与点 A 互为“向善点”，请直接写出 m 的取值范围26（14 分）已知：点 A（n，y 1）、B（n+1，y 2）、C （n+2，y 3）都在反比例函数y （k 0）的图象上，其中 n 为正整数（1）若 n3，y 1y 32，求 k 的值；（2）若 k8试比较 y1+y3 的与 2y2 大小，并证明你的结论；若 OAOC，求 n 的值；（3）若 SABC 2，求 k 的最小值2018 年江苏省泰州市泰兴实验中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分）1（3 分）下列计算正确的是（ ）Ax 2+3
10、x24x 4 B（3x） 29x 2C（a+b） 2a 2+b2 Dx 2y2x32x 4y【分析】根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式和单项式的乘法解答即可【解答】解：A、x 2+3x24x 2，错误；B、（3x） 2 9x2，正确；C、（a+b） 2a 2+2ab+b2，错误；D、x 2y2x32x 5y，错误；故选：B【点评】此题考查单项式的乘法，关键是根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式和单项式的乘法法则解答2（3 分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错
11、误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合3（3 分）如果一元二次方程 2x2+3x+m0 有实数根，那么实数 m 的取值范围为（ ）A B C D【分析】由于方程有实数根，则根的判别式0，由此建立关于 m 的不等式，解不等式即可求得 m 的取值范围【解答】解：一元二次方程 2x2+3x+m0 有实数根，942m0，解得 m 故选：C【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当 0
12、时，方程有两个不相等的实数根；当 0 时，方程有两个相等的实数根；当 0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立4（3 分）某几何体的三视图如图，则该几何体是（ ）A长方体 B圆柱 C球 D正三棱柱【分析】首先判断该几何体为柱体，然后根据其左视图为圆得到该几何体为圆柱【解答】解：根据主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，左视图为圆可得此几何体为圆柱，故选：B【点评】主要考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识，重点训练空间想象能力5（3 分）2015 年 1 月份，无锡市某周的日最低气温统计如下表，则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（ ） 日期 19 20 21 22 23 2
13、4 25最低气温/ 2 4 5 3 4 6 7A4，4 B5，4 C4，3 D4，4.5【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义即可求解【解答】解：将一周气温按从小到大的顺序排列为 2，3，4，4，5，6，7，中位数为第四个数 4；4 出现了 2 次，故众数为 4故选：A【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数6（3 分）如图，在矩形 ABCD 中
14、，AB5，AD3，动点 P 在直线 AB 上方，且满足 SPAB：S 矩形 ABCD1：3，则使PAB 为直角三角形的点 P 有（ ）个A1 B2 C3 D4【分析】分三种情况：PAB90；PBA90；APB90；进行讨论即可求解【解答】解：如图所示：PAB 90时，满足 SPAB ：S 矩形 ABCD1：3，使PAB 为直角三角形的点 P 有 1个；PBA 90时，满足 SPAB ：S 矩形 ABCD1：3，使PAB 为直角三角形的点 P 有 1个；APB 90时，满足 SPAB ：S 矩形 ABCD1：3，使PAB 为直角三角形的点 P 有 2个故使PAB 为直角三角形的点 P 一共有 4
15、 个故选：D【点评】考查了矩形的性质，关键是分三种情况：PAB90；PBA90；APB 90；得到使PAB 为直角三角形的点 P 的个数二、填空题（每小题 3 分）7（3 分）分解因式：4x 216 4（x+2）（x 2） 【分析】先提取公因式 4，再对剩余项 x24 利用平方差公式继续进行因式分解【解答】解：4x 216，4（x 24），4（x+2）（x 2）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底8（3 分）根据泰州市旅游局数据统计显示，今年“五一”小长假，溱湖国家湿地公园、凤城河风景区、黄桥老街等景区共接
