1、2019 年江苏省扬州市仪征市铜山初级中学中考数学三模试卷一选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）1下列各数中，有可能是负数的是（ ）A|a | Ba 3 C D（ ） 22如果（a+1）xa+1 的解集是 x1，那么 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba1Ca1 Da 是任意有理数3如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A BC D4将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中 与 相等的是（ ）ABCD5小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：移植棵数（n）成活数（m） 成活率（m/n）移植棵数（
2、n）成活数（m） 成活率（m/n）50 47 0.940 1500 1335 0.890270 235 0.870 3500 3203 0.915400 369 0.923 7000 6335 0.905750 662 0.883 14000 12628 0.902下面有四个推断：当移植的树数是 1500 时，表格记录成活数是 1335，所以这种树苗成活的概率是 0.890；随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900；若小张移植 10000 棵这种树苗，则可能成活 9000 棵；若小张移植 20000 棵这种树苗，则一
3、定成活 18000 棵其中合理的是（ ）A B C D6如图，以正方形 ABCD 的顶点 A 为坐标原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系，对角线 AC 与BD 相交于点 E，P 为 BC 上一点，点 P 坐标为（a，b），则点 P 绕点 E 顺时针旋转 90得到的对应点 P的坐标是（ ）A（ab，a） B（b，a） C（ab，0） D（b，0）7因为（x1） 20，所以 x22x +10，即 x2+12x，由此可得出结论：若 x 为实数，则x2+12x，运用这个结论求代数式 的最大值为（ ）A0 B C1 D8如图，在ABC 中，AB AC ，B30，ADAB，交 BC 于点 D，AD4
4、，则 BC 的长为（ ）A8 B4 C12 D6二填空题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）9将 473000 用科学记数法表示为 10如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝髙 23m，斜坡 AB 的坡度i1：3，斜坡 CD 的坡度 i1：2.5，则坝底宽 AD m11如果关于 x 的一元二次方程 x2+a+20 没有实数根，那么实数 a 的取值范围为 12圆锥的底面半径是 4cm，母线长是 5cm，则圆锥的侧面积等于 cm 213如果一组数据 1，3，5，a，8 的方差是 0.7，则另一组数据 11，13，15，a+10，18 的方差是 14若最简二次根式 与
5、 是同类二次根式，则 a+b 15将函数 y3x +1 的图象平移，使它经过点（1，1），则平移后的函数表达式是 16如图，点 A 在双曲线 y （x0）上，点 B 在双曲线 y （x0）上，且 ABx 轴，BCy 轴，点 C 在 x 轴上，则ABC 的面积为 17如图，在ABC 中，BE 平分ABC 交 AC 于点 E， AFBC 于点 F，BE、AF 交于点 P，若AB 9，PF3，则ABP 的面积是 18计算 2111，2 213，2 317，2 4115，2 5131，归纳计算结果中的个位数字规律，猜测 220181 的个位数字是 三解答题（共 10 小题，满分 96 分）19（8 分
6、）（1）计算： +3tan30+（ ） 2 4（ 2） 0（2）因式分解：ab 22ab+a20（8 分）解不等式组 ，将解集在数轴上表示出来，并求出此不等式组的所有整数解21（8 分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组，A：0.5 x1，B：1x1.5 ，C：1.5x2，D ：2x 2.5，E：2.5x3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了 名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有 900 名学生，估计该校在这次活动中做
7、家务的时间不少于 2.5 小时的学生有多少人？22（8 分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率23（10 分）某八年级计划用 360 元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多 10 本（1）请利用分式方程求出每本笔记本的原来标价；（2）恰逢文具店周年志庆，每本笔记本可以按原价打 8 折，这样该校最多可购入本笔记本？24（10 分）如图，将ABC 沿直线 AB 向右平移后到
8、达BDE 的位置（1）若 AC6cm，则 BE cm；（2）若CAB50，BDE100，求CBE 的度数25（10 分）如图，有长为 24m 的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 xm，面积为 Sm2（1）求 S 与 x 的函数关系式及 x 值的取值范围；（2）要围成面积为 45m2 的花圃， AB 的长是多少米？（3）、当 AB 的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？26（10 分）如图，直线 L1：ybx+c 与抛物线 L2：yax 2 的两个交点坐标分别为 A（m ，4），B（1， 1）（1）求 m 的值；（2）过
9、动点 P（n，0）且垂直于 x 轴的直线与 L1，L 2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，请直接写出 n 的取值范围27（12 分）如图，AB 是 O 的直径， ，连结 AC，过点 C 作直线 lAB，点 P 是直线 l上的一个动点，直线 PA 与 O 交于另一点 D，连结 CD，设直线 PB 与直线 AC 交于点 E（1）求BAC 的度数；（2）当点 D 在 AB 上方，且 CDBP 时，求证：PCAC；（3）在点 P 的运动过程中当点 A 在线段 PB 的中垂线上或点 B 在线段 PA 的中垂线上时，求出所有满足条件的ACD的度数；设O 的半径为 6，点 E 到直线 l
