1、数学（理科） 第 1 页（共 5 页） 北京市西城区 高三统一测试 数学（理科） 2019.5 第卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 设集合 1 | 1Axx， 1 2, , 32B ， 则 AB （ A） 12, 2 （ B） 12 （ C） 1,32 （ D） 2若复数 i ( i)za 满足 | | 2z ，则 实数 a 的取值范围是 （ A） 3,+ ) （ B） 1,1 （ C） ( , 3 3 ,+ ) （ D） ( , 1 1,+ ) 3. 执行如图所示的程序框图
2、，则输出 的 S 值等于 （ A） 1 1 11 2 3 8 （ B） 1 1 11 2 3 7 （ C） 1 1 111 2 3 8 （ D） 1 1 111 2 3 7 4 在极坐标系中， 直线 cos 2 与圆 4cos 交于 ,AB两点，则 |AB （ A） 4 （ B） 23 （ C） 2 （ D） 3 1kk 输出 S 开始 否 结束 1SSk是 1, 1kS 8k数学（理科） 第 2 页（共 5 页） 5. 设函数 ()fx的定义域为 R ，则“ 函数 | ( )|y f x 的图象关于 y 轴对称 ”是“函数 ()fx为奇 函数 ” 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而
3、不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 6. 若实数 x， y， z 互不相等，且满足 42 3 logxy z ， 则 （ A） z x y （ B） z y x （ C） zx ， zy （ D） xy ， xz 7. 已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，平面 与该正四面体相交 . 对于实数 (0 1)dd ，记正四面体 ABCD 的四个顶点中到平面 的距离等于 d 的点的个数 为 m，那么下列结论中正确的是 （ A） m 不可能等于 2 （ B） m 不可能等于 3 （ C） m 不可能等于 4 （ D）以上三个答案都不正确 8. 设 f 是直角坐标平面 xOy 到
4、自身的一个映射，点 (, )Pxy 在映射 f 下的象为点 ( , )22yxQ ，记作()Q f P . 已知 1(16,8)P ， 1 ()nnP f P ， 其中 1,2,3,n. 那么 对于任意的 正整数 n， （ A） 存在点 M，使得 | | 10nMP （ B） 不存在点 M，使得 | | 5 5nMP （ C） 存在无数个点 M，使得 | | 6 5nMP （ D） 存在唯一的点 M，使得 | | 8 5nMP 数学（理科） 第 3 页（共 5 页） 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 在二项式 5(1 )
5、x 的展开式中， 2x 的系数为 _ 10 以椭圆 22 154xyC ： 在 x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为_； 此 双曲线的渐近线方程为 _. 11 在 ABC 中，若 2ab ， 2bc ， 则三个内角中 最大角的余弦值 为 _ 12. 某三棱锥的三视图如图所示 ，则 在 该三棱锥 表面的四个三角形中，等腰三角形的个数 为 _ 13 能说明 “ 设 数列 na 的 前 n 项和 为 nS ， 对于任意的 *nN ， 若 1nnaa ，则 1nnSS ” 为假命题的一 个等差数列是 _ （写出数列的通项公式） 14 因市场战略储备的需要， 某公司从 1 月 1 日起每月
6、 1 日购买了相同金额的某种物资，连续购买了 4 次 . 由于市场变化， 5 月 1 日该公司不得不将此物资全部卖出 . 已知该物资的购买和卖出都是以份为 计价 单位进行交易， 且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么 下面三个折线图 中 反映了这种物资每份价格 （单位：万元） 的可能变化情况 的是 _.（写出所有正确的图表序号） 0.50 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 . . . . 图 1 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 . 日期 0.25 侧 (左 )视图 正 (主 )视图 俯视图 2 2 1 1 11 . . . . 1月 1日 2月 1日 3月
7、 1日 4月 1日 5月 1日 图 2 0.50 0.75 1.00 1.25 . 万 元 / 份 日期 0.25 . . . . . 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 图 3 0.50 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 日期 0.25 数学（理科） 第 4 页（共 5 页） 三、解答题 ：本大题 共 6 小题，共 80 分 解答应写出 必要的 文字说明 、证明过程或 演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o s6f x x x x . （ ） 求 函数 ()fx的最小正周期 ； （ ） 将