16、待旅游总人数 133000 人，这个数据用科学记数法可表示为 1.3310 5 人【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：133000 人，这个数据用科学记数法可表示为 1.33105 人故答案为：1.3310 5【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值9（3 分）一个
17、多边形的每个外角都是 60，则这个多边形边数为 6 【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数【解答】解：360606故这个多边形边数为 6故答案为：6【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都 36010（3 分）若方程 2x24x+10 的两个根分别是 x1，x 2，则 x1（1x 2）+x 2 的值为 【分析】x 1（1x 2）+x 2x 1x 1x2+x2（x 1+x2）x 1x2，利用一元二次方程根与系数的关系，求出 x1+x2 和 x1x2 的值，再代入原式即可得到答案【解答】解：x 1（1x 2）+x 2x 1x 1x2+x2（x 1+x2）x 1x2
18、，方程 2x24x+10 的两个根分别是 x1，x 2，x 1+x22，x 1x2 ，原式2 ，故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键11（3 分）已知圆锥的侧面积为 20cm2，母线长为 5cm，则圆锥底面半径为 4 cm 【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可【解答】解：圆锥的母线长是 5cm，侧面积是 20cm2，圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 8，锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，r 4cm 故答案为 4【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关
19、键是正确地进行圆锥与扇形的转化12（3 分）从 、 、 、 、0. 中，任取一个数，取到无理数的概率是 【分析】根据概率所求情况数与总情况数之比解答即可【解答】解：无理数有 、 、所以取到无理数的概率是 ，故答案为： 【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比13（3 分）如图，G 为ABC 的重心，DE 过点 G，且 DEBC，交 AB、AC ，分别于D、E 两点，若ADE 的周长为 15，则ABC 的周长为 【分析】延长 AG 交 BC 于 H，根据三角形的重心的性质得到 AG2GH ，根据相似三角形的性质解答【解答】解：延长 AG 交 BC 于 H，G 为A
20、BC 的重心，AG2GH ，DEBC， ，ADE ABC， ，ABC 的周长 ，故答案为： 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍14（3 分）如图，AB 为 O 的直径，点 C，D 在O 上若AOD30，则BCD 的度数是 105 度【分析】连接 AC，根据圆周角定理，可分别求出 ACB 90，ACD15，即可求BCD 的度数【解答】解：连接 AC，AB 为O 的直径，ACB90，AOD 30 ，ACD15，BCDACB+ACD 105【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
21、圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半15（3 分）已知关于 x、y 的方程组 ，则代数式 22x4y 【分析】首先根据方程组得到 x+y3，然后将代数式变形后代入即可求值【解答】解：将方程组 中的两个方程相加得 x+y2，22x4y 22x22y2 2x+2y2 4 ，故答案为： 【点评】本题考查了幂的乘方及同底数幂的乘法的知识，解题的关键是能够根据方程组求得 x+y3 ，难度适中16（3 分）如图，在ABC 中，AD 是高，BD6，CD4，tanBAD ，P 是线段AD 上一动点，一机器人从点 A 出发沿 AD 以 个单位/ 秒的速度走到 P 点，然后以 1 个单位/秒的速度沿 PC
22、走到 C 点，共用了 t 秒，则 t 的最小值为 8 【分析】作 PHAB 于 H，如图，利用三角函数求出 AD8，则 AB10，设机器从 A运动到 P 点用 x 秒，则从 P 点运动到 C 用了（tx ）秒，则 AP x，PCtx，再利用三角函数表示出 PHxx，所以 PC+PHt，利用两点之间线段最短判断点 C、P、H共线时，PC+PH 的值最小，即 t 的值最小，此时 CHAB，然后利用三角函数求出 CH即可得到的最小值【解答】解：作 PHAB 于 H，如图，AD 是高，ADBADC90，tanBAD ，AD 68，AB 10，设机器从 A 运动到 P 点用 x 秒，则从 P 点运动到
