北京市西城区2019年5月高三统一测试数学理科试题含(PDF版)

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1、数学(理科) 第 1 页(共 5 页) 北京市西城区 高三统一测试 数学(理科) 2019.5 第卷 (选择题 共 40 分) 一、 选择 题 :本大题 共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 1 设集合 1 | 1Axx, 1 2, , 32B , 则 AB ( A) 12, 2 ( B) 12 ( C) 1,32 ( D) 2若复数 i ( i)za 满足 | | 2z ,则 实数 a 的取值范围是 ( A) 3,+ ) ( B) 1,1 ( C) ( , 3 3 ,+ ) ( D) ( , 1 1,+ ) 3. 执行如图所示的程序框图

2、,则输出 的 S 值等于 ( A) 1 1 11 2 3 8 ( B) 1 1 11 2 3 7 ( C) 1 1 111 2 3 8 ( D) 1 1 111 2 3 7 4 在极坐标系中, 直线 cos 2 与圆 4cos 交于 ,AB两点,则 |AB ( A) 4 ( B) 23 ( C) 2 ( D) 3 1kk 输出 S 开始 否 结束 1SSk是 1, 1kS 8k数学(理科) 第 2 页(共 5 页) 5. 设函数 ()fx的定义域为 R ,则“ 函数 | ( )|y f x 的图象关于 y 轴对称 ”是“函数 ()fx为奇 函数 ” 的 ( A)充分而不必要条件 ( B)必要而

3、不充分条件 ( C)充要条件 ( D)既不充分也不必要条件 6. 若实数 x, y, z 互不相等,且满足 42 3 logxy z , 则 ( A) z x y ( B) z y x ( C) zx , zy ( D) xy , xz 7. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 1,平面 与该正四面体相交 . 对于实数 (0 1)dd ,记正四面体 ABCD 的四个顶点中到平面 的距离等于 d 的点的个数 为 m,那么下列结论中正确的是 ( A) m 不可能等于 2 ( B) m 不可能等于 3 ( C) m 不可能等于 4 ( D)以上三个答案都不正确 8. 设 f 是直角坐标平面 xOy 到

4、自身的一个映射,点 (, )Pxy 在映射 f 下的象为点 ( , )22yxQ ,记作()Q f P . 已知 1(16,8)P , 1 ()nnP f P , 其中 1,2,3,n. 那么 对于任意的 正整数 n, ( A) 存在点 M,使得 | | 10nMP ( B) 不存在点 M,使得 | | 5 5nMP ( C) 存在无数个点 M,使得 | | 6 5nMP ( D) 存在唯一的点 M,使得 | | 8 5nMP 数学(理科) 第 3 页(共 5 页) 第卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题 :本大题 共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. 在二项式 5(1 )

5、x 的展开式中, 2x 的系数为 _ 10 以椭圆 22 154xyC : 在 x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_; 此 双曲线的渐近线方程为 _. 11 在 ABC 中,若 2ab , 2bc , 则三个内角中 最大角的余弦值 为 _ 12. 某三棱锥的三视图如图所示 ,则 在 该三棱锥 表面的四个三角形中,等腰三角形的个数 为 _ 13 能说明 “ 设 数列 na 的 前 n 项和 为 nS , 对于任意的 *nN , 若 1nnaa ,则 1nnSS ” 为假命题的一 个等差数列是 _ (写出数列的通项公式) 14 因市场战略储备的需要, 某公司从 1 月 1 日起每月

6、 1 日购买了相同金额的某种物资,连续购买了 4 次 . 由于市场变化, 5 月 1 日该公司不得不将此物资全部卖出 . 已知该物资的购买和卖出都是以份为 计价 单位进行交易, 且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么 下面三个折线图 中 反映了这种物资每份价格 (单位:万元) 的可能变化情况 的是 _.(写出所有正确的图表序号) 0.50 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 . . . . 图 1 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 . 日期 0.25 侧 (左 )视图 正 (主 )视图 俯视图 2 2 1 1 11 . . . . 1月 1日 2月 1日 3月