8、函数 ()fx的图象向 左 平移 3个单位，得到 的 图象 对应的 函数 解析式为 ()gx ， 求 ()gx的 单调 增 区间 . 16 （本小题满分 13 分） 10 月 1 日， 某品牌 的 两款 最新 手机 （记为 W 型号， T 型号） 同时投放市场 . 手机 厂商为 了解 这两款手机的 销售情况，在 10 月 1 日 当天，随机调查了 5 个 手机店中 这两款 手机的销量（单位：部） ，得到下表 . 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 （ ）若在 10 月 1 日 当天 ， 从 A， B 这 两 个 手机店
9、 售出的 新 款 手机中分别随机抽取 1 部 ，求 抽取 的 2 部手机 中 至少有 1 部 为 W 型号手机的概率； （ ）现从这 5 个 手机店中任选 3 个 举行促销活动，用 X表示其中 W 型号手机销 量超过 T型号手机销量的手机店的 个 数，求随机变量 的分布列和数学期望； （ ）经测算， W 型号手机的销售成本（百元）与销 量 （部）满足关系 34. 若表中 W 型号手机销量的方差 )0(20 mms ，试给出表中 5 个手机店的 W 型号手机销售成本的方差 2s 的值 .（用 m 表示，结论不 要求 证明 ） 数学（理科） 第 5 页（共 5 页） 17 （本小题满分 14 分）
10、 如图 1， 在 平行四边形 ABCD 中， E ， F 分别 为 AD ， AB 的 中点， 4AD ， 42AB ，45A 将 AEF 沿 EF 折起到 1AEF 位置， 使得平面 1AEF 平面 BCDEF ，如图 2 记1AC 的 中点 为 M （）求证： 1AE CD ； （）求二面角 M DB C的大小； （） 设 N 为线段 1AD上 的一点 ， 试给出点 N 满足的一个条件， 使得平面 /NEF 平面 MBD ，并 证明你的结论 18 （本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) (ln 1)f x x x （ ） 若 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处
11、的切线 的斜率小于 1，求 0x 的取值范围 ； （ ） 设 整数 k 使得 1( ) ( )2f x k x对 (0, )x 恒成立， 求整数 k 的最大值 19 （本小题满分 14 分） 已知抛物线 W ： 2 2y px 的准线方程为 1x ， 焦点为 F ,A 为抛物线 W 上异于原点 O 的一点 . （ ） 若 5AF ，求以线段 OA 为直径的圆的方程； （ ） 设 过 点 F 且平行于 OA 的直线 l 交抛物线 W 于 ,BC两点，判断四边形 OABC 能否为等腰梯形？若能，求 直线 l 的方程；若不能，请说明理由 . 20 （本小题满分 13 分） 对于向量 0 0 0 0(
12、 , , )X a b c ，若 0 0 0,a b c 三数互不相等， 令向量 1 1 1 1( , , )i i i iX a b c ，其中1 |i i ia a b ， 1 |i i ib b c ， 1 |i i ic c a ， =0 1 2 3i ， ， ， ， . （ ） 当 0 (5,2,1)X 时，试写出向量 100X ； （ ） 证明：对于任意的 iN ，向量 iX 中的三个数 ,i i ia b c 至多有一个为 0； （ ） 若 0 0 0,a b c N ，证明 ：存在 正整数 t ， 使得 3ttXX . D A B C M E A1 B C D E F F 图
13、1 图 2 高三数学（理科答案） 第 1 页（共 7 页） 北京市西城区高三 模拟 测试 数学（理科）参考答案及评分标准 2019.5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 10 10 22 14yx ， 2yx11 2412 2 13 答案不唯一，如 4nan 14 注：第 10 题第一问 3 分，第二问 2 分 ； 第 14 题 漏选、多选或错选均不得分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参
14、照评分标准给分 . 15 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 因为 ( ) c o s ( 2 ) 2 s i n c o s6f x x x x c o s 2 c o s s i n 2 s i n s i n 266x x x 4 分 33sin 2 co s 222xx3 sin(2 )6x. 6 分 所以 函数 ()fx的最小正周期 2 2T. 8 分 （ ） 由 （ ） ， 知 ( ) 3 sin (2 )6f x x， 所以 5 ( ) 3 s i n 2 ( ) 3 s i n ( 2 )3 6 6g x x x . 10 分 由 5 2 22 2 6 2k x k ， k
15、Z ， 得 2 36k x k ， 所以 ()gx的 单调增区间为 2 , 36kk ， kZ . 13 分 (注 ： 单调区间写成开区间不扣分 ) 高三数学（理科答案） 第 2 页（共 7 页） 16 （本小题满分 14 分） 解： （ ） 将 从 A， B 这 两 个 手机店 售出的新款手机中分别随机抽取 的 1 部 手机记 为甲和乙 ， 记事件 “ 甲 手机为 T 型号 手机 ” 为 1M ， 记 事件 “ 乙 手机为 T 型号 手机 ” 为 2M ， 依题意 ， 有1 12 2() 6 12 3PM ，2 93() 6 9 5PM ， 且 事件 1M ， 2M 相互独立 . 2 分 设