23、C 用了（tx）秒，AP x，PC tx ，在 Rt ABD 中，sinBAD ，在 Rt APH 中，sinPAH ，PH xx ，PC+PHx+tx t，而点 C、P、H 共线时，PC+PH 的值最小，即 t 的值最小，此时 CHAB ，在 Rt ABD 中，sinB ，在 Rt BCH 中， sin B ，CH （ 4+6）8，即 t 的最小值为 8故答案为 8【点评】本题考查了解直角三角形的应用：灵活使用勾股定理和三角函数进行几何计算解决本题的关键是证明 P 点到 AB 的距离和到 C 点的距离之和为 t三、解答题17（12 分）（1）计算（3） 0+4sin45 +|1 |（2）解不
24、等式组【分析】（1）原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可【解答】解：（1）原式1+4 2 + 1 ；（2） ，由得： x8，由得： x1，则不等式组的解集为 1x8【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（8 分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A最强大脑、B中国诗词大会、C朗读者、D出彩中国人的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图请你根据图中所提供
25、的信息，完成下列问题：（1）本次调查的学生人数为 120 ；（2）在扇形统计图中，A 部分所占圆心角的度数为 54 ；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校共有 3000 名学生，估计该校最喜爱中国诗词大会的学生有多少名【分析】（1）依据节目 B 的数据，即可得到调查的学生人数；（2）依据 A 部分的百分比，即可得到 A 部分所占圆心角的度数；（3）求得 C 部分的人数，即可将条形统计图补充完整；（4）依据喜爱中国诗词大会的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱中国诗词大会的学生数量【解答】解：（1）6655%120，故答案为：120；（2） 36054，故答案为：54；（3）C：12025
26、%30，如图所示：（4）300055%1650，答：该校最喜爱中国诗词大会的学生有 1650 名【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答19（8 分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑球 2个（1）先从袋中取出 m（m1）个红球，再从袋子中随机摸出 1 个球，将“摸出黑球”记为事件 A，填空：若 A 为必然事件，则 m 的值为 3 ，若 A 为随机事件，则 m 的取值为 2 ；（2）若从袋中随机摸出 2 个球，正好红球、黑球各 1 个，求这个事件的概率【分析】（1）由在一个
27、不透明的袋子中装有仅颜色不同的 5 个小球，其中红球 3 个，黑球 2 个，根据必然事件与随机事件的定义，即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从袋中随机摸出 2 个球，正好红球、黑球各 1 个的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）“摸出黑球”为必然事件，m3，“摸出黑球”为随机事件，且 m1，m2；故答案为：3，2；（2）画树状图得：共有 20 种等可能的结果，从袋中随机摸出 2 个球，正好红球、黑球各 1 个的有 12 种情况，从袋中随机摸出 2 个球，正好红球、黑球各 1 个的概率为： 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知
28、识点为：概率所求情况数与总情况数之比20（8 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC（1）作对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于点 E、F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接 AF、CE，判断四边形 AFCE 的形状，并说明理由【分析】（1）利用基本作图作 EF 垂直平分 AC；（2）利用线段的垂直平分线的性质得 AECE，AFCF，利用等腰三角形的性质得到AFE CFE，再根据平行线的性质得 AEFCFE，所以AFEAEF，从而得到 AEAF，然后根据菱形的判定方法可判断四边形 AFCE 为菱形【解答】解：（1）如图，点 E、F 为所作；（2）四边形 AFC