7、 1日 4月 1日 5月 1日 图 2 0.50 0.75 1.00 1.25 . 万 元 / 份 日期 0.25 . . . . . 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 图 3 0.50 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 日期 0.25 数学(理科) 第 4 页(共 5 页) 三、解答题 :本大题 共 6 小题,共 80 分 解答应写出 必要的 文字说明 、证明过程或 演算步骤 15 (本小题满分 13 分) 已知函数 ( ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o s6f x x x x . ( ) 求 函数 ()fx的最小正周期 ; ( ) 将

8、函数 ()fx的图象向 左 平移 3个单位,得到 的 图象 对应的 函数 解析式为 ()gx , 求 ()gx的 单调 增 区间 . 16 (本小题满分 13 分) 10 月 1 日, 某品牌 的 两款 最新 手机 (记为 W 型号, T 型号) 同时投放市场 . 手机 厂商为 了解 这两款手机的 销售情况,在 10 月 1 日 当天,随机调查了 5 个 手机店中 这两款 手机的销量(单位:部) ,得到下表 . 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 ( )若在 10 月 1 日 当天 , 从 A, B 这 两 个 手机店

9、 售出的 新 款 手机中分别随机抽取 1 部 ,求 抽取 的 2 部手机 中 至少有 1 部 为 W 型号手机的概率; ( )现从这 5 个 手机店中任选 3 个 举行促销活动,用 X表示其中 W 型号手机销 量超过 T型号手机销量的手机店的 个 数,求随机变量 的分布列和数学期望; ( )经测算, W 型号手机的销售成本(百元)与销 量 (部)满足关系 34. 若表中 W 型号手机销量的方差 )0(20 mms ,试给出表中 5 个手机店的 W 型号手机销售成本的方差 2s 的值 .(用 m 表示,结论不 要求 证明 ) 数学(理科) 第 5 页(共 5 页) 17 (本小题满分 14 分)

10、 如图 1, 在 平行四边形 ABCD 中, E , F 分别 为 AD , AB 的 中点, 4AD , 42AB ,45A 将 AEF 沿 EF 折起到 1AEF 位置, 使得平面 1AEF 平面 BCDEF ,如图 2 记1AC 的 中点 为 M ()求证: 1AE CD ; ()求二面角 M DB C的大小; () 设 N 为线段 1AD上 的一点 , 试给出点 N 满足的一个条件, 使得平面 /NEF 平面 MBD ,并 证明你的结论 18 (本小题满分 13 分) 已知函数 ( ) (ln 1)f x x x ( ) 若 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处

11、的切线 的斜率小于 1,求 0x 的取值范围 ; ( ) 设 整数 k 使得 1( ) ( )2f x k x对 (0, )x 恒成立, 求整数 k 的最大值 19 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 W : 2 2y px 的准线方程为 1x , 焦点为 F ,A 为抛物线 W 上异于原点 O 的一点 . ( ) 若 5AF ,求以线段 OA 为直径的圆的方程; ( ) 设 过 点 F 且平行于 OA 的直线 l 交抛物线 W 于 ,BC两点,判断四边形 OABC 能否为等腰梯形?若能,求 直线 l 的方程;若不能,请说明理由 . 20 (本小题满分 13 分) 对于向量 0 0 0 0(

12、 , , )X a b c ,若 0 0 0,a b c 三数互不相等, 令向量 1 1 1 1( , , )i i i iX a b c ,其中1 |i i ia a b , 1 |i i ib b c , 1 |i i ic c a , =0 1 2 3i , , , , . ( ) 当 0 (5,2,1)X 时,试写出向量 100X ; ( ) 证明:对于任意的 iN ,向量 iX 中的三个数 ,i i ia b c 至多有一个为 0; ( ) 若 0 0 0,a b c N ,证明 :存在 正整数 t , 使得 3ttXX . D A B C M E A1 B C D E F F 图