16、 “ 抽取的 2 部手机中 至少有 1 部为 W 型号手机 ” 为事件 M ， 则12 2 3 3( ) 1 ( ) 1 3 5 5P M P M M . 即 抽取的 2 部手机中 至少有 1 部为 W 型号手机 的概率为 35. 4 分 （ ） 由 表可知： W 型号手机销售量超过 T 型号的手机店共有 2 个 ， 故 X的所有可能取值为： 0， 1， 2. 5 分 且 032335CC 1( 0 ) C 1 0PX ， 122335CC 3( 1) C5PX ， 212335CC 3( 2 ) C 1 0PX . 所以随机变量 的分布列为： X0 1 2 P 101 53 103 8 分
17、故 5610325311010)( XE . 10 分 （ ） .92 ms 13 分 17 （本小题满分 14 分） 解：（） 在图 1 中，由 2AE ， 22AF ， 45A ， 得 AE EF . 所以 在 图 2 中 1AE EF . 1 分 因为平面 1AEF 平面 BCDEF ，平面 1AEF 平面 BCDEF EF ， 所以 1AE 平面 BCDEF . 3 分 又 因为 CD 平面 BCDEF ， 所以 1AE CD . 4 分 高三数学（理科答案） 第 3 页（共 7 页） （ ）由 （）可得 1,EF ED EA 两两垂直， 故 以 1,EF ED EA 分别为 x 轴、
18、 y 轴和 z 轴，如图建立空间直角坐标系， 5 分 则 (0,0,0)E ， (2,0,0)F ， (0,2,0)D ， (4,2,0)B ， (4,6,0)C ， 1(0,0,2)A ， (2,3,1)M . 所以 (4,0,0)DB , (2,1,1)DM . 设平面 MBD 的一个法向量为 ( , , )x y zm ， 由 0DBm ， 0DMm ， 得 4 0,2 0,xx y z 令 1y ，得 (0,1, 1)m . 7 分 易得平面 BCD 的法向量 (0,0,1)n . 所以 2c o s ,| | | 2 mnmn mn. 由 图 可得 二面角 M BD C为锐 二面 角
19、， 所以二面角 M BD C的大小为 45 . 9 分 （ ） 当 N 为线段 1AD的中点 （注：表述不唯一） 时， 平面 /NEF 平面 MBD . 10 分 证明如下： 由 N 为线段 1AD的中点，得 (0,1,1)N . 所以 (0,1,1)EN ，又 因为 (2,0,0)EF ， 设平面 NEF 的法向量为 ( , , )abcu ， 由 0ENu ， 0EFu ， 得 0,2 0,bca 令 1c ，得 (0, 1,1)u . 12 分 又 因为 平面 MBD 的法向量为 (0,1, 1)m ， 所以 mu，即 /mu， 所以 平面 /NEF 平面 MBD . 14 分 M A1
20、 B C D E F z x y N 高三数学（理科答案） 第 4 页（共 7 页） 18 （本小题满分 13 分） 解： （ ）求导，得 ( ) 2 lnf x x ， 1 分 所以 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线 的斜率为 00( ) 2 lnf x x . 3 分 由题意，得 02 ln 1x， 解得 100ex . 5 分 （ ） “ 1( ) ( )2f x k x 对 (0, )x 恒成立 ” 等价于 “ 当 0x 时， 1( ) ( ) 02f x k x 恒成立 ” . 令 11( ) ( ) ( ) l n (1 )22 g x f x k
21、 x x x k x k， 7 分 求导，得 ( ) ln 2g x x k ， 由 ( ) 0gx ，得 2ekx . 8 分 随着 x 变化， ()gx 与 ()gx的变化情况如下表所示： x 2(0,e )k 2ek 2(e , )k ()gx 0 ()gx 极小值 所以 ()gx在 2(0,e )k 上单调递减，在 2(e , )k 上单调递增 . 所以函数 ()gx的最小值 221(e ) e 02kkgk . 10 分 令 21( ) e2 kh k k ，则 221(2) 2 e 02h ， 当 2k 时， 因为 ()gx的最小值 2(e ) (1) 0kgg ， 所以 1( )
22、 ( )2f x k x 对于 0x 恒成立，符合题意 ； 11 分 当 2k 时， 由 2 2 211( ) e e 022khk ， 得 函数 21( ) e2 kh k k 在 (2, ) 单调递减， 所以 ( ) (2) 0h k h， 故 此时 ()gx的最小值 2(e ) ( ) 0kg h k ，不符合题意 . 所以 整数 k 的最大值是 2 13 分 高三数学（理科答案） 第 5 页（共 7 页） 19 （本小题满分 14 分） 解： （ ） 由题意，可知 12p ，所以 2p . 1 分 所以抛物线方程为 2 4yx ，焦点为 (1,0)F . 不妨设 00( , )Ax y