29、E 为菱形理由如下：EF 垂直平分 AC，AECE，AFCF，EF 平分AFC，即AFECFE ，ADBC，AEF CFE，AFE AEF，AEAF，AEECCFAF ，四边形 AFCE 为菱形【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的判定方法21（10 分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，已知甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为 5：8，现先由甲队筑路 60 公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的 倍，结果甲队比乙队多筑路 20 天
30、求乙队平均每天筑路多少公里【分析】设甲队平均每天筑路 5x 公里，则乙队平均每天筑路 8x 公里，根据工作时间工作总量工作效率结合甲队比乙队多筑路 20 天，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答】解：设甲队平均每天筑路 5x 公里，则乙队平均每天筑路 8x 公里，根据题意得： 20，解得：x0.1，经检验，x0.1 是所列分式方程的解，且符合题意，8x0.8答：乙队平均每天筑路 0.8 公里【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键22（10 分）如图，在ABC 中，ABAC ，N 为 BC 的中点，经过 A、C、N 三点作圆，过 C
31、作该圆的切线交 AB 的延长线于点 P（1）求证：CAB2BCP；（2）若 BC2 ，sin BCP ，求过 A、C 、N 三点的圆的直径【分析】解：（1）连接 AN， AB 是直径，故 ANBC ，AN 是BAC 的平分线，即可求解；（2）ANNC BC ，在 RtACN 中，AC 5【解答】解：（1）连接 AN，AB 是直径，ANBC，ABAC，ANCN，AN 是BAC 的平分线，PC 是圆的切线，PCBNAC，CAB2BCP；（2）ANNC BC ，在 Rt ACN 中， AC 5【点评】本题考查的是圆切线的性质，涉及到等腰三角形、解直角三角形等相关知识，是一个综合性的题目23（10 分
32、）如图，在两建筑物 AB、CD 之间有一旗杆 MN，旗杆高 30 米，从 C 点经过旗杆顶点 N 恰好看到建筑物 AB 的塔尖 B 点，且仰角 为 60，又从 D 点测得塔尖 B的仰角 为 45，若旗杆底部点 M 为 AC 的中点，试分别求建筑物 AB、CD 的高（结果保留根号）【分析】先在ABC 中，根据中位线的性质得出 AB2MN60 米然后在 RtMNC中，根据正切函数的定义得出 tan60 ，则 MC 10 米由 DHAB，则HDAC20 米解 Rt BHD，得出 BH20 米，根据 CDABBH 即可求解【解答】解：在ABC 中，由题意 MN 是中位线，所以 AB2MN60 米在 R
33、t MNC 中， tan60 ，MN30 米，MC 10 米如图，DHAB，则 DHAC2MC，HDAC20 米在 Rt BHD 中，tan45 ，BH20 米，CDAB BH（6020 ）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，涉及到中位线的性质，正切函数的定义，难度适中24（10 分）如图，抛物线 yx 2+bx+3 与 x 轴交于点 A，B，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若 P（0，t）（t1）是 y 轴上一点，Q（5，0），将点 Q 绕着点 P 逆时针方向旋转 90得到点 E用含 t 的式子表示点 E 的坐标；当点 E 恰好在该抛物线上时
34、，求 t 的值【分析】（1）把点 B 的坐标代入二次函数解析式，求出 b，利用配方法求出抛物线的顶点坐标；（2） 作 EHy 轴于 H，证明EPHPQO，关键全等三角形的性质得到PHOQ 5， EHOP t，得到点 E 的坐标；把点 E 的坐标代入二次函数解析式，计算得到答案【解答】解：（1）抛物线 yx 2+bx+3 与 x 轴交于点 B，点 B 的坐标为（1，0）1 2+b+30，解得，b2，抛物线的解析式为：yx 22x +3，yx 22x+3（x+1 ） 2+4，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2） 作 EHy 轴于 H，由旋转的性质可知，PEPQ，EPQ90，EPH+HPQ90，PO
35、Q 90 ，OPQ +OQP90，EPHPQO，在EPH 和PQO 中，EPHPQO（AAS），PHOQ 5 ，EHOP t，OHPH OP 5+t，则点 E 的坐标为（t，5+t）；当点 E 恰好在该抛物线上时，t 22t +35+ t，解得，t 12，t 21t1，t2【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键25（12 分）在平面直角坐标系 XOY 中，点 P 的坐标为（x 1，y 1），点 Q 的坐标为（x 2，y 2），且 x1x 2，若 P、