13、1 图 2 高三数学(理科答案) 第 1 页(共 7 页) 北京市西城区高三 模拟 测试 数学(理科)参考答案及评分标准 2019.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 . 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 . 9 10 10 22 14yx , 2yx11 2412 2 13 答案不唯一,如 4nan 14 注:第 10 题第一问 3 分,第二问 2 分 ; 第 14 题 漏选、多选或错选均不得分 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 . 其他正确解答过程,请参

14、照评分标准给分 . 15 (本小题满分 13 分) 解: ( ) 因为 ( ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o s6f x x x x c o s 2 c o s s i n 2 s i n s i n 266x x x 4 分 33sin 2 co s 222xx3 sin(2 )6x. 6 分 所以 函数 ()fx的最小正周期 2 2T. 8 分 ( ) 由 ( ) , 知 ( ) 3 sin (2 )6f x x, 所以 5 ( ) 3 s i n 2 ( ) 3 s i n ( 2 )3 6 6g x x x . 10 分 由 5 2 22 2 6 2k x k , k

15、Z , 得 2 36k x k , 所以 ()gx的 单调增区间为 2 , 36kk , kZ . 13 分 (注 : 单调区间写成开区间不扣分 ) 高三数学(理科答案) 第 2 页(共 7 页) 16 (本小题满分 14 分) 解: ( ) 将 从 A, B 这 两 个 手机店 售出的新款手机中分别随机抽取 的 1 部 手机记 为甲和乙 , 记事件 “ 甲 手机为 T 型号 手机 ” 为 1M , 记 事件 “ 乙 手机为 T 型号 手机 ” 为 2M , 依题意 , 有1 12 2() 6 12 3PM ,2 93() 6 9 5PM , 且 事件 1M , 2M 相互独立 . 2 分 设

16、 “ 抽取的 2 部手机中 至少有 1 部为 W 型号手机 ” 为事件 M , 则12 2 3 3( ) 1 ( ) 1 3 5 5P M P M M . 即 抽取的 2 部手机中 至少有 1 部为 W 型号手机 的概率为 35. 4 分 ( ) 由 表可知: W 型号手机销售量超过 T 型号的手机店共有 2 个 , 故 X的所有可能取值为: 0, 1, 2. 5 分 且 032335CC 1( 0 ) C 1 0PX , 122335CC 3( 1) C5PX , 212335CC 3( 2 ) C 1 0PX . 所以随机变量 的分布列为: X0 1 2 P 101 53 103 8 分

17、故 5610325311010)( XE . 10 分 ( ) .92 ms 13 分 17 (本小题满分 14 分) 解:() 在图 1 中,由 2AE , 22AF , 45A , 得 AE EF . 所以 在 图 2 中 1AE EF . 1 分 因为平面 1AEF 平面 BCDEF ,平面 1AEF 平面 BCDEF EF , 所以 1AE 平面 BCDEF . 3 分 又 因为 CD 平面 BCDEF , 所以 1AE CD . 4 分 高三数学(理科答案) 第 3 页(共 7 页) ( )由 ()可得 1,EF ED EA 两两垂直, 故 以 1,EF ED EA 分别为 x 轴、

18、 y 轴和 z 轴,如图建立空间直角坐标系, 5 分 则 (0,0,0)E , (2,0,0)F , (0,2,0)D , (4,2,0)B , (4,6,0)C , 1(0,0,2)A , (2,3,1)M . 所以 (4,0,0)DB , (2,1,1)DM . 设平面 MBD 的一个法向量为 ( , , )x y zm , 由 0DBm , 0DMm , 得 4 0,2 0,xx y z 令 1y ,得 (0,1, 1)m . 7 分 易得平面 BCD 的法向量 (0,0,1)n . 所以 2c o s ,| | | 2 mnmn mn. 由 图 可得 二面角 M BD C为锐 二面 角