23、 ，则 0| | 1 5AF x ，解得 0 4x . 代入抛物线方程，得 0 4y ，则点 A 的坐标为 (4,4) 或 (4, 4) ， 所以 | | 4 2OA . 3 分 故以 OA 为直径的圆的方程为 22( 2) ( 2) 8xy 或 22( 2) ( 2) 8xy . 5 分 （ ） 结论： 四边 形 OABC 不可能为等腰梯形 . 6 分 理由如下： 假设四边 形 OABC 为等腰梯形 ， 由题意，可知直线 OA 的斜率 k 存在且不为零， 故设直线 OA 的方程为 y kx ，直线 BC 的方程为 ( 1)y k x， 11( , )Bx y ， 22( , )Cx y ，
24、7 分 联立2 ,4,y kxyx 消去 y，得 2240k x x， 解得 0x 或24x k， 所以 点244( , )Akk，线段 OA 的中点 M 的 坐标为222( , )kk. 9 分 联立2 ( 1)4 y k xyx ，消去 y，得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k . 因为直线 BC 过焦点 (1,0)F ，斜率存在且不为 0，所以 0 恒成立， 所以 212 224kxx k ， 121xx . 11 分 设线段 BC 的中点为 33( , )Nx y ， 则 2123 2 22xx kx k ，33 2( 1)y k x k ， 故 22 22( , )
25、kN kk. 12 分 因为直线 MN 的斜率22222022MN kkk kkk， OA 的斜率为 k ， 高三数学（理科答案） 第 6 页（共 7 页） 所以 1MNkk ， 故 直线 MN 与直线 OA 不垂直 . 这与 等腰梯形 上下底中点的连线垂直于上下底矛盾， 所以四边 形 OABC 不可能为等腰梯形 . 14 分 20 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 100 (1,1,0)X . 3 分 （ ） 假设 ,i i ia b c 三个数中 有 2 个为 0，或三个数均为 0. 4 分 （ 1） 当 ,i i ia b c 三个数中有 2 个 为 0 时，显然 i 1 . 不妨
26、设 0 ( 1)iia b i ， 0ic ， 则 11| | 0i i ia a b ， 11| | 0i i ib b c ，即 1 1 1i i ia b c . 这与 11| | 0i i ic c a 矛盾； 6 分 （ 2） 当 ,i i ia b c 三个数 均为 0 时 ，显然 i 1 . 则 11| | 0i i ia a b ， 11| | 0i i ib b c ， 11| | 0i i ic c a . 所以 1 1 1i i ia b c w = （定值） . 由 0 0 0,a b c 三数互不相等， 得 2i ，且 1 2 2|i i ia a b w ， 1 2
27、 2|i i ib b c w ， 1 2 2|i i ic c a w . 不妨设 2 2 2i i ia b c ，则有 22iib a w， 22iic b w， 22iic a w， 由 2 2 2 2 2 2( ) ( )i i i i i ib a c b c a ，得 2ww ， 所以 0w ，即 1 1 1 0i i ia b c = . 以此类推，可得 2 2 2 0i i ia b c = ， 3 3 3 0i i ia b c = ， ， 1 1 1 0a b c = ， 0 0 0 0a b c = ， 这与 0 0 0,a b c 三个数互不相等矛盾， 所以 对于任意
28、的 iN ， ,i i ia b c 三个数中至多有一 个数为 0. 8 分 （ ） 设 ,i i ia b c 三个数中最大的为 im ,记作 max , , i i i im a b c . 高三数学（理科答案） 第 7 页（共 7 页） 因为 1 |i i ia a b ， 1 |i i ib b c ， 1 |i i ic c a ，且 ,i i ia b c N , 所以 1iimm ,其中 =0 1 2 3i ， ， ， ， , 由题意，可知 imN ,其中 =0 1 2 3i ， ， ， ， 所以 1 2 3, , ,m m m 不可能单调递减，即必存在某个 *kN ，使得 1k
29、kmm . 10 分 根据 1kX 的定义，可得 向量 ( , , )k k k kX a b c 中 的三个 数 ,k k ka b c 中 必有 0. 由 （ ） 知 ,k k ka b c 中有且仅有一个为 0，不妨设 0ka ， （ 1）若 kkbc ，由题意，不妨设 0 kkbc， 则 1 | |=k k k ka a b b ， 1 | |=k k k k kb b c c b ， 1 | |=k k k kc c a c ， 1k k kmmc 所以 2 1 1 1| | m a x , k k k k k k ka a b b c b m ，同理 21kkbm ， 21kkcm ， 所以 21kkmm . 又因为 imN ， 所以此种情形不可能一直出现（至多出现 1km 次） . 所以一定能找到某个 *jN ，使得 jjbc . 12 分 （ 2） 若 kkbc ，由题意， 得 (0, , )k k kX b b ， 1 ( ,0, )k k kX b b ， 2 ( , ,0)k k kX b b ， 3 (0, , )k k kX b b ， 所以 存在 正整数 tk ， 使得 3ttXX . 综上， 存在 正整数 t ， 使得 3ttXX . 13 分