10、 的距离为 3，连结 BD，DE ，直接写出BDE 的面积28（12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且PA PE，PE 交 CD 于 F（1）证明：PCPE；（2）求CPE 的度数；（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当ABC120时，连接CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由2019 年江苏省扬州市仪征市铜山初级中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）1【分析】根据根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案【解答】解：（
11、A）|a|0，故 A 不可能是负数（C） |a|0，故 C 不可能是负数（D）（ ） 2a（a0），故 D 不可能是负数故选：B【点评】本题考查学生的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型2【分析】根据不等式的性质 3，可得答案【解答】解：如果（a+1）xa+1 的解集是 x1，得 a+10，a1，故选：B【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变3【分析】根据面动成体，梯形绕高旋转是圆台，可得答案【解答】解：梯形绕高旋转是圆台，故 C 正确；故选：C【点评】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，梯形绕高旋转是
12、圆台4【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意；B、由图形得出两角的关系，即可做出判断；C、根据图形可得出两角都为 45的邻补角，可得出两角相等；D、由图形得出两角的关系，即可做出判断【解答】解：A、由图形得： +90，不合题意；B、由图形得： +90，+ 60，可得 30，不合题意；C、由图形可得：18045135，符合题意；D、由图形得：+4590， +3090，可得 45，60，不合题意故选：C【点评】此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键5【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900，据此进
13、行判断即可【解答】解：当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是 0.890，故错误；随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 0.900 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是 0.900，故正确；若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵，故正确；若小张移植 20 000 棵这种树苗，则不一定成活 18 000 棵，故错误故选：C【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集
14、中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率6【分析】如图，连接 PE，点 P 绕点 E 顺时针旋转 90得到的对应点 P在 x 轴上，根据正方形的性质得到ABC90， AEB 90，AE BE，EAPEBP45，由点 P 坐标为（a，b），得到 BPb，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】解：如图，连接 PE，点 P 绕点 E 顺时针旋转 90得到的对应点 P在 x 轴上，四边形 ABCD 是正方形，ABC90，AEB 90，AEBE，EAPEBP45，点 P 坐标为（a，b），BPb，PEP 90，AEP PEB ，在AEP 与BEP 中， ，AEP BEP （ASA），APB
15、Pb，点 P的坐标是（b，0），故选：D【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键7【分析】由 x2+12x ，要求代数式 的最大值，推出 x 必须大于 0，可得 ，即 ；【解答】解：x 2+12x ，要求代数式 的最大值，x 必须大于 0， ，即 ， 的最大值为 ，故选：B【点评】本题考查数与式，完全平方公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识解决问题8【分析】由等腰三角形的性质得出BC30，BAD90；易证得DACC30，即 CDAD4RtABD 中，根据 30角所对直角边等于斜边的一半，可求得 BD2AD8；由此可求得 BC 的长
16、【解答】解：ABAC，BC30，ABAD ，BD2AD 248，B+ ADB90，ADB60，ADBDAC+C60 ，DAC30，DACC，DCAD，4BCBD+ DC8+4 12，故选：C【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含 30角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出 BD 和 CD 的长度是解决问题的关键二填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）9【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时
17、，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 473000 用科学记数法表示为 4.73105故答案为：4.7310 5【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值10【分析】根据斜坡 AB 的坡度求出 AE，再根据 CD 的坡度求出 DF，最后根据根据ADAE+ EF+DF，即可求出坝底宽 AD【解答】解：AB 的坡度 i1：3，tanA ， ，BE23，AE69，BC6，EF6，CD 的坡度 i1：2.5，tanD ， ，DF57.5，ADAE+EF +DF69+6
18、+57.5132.5（m ）答：坝底宽 AD 的长是 132.5m故答案为：132.5【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解11【分析】由方程根的情况，根据判别式可得到关于 a 的不等式，则可求得 a 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+a+20 没有实数根，0，即 a280，解得2 a2 ，故答案为：2 a2 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键12【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可【解答