19、, 所以二面角 M BD C的大小为 45 . 9 分 ( ) 当 N 为线段 1AD的中点 (注:表述不唯一) 时, 平面 /NEF 平面 MBD . 10 分 证明如下: 由 N 为线段 1AD的中点,得 (0,1,1)N . 所以 (0,1,1)EN ,又 因为 (2,0,0)EF , 设平面 NEF 的法向量为 ( , , )abcu , 由 0ENu , 0EFu , 得 0,2 0,bca 令 1c ,得 (0, 1,1)u . 12 分 又 因为 平面 MBD 的法向量为 (0,1, 1)m , 所以 mu,即 /mu, 所以 平面 /NEF 平面 MBD . 14 分 M A1

20、 B C D E F z x y N 高三数学(理科答案) 第 4 页(共 7 页) 18 (本小题满分 13 分) 解: ( )求导,得 ( ) 2 lnf x x , 1 分 所以 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线 的斜率为 00( ) 2 lnf x x . 3 分 由题意,得 02 ln 1x, 解得 100ex . 5 分 ( ) “ 1( ) ( )2f x k x 对 (0, )x 恒成立 ” 等价于 “ 当 0x 时, 1( ) ( ) 02f x k x 恒成立 ” . 令 11( ) ( ) ( ) l n (1 )22 g x f x k

21、 x x x k x k, 7 分 求导,得 ( ) ln 2g x x k , 由 ( ) 0gx ,得 2ekx . 8 分 随着 x 变化, ()gx 与 ()gx的变化情况如下表所示: x 2(0,e )k 2ek 2(e , )k ()gx 0 ()gx 极小值 所以 ()gx在 2(0,e )k 上单调递减,在 2(e , )k 上单调递增 . 所以函数 ()gx的最小值 221(e ) e 02kkgk . 10 分 令 21( ) e2 kh k k ,则 221(2) 2 e 02h , 当 2k 时, 因为 ()gx的最小值 2(e ) (1) 0kgg , 所以 1( )

22、 ( )2f x k x 对于 0x 恒成立,符合题意 ; 11 分 当 2k 时, 由 2 2 211( ) e e 022khk , 得 函数 21( ) e2 kh k k 在 (2, ) 单调递减, 所以 ( ) (2) 0h k h, 故 此时 ()gx的最小值 2(e ) ( ) 0kg h k ,不符合题意 . 所以 整数 k 的最大值是 2 13 分 高三数学(理科答案) 第 5 页(共 7 页) 19 (本小题满分 14 分) 解: ( ) 由题意,可知 12p ,所以 2p . 1 分 所以抛物线方程为 2 4yx ,焦点为 (1,0)F . 不妨设 00( , )Ax y

23、 ,则 0| | 1 5AF x ,解得 0 4x . 代入抛物线方程,得 0 4y ,则点 A 的坐标为 (4,4) 或 (4, 4) , 所以 | | 4 2OA . 3 分 故以 OA 为直径的圆的方程为 22( 2) ( 2) 8xy 或 22( 2) ( 2) 8xy . 5 分 ( ) 结论: 四边 形 OABC 不可能为等腰梯形 . 6 分 理由如下: 假设四边 形 OABC 为等腰梯形 , 由题意,可知直线 OA 的斜率 k 存在且不为零, 故设直线 OA 的方程为 y kx ,直线 BC 的方程为 ( 1)y k x, 11( , )Bx y , 22( , )Cx y ,

24、7 分 联立2 ,4,y kxyx 消去 y,得 2240k x x, 解得 0x 或24x k, 所以 点244( , )Akk,线段 OA 的中点 M 的 坐标为222( , )kk. 9 分 联立2 ( 1)4 y k xyx ,消去 y,得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k . 因为直线 BC 过焦点 (1,0)F ,斜率存在且不为 0,所以 0 恒成立, 所以 212 224kxx k , 121xx . 11 分 设线段 BC 的中点为 33( , )Nx y , 则 2123 2 22xx kx k ,33 2( 1)y k x k , 故 22 22( , )