36、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与 x 轴平行（含重合），则称 P、Q 互为 “向善点”如图 1 为点 P、Q 互为“向善点”的示意图已知点 A 的坐标为（1， ），点 B 的坐标为（m，0）（1）在点 M（1，0）、S（ 2，0）、T （3，3 ）中，与 A 点互为“向善点”的是 S，T ；（2）若 A、B 互为“向善点”，求直线 AB 的解析式；（3）B 的半径为 ，若 B 上有三个点与点 A 互为“向善点”，请直接写出 m 的取值范围【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点 S，T 与 A 点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可
37、得出关于 m 的分式方程，解之经检验后可得出点 B 的坐标，根据点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线 AB的解析式；（3）分B 与直线 y x 相切及B 与直线 y x+2 相切两种情况求出 m 的值，再利用数形结合即可得出结论【解答】解：（1） ， tan60， tan60，点 S，T 与 A 点互为“向善点”故答案为：S，T（2）根据题意得： ，解得：m 10，m 22，经检验，m 10，m 22 均为所列分式方程的解，且符合题意，点 B 的坐标为（0，0）或（2，0）设直线 AB 的解析式为 ykx+b（k0），将 A（1， ），B（0，0）或（2，0）代入 ykx+b，得：或
38、 ，解得： 或 ，直线 AB 的解析式为 y x 或 y x+2 （3）当B 与直线 y x 相切时，过点 B 作 BE直线 y x 于点 E，如图 2 所示BOE60，sin60 ，OB2，m2 或 m2；当 B 与直线 y x+2 相切时，过点 B 作 BF直线 y x+2 于点 F，如图 3 所示同理，可求出 m0 或 m4综上所述：当2m0 或 2m 4 时，B 上有三个点与点 A 互为“向善点”【点评】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与
39、 A 点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分B 与直线 y x 相切及B 与直线 y x+2 相切两种情况考虑26（14 分）已知：点 A（n，y 1）、B（n+1，y 2）、C （n+2，y 3）都在反比例函数y （k 0）的图象上，其中 n 为正整数（1）若 n3，y 1y 32，求 k 的值；（2）若 k8试比较 y1+y3 的与 2y2 大小，并证明你的结论；若 OAOC，求 n 的值；（3）若 SABC 2，求 k 的最小值【分析】（1）先确定出点 A，C 坐标，再用 y1y 32 建立方程求解即可得出结论；（2） 先确定出反比例函数解析式，
40、进而得出 y1+y3 ，2y 2 ，最后用作差法比较即可得出结论；先确定出点 A，C 坐标，利用两点间距离公式得出 OA2，OC 2，再用 OAOC 建立方程求解即可得出结论；（3）利用面积的差建立方程，得出 k2n（n+1）（n+2），即可得出结论【解答】解：n3，A（3，y 1）、C （5，y 3），点 A，C 在反比例函数 y （k0）的图象上，y 1 ，y 3 ，y 1y 32， 2，k15；（2） y1+y32y 2，理由：k8，反比例函数解析式为 y ，点 A（n，y 1）、B（n+1 ，y 2）、C （n+2，y 3）都在反比例函数 y 的图象上，y 1+y3 ，2y 22 ，y
41、 1+y32y 2 ，n 为正整数， 0，y 1+y32y 20，y 1+y32y 2，k8，A（n， ），C （n+2， ）OA 2n 2+ ，OC 2（n+2） 2+ ，OAOC，n 2+ （n+2） 2+ ，（n+2） 2n 2 64 ，4（n+1）64 ，n（n+2 ） 264，n（n+2）8 或 n（n+2 ）8（舍），n2 或 n4（舍），即：n2；（3）如图，过 A 作 ADx 轴于 D，过 B 作 BEx 轴于 E，过 C 作 CFx 轴于 F，点 A（n，y 1）、B（n+1 ，y 2）、C （n+2，y 3），ADy 1，BEy 2，CFy 3，DEn+1 n1，EF n+2（n+1）1，DFn+2n2，S ABC 2，S ABC S 梯形 ADFCS 梯形 ADEBS 梯形 BEFC （y 1+y3）2 （y 1+y2） （y 2+y3） （2y 1+2y3y 1y 2y 2y 3） （y 1+y32y 2）2，y 1+y32y 24y 1 ，y 2 ，y 3 ， 2 4，k2n（n+1）（n+2），n 为正整数，当 n1 时，k 最小值 12【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，用作差法比较代数式的大小，利用面积的差求几何图形的面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键