19、】解：这个圆锥的侧面积 24520 （cm 2）故答案为：20；【点评】本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长13【分析】根据题目中的数据和方差的定义，可以求得所求数据的方差【解答】解：设一组数据 1，3，5，a，8 的平均数是 ，另一组数据 11，13，15，a+10，18 的平均数是 +10， 0.7， 0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查方差，解答本题的关键是明确题意，利用方差的知识解答14【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答【解答】解：最简二次根式 与 是同类
20、二次根式， ，解得： ，则 a+b2，故答案为：2【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式15【分析】根据函数图象平移的性质得出 k 的值，设出相应的函数解析式，再把经过的点代入即可得出答案【解答】解：新直线是由一次函数 y3x+1 的图象平移得到的，新直线的 k3，可设新直线的解析式为：y3x +b经过点（1，1），则 13+b1，解得 b2，平移后图象函数的解析式为 y3x2；故答案为：y3x 2【点评】此题考查了一次函数图形与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时 k 和 b的值的变化16【分析】作 AEx 轴
21、于 E，BFx 轴于 F，延长 BA 交 y 轴于点 D，如图，根据反比例函数比例系数 k 的几何意义得 S 矩形 AEOD1，S 矩形 BFOD4，于是得到 S 矩形 AEFB3，然后根据矩形的性质和三角形面积公式易得 SABC S FAB 1.5【解答】解：作 AEx 轴于 E，BFx 轴于 F，延长 BA 交 y 轴于点 D，如图，ABx 轴，S 矩形 AEOD1，S 矩形 BFOD4，S 矩形 AEFB413，S FAB 1.5，S ABC S FAB 1.5故答案为 1.5【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的面积，熟练掌握反比例函数系数 k 的几何意义是解题的关键
22、17【分析】如图，作 PH AB 于 H利用角平分线的性质定理证明 PHPF 即可解决问题【解答】解：如图，作 PH AB 于 HBE 平分ABC，PHAB， PFBC，PHPF3，S ABP ABPH ，故答案为 【点评】本题考查三角形的面积，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型18【分析】由 2111，2 213，2 317，2 4115，2 5131，而题目中问 220181的个位数字，可以猜想个位数字呈现一定的规律【解答】解：2 111，2 213，2 317，2 4115，25131，2 6163，2 71127，2 81255由此可以猜测个位数
23、字以 4 为周期按照 1，3，7，5 的顺序进行循环，知道 2018 除以 4 为 504 余 2，而第 2 个数字为 3，所以可以猜测 220181 的个位数字是 3故答案为：3【点评】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键三解答题（共 10 小题，满分 96 分）19【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案；（2）首先提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式得出答案【解答】解：（1）原式3 +3 +4414 ；（2）ab 22ab+aa（b 22b+1）a（b1） 2【点评】此题主要考查了实数运算以及分解因式，正确
24、化简各数是解题关键20【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，由两不等式解集的公共部分可得不等式组的解集，即可求得解集内所有整数解【解答】解：解不等式 ，得： x1，解不等式 ，得： x2，则不等式的解集为：1x2，将不等式解集表示在数轴上如图：此不等式组的所有整数解为：1，0，1【点评】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集也考查了数轴表示不等式的解集21【分析】（1）根据 D 组人数及其所占百分比即可得出总人数；（2）总人数乘以 C 组的百分比求得 C 组人数，总
25、人数减去其余各组人数求得 B 人数人数即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中 E 组人数所占比例可得【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为 1020%50（人），故答案为：50；（2）1.5x2 的人数为 5040%20 人，1x1.5 的人数为 50（3+20+10+4）13 人，补全图形如下：（3）900 72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有 72 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题22【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰
26、好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为 A，B，C，D，垃圾要按 A，B，C、D 类分别装袋，甲拿了一袋垃圾，甲拿的垃圾恰好是 B 类：厨余垃圾的概率为： ；（2）画树状图如下：由树状图知，乙拿的垃圾共有 16 种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有 12 种结果，所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键23【分析】（1）根据打折后购买的数量比打折前多 10 本，进而得出等式求出答案；（2）先求出打 8 折后的标价，