25、kN kk. 12 分 因为直线 MN 的斜率22222022MN kkk kkk, OA 的斜率为 k , 高三数学(理科答案) 第 6 页(共 7 页) 所以 1MNkk , 故 直线 MN 与直线 OA 不垂直 . 这与 等腰梯形 上下底中点的连线垂直于上下底矛盾, 所以四边 形 OABC 不可能为等腰梯形 . 14 分 20 (本小题满分 13 分) 解: ( ) 100 (1,1,0)X . 3 分 ( ) 假设 ,i i ia b c 三个数中 有 2 个为 0,或三个数均为 0. 4 分 ( 1) 当 ,i i ia b c 三个数中有 2 个 为 0 时,显然 i 1 . 不妨

26、设 0 ( 1)iia b i , 0ic , 则 11| | 0i i ia a b , 11| | 0i i ib b c ,即 1 1 1i i ia b c . 这与 11| | 0i i ic c a 矛盾; 6 分 ( 2) 当 ,i i ia b c 三个数 均为 0 时 ,显然 i 1 . 则 11| | 0i i ia a b , 11| | 0i i ib b c , 11| | 0i i ic c a . 所以 1 1 1i i ia b c w = (定值) . 由 0 0 0,a b c 三数互不相等, 得 2i ,且 1 2 2|i i ia a b w , 1 2

27、 2|i i ib b c w , 1 2 2|i i ic c a w . 不妨设 2 2 2i i ia b c ,则有 22iib a w, 22iic b w, 22iic a w, 由 2 2 2 2 2 2( ) ( )i i i i i ib a c b c a ,得 2ww , 所以 0w ,即 1 1 1 0i i ia b c = . 以此类推,可得 2 2 2 0i i ia b c = , 3 3 3 0i i ia b c = , , 1 1 1 0a b c = , 0 0 0 0a b c = , 这与 0 0 0,a b c 三个数互不相等矛盾, 所以 对于任意

28、的 iN , ,i i ia b c 三个数中至多有一 个数为 0. 8 分 ( ) 设 ,i i ia b c 三个数中最大的为 im ,记作 max , , i i i im a b c . 高三数学(理科答案) 第 7 页(共 7 页) 因为 1 |i i ia a b , 1 |i i ib b c , 1 |i i ic c a ,且 ,i i ia b c N , 所以 1iimm ,其中 =0 1 2 3i , , , , , 由题意,可知 imN ,其中 =0 1 2 3i , , , , 所以 1 2 3, , ,m m m 不可能单调递减,即必存在某个 *kN ,使得 1k

29、kmm . 10 分 根据 1kX 的定义,可得 向量 ( , , )k k k kX a b c 中 的三个 数 ,k k ka b c 中 必有 0. 由 ( ) 知 ,k k ka b c 中有且仅有一个为 0,不妨设 0ka , ( 1)若 kkbc ,由题意,不妨设 0 kkbc, 则 1 | |=k k k ka a b b , 1 | |=k k k k kb b c c b , 1 | |=k k k kc c a c , 1k k kmmc 所以 2 1 1 1| | m a x , k k k k k k ka a b b c b m ,同理 21kkbm , 21kkcm , 所以 21kkmm . 又因为 imN , 所以此种情形不可能一直出现(至多出现 1km 次) . 所以一定能找到某个 *jN ,使得 jjbc . 12 分 ( 2) 若 kkbc ,由题意, 得 (0, , )k k kX b b , 1 ( ,0, )k k kX b b , 2 ( , ,0)k k kX b b , 3 (0, , )k k kX b b , 所以 存在 正整数 tk , 使得 3ttXX . 综上, 存在 正整数 t , 使得 3ttXX . 13 分

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