27、再根据数量总价单价，列式计算即可求解【解答】解：（1）设笔打折前售价为 x 元，则打折后售价为 0.9x 元，由题意得： +10 ，解得：x4，经检验，x4 是原方程的根答：打折前每支笔的售价是 4 元；（2）购入笔记本的数量为：360（40.8）112.5（元）故该校最多可购入 112 本笔记本【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键24【分析】（1）由平移性质知ABCBDE，据此可得 BEAC6cm；（2）由ABCBDE 得DBECAB50、BDEABC100，根据CBE180ABCDBE 可得答案【解答】解：（1）将ABC 沿直线 AB 向右平移得到BDE，ABC
28、BDE，BEAC6cm，故答案为：6；（2）由（1）知ABCBDE，DBECAB50、BDEABC100，CBE180ABCDBE30【点评】本题主要考查平移的性质，解题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等25【分析】（1）根据 AB 为 xm，BC 就为（243x ），利用长方体的面积公式，可求出关系式（2）将 s45m 代入（1）中关系式，可求出 x 即 AB 的长（3）当墙的宽度为最大时，有最大面积的花圃此故可求【解答】解：（
29、1）根据题意，得 Sx（243x），即所求的函数解析式为：S3x 2+24x，又0243x10， ，（2）根据题意，设 AB 长为 x，则 BC 长为 243x3x 2+24x 45整理，得 x28x +150，解得 x3 或 5，当 x3 时，BC 2491510 不成立，当 x5 时，BC 2415910 成立，AB 长为 5m；（3）S24x3x 23（x 4） 2+48墙的最大可用长度为 10m， 0BC243x10， ，对称轴 x4，开口向下，当 x m，有最大面积的花圃即：x m，最大面积为：24 3（ ） 246.67m 2【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的
30、意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆26【分析】（1）根据点 B 的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出 a 值，再将点 A 的坐标代入抛物线解析式中可求出 m 的值，结合点 A 在第二象限即可确定 m 的值；（2）根据两函数图象的上下位置关系即可得出：当2x1 时，直线在抛物线的上方，结合题意即可得出 n 的取值范围【解答】解：（1）把 B（1，1）代入 yax 2 得：a1，抛物线解析式为 yx 2把 A（m，4）代入 yx 2 得：4m 2，m2点 A 在二象限，m2（2）观察函数图象可知：当2x1 时，直线在抛物线的上方，
31、n 的取值范围为：2n1【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键27【分析】（1）只要证明ABC 是等腰直角三角形即可；（2）只要证明 CBCP，CBCA 即可；、（3） 分四种情形分别画出图形一一求解即可；分两种情形如图 6 中，作 EKPC 于 K只要证明四边形 ADBC 是正方形即可解决问题；如图 7 中，连接 OC，作 BG CP 于 G，EKPC 于 K由 AOQ ADB，可得 SABD ，可得 SPBD S ABP S ABD ，再根据 SBDE SPBD 计算即可解决问题；【解答】解：（1）如图 1
32、 中，连接 BC ，BCCA，AB 是直径，ACB90，BACCBA45（2）解：如图 1 中，设 PB 交 CD 于 K ，CDBCDP45，CB CA ，CD 平分BDP，又CDBP，DKBDKP90，DKDK，DKBDKP，BKKP，即 CD 是 PB 的中垂线，CPCBCA（3） （）如图 2，当 B 在 PA 的中垂线上，且 P 在右时，ACD15；理由：连接 BD、OC作 BGPC 于 G则四边形 OBGC 是正方形，BGOCOBCG，BABA，PB2BG ，BPG30，ABPC，ABP 30，BD 垂直平分 AP，ABD ABP15，ACD15（）如图 3，当 B 在 PA 的中
33、垂线上，且 P 在左，ACD105；理由：作 BGCP 于 G同法可证BPG30，可得APBBAPAPC 15，ABD75，ACD+ABD180，ACD105；（）如图 4，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在右时ACD60；理由：作 AHPC 于 H，连接 BC同法可证APH30，可得DAC75，D ABC45，ACD60；（）如图 5，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在左时ACD120理由：作 AHPC 于 H同法可证：APH30，可得ADC45，DAC604515，ACD120如图 6 中，作 EKPC 于 KEKCK3 ，EC3 ，AC6 ，AEEC，ABPC，BAE PCE，AEB
34、PEC，ABE CPE，PCABCD，PCD 是等腰直角三角形，可得四边形 ADBC 是正方形，S BDE S 正方形 ADBC36如图 7 中，连接 OC，作 BGCP 于 G，EKPC 于 K由题意 CKEK 3，PK1，PG2，由AOQ PCQ ，可得 QC ，PQ2 ，由AOQ ADB，可得 SABD ，S PBD S ABP S ABD ，S BDE SPBD 综上所，满足条件的BDE 的面积为 36 或 【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中 30 度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类
35、讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题28【分析】（1）欲证明 PCPE ，只要证明ABPCBP 即可；（2）利用“8 字型”证明角相等即可解决问题；（3）首先证明ABPCBP （SAS ）推出 PAPC ， BAPBCP ，再证明EPC 是等边三角形，可得 PCCE，即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBC，ABP CBP45，在ABP 和CBP 中，ABP CBP（SAS），PAPC，PAPE，PCPE；（2）由（1）知，ABPCBP ，BAP BCP，DAPDCP，PAPE，DAPE，DCPE，CFPEFD（对顶角相等），180PFCPCF180DFEE ，即CPFEDF90；（3）在菱形 ABCD 中，AB BC，ABPCBP ，在ABP 和CBP 中，ABP CBP（SAS），PAPC， BAPBCP，DAPDCP，PAPE，PCPE，PAPE，DAP E， DCPE，CFPEFD，CPF EDFABCADC120，CPFEDF180ADC60，EPC 是等边三角形，PCCE，APCE；【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题
