1、数学（文科） 第 1 页（共 5 页） 北京市西城区高三统一测试 数学（ 文 科） 2019.5 第卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设集合 |1 3A x x ， | 0B x x或 2x ，则 AB （ A） | 0xx 或 2 3x （ B） |2 3xx （ C） | 0xx 或 1x （ D） |0 1xx 或 2 3x 2若复数 i ( i)za 满足 | | 2z ，则实数 a （ A） 3 （ B） 1 （ C） 3 或 3 （ D） 1 或 1 3 以 点 (
2、1, 2)A 为圆心，且与直线 0xy 相切 的圆的方程是 （ A） 221( 1) ( 2 ) 2xy （ B） 229( 1) ( 2 ) 2xy （ C） 221( 1) ( 2 ) 2xy （ D） 229( 1) ( 2 ) 2xy 4. 执行如图所示的程序框图，则输出 的 S 值等于 （ A） 1 1 112 3 8 （ B） 1 1 112 3 7 （ C） 1 1 111 2 3 8 （ D） 1 1 111 2 3 7 1kk 输出 S 开始 否 结束 1SSk 是 1, 1kS 8k 数学（文科） 第 2 页（共 5 页） 5. 设向量 a ， b 满足 | | 2a ，
3、| | 1b ， , 60 a b ，则 | 2 |a+ b （ A） 22 （ B） 23 （ C） 10 （ D） 12 6. 设函数 ()fx的定义域为 R ，则“ 函数 | ( )|y f x 的图象关于 y 轴对称 ”是“函数 ()fx为奇 函数 ” 的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 7. 若实数 x， y， z 互不相等，且 满足 42 3 logxy z ， 则 （ A） z x y （ B） z y x （ C） xy ， xz （ D） zx ， zy 8. 已知正四面 体 ABCD 的棱长为 1，平面 与
4、 该正四面 体相交 . 对于实数 (0 1)dd， 记正四面体 ABCD 的四 个顶点中到平面 的距离等于 d 的点的个数为 m， 那么下列结论中 正确的是 （ A） m 不可能等于 2 （ B） m 不可能等于 3 （ C） m 不可能等于 4 （ D） 以上三个答案都不正确 数学（文科） 第 3 页（共 5 页） 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 设 x， y 满足约束条件 1 0,2 1 0,2 0,xyxyx则 3z x y 的最大值为 _ 10 以椭圆 22 154xyC ： 在 x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和
5、顶点的双曲线方程为_；该双曲线的渐近线方程为 _. 11. 某三棱锥的三视图如图所示 ，则 该三棱锥中最长棱的长度为 _ 12 若 函数 ( ) sin ( ) ( 0 )f x x 在区间 (0, )3上 单调 递减 ，则 的最小值为 _ 13 能说明 “ 设 数列 na 的 前 n 项和 为 nS ， 对于任意的 *nN ， 若 1nnaa ，则 1nnSS ”为假命题的一 个等差数列是 _ （写出数列的通项公式） 14 因市场战略储备的需要， 某公司从 1 月 1 日起每月 1 日购买了相同金额的某种物资，连续购买了 4 次 . 由于市场变化， 5 月 1 日该公司不得不将此物资全部卖出
6、 . 已知该物资的购买和卖出都是以份为 计价 单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况的是 _.（写出所有正确的图表序号） 0.50 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 . . . . 图 2 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 . 日期 0.25 侧 (左 )视图 正 (主 )视图 俯视图 2 2 1 1 11 . . . . . 1月 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 图 3 0.50 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 日期 0.25 0.50 1月
7、 1日 2月 1日 3月 1日 4月 1日 5月 1日 . . . . 图 1 0.75 1.00 1.25 万 元 / 份 . 日期 0.25 数学（文科） 第 4 页（共 5 页） 三、解答题 ：本大题 共 6 小题，共 80 分 解答应写出 必要的 文字说明 、证明过程或 演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 在 ABC中，已知 2ab , 2bc . （）求 cosA 的值 ； （）若 2b ， 求 ABC 的面积 16 （本小题满分 13 分） 已知等比 数列 na 的前 n 项和 32 nnSp ，其中 *nN . （ ）求 p 的值及数列 na 的通项公式 ； （ ） 判断数
8、列 2na 和 nna 是 否 为等比数列？证明你的结论 . 17 （本小题满分 13 分） 10 月 1 日， 某品牌 的两款 最新 手机 （记为 W 型号， T 型号）同时投放市场 . 手机 厂商为了解 这两款手机的 销售情况，在 10 月 1 日 当天，随机调查了 5 个 手机店中 这两款 手机的销量（单位：部），得到下表 . 手机店 A B C D E W 型号手机销量 6 6 13 8 11 T 型号手机销量 12 9 13 6 4 （ ）已知在 10 月 1 日 当天， 这两款最新 手机的全国销售量约为 10 万 部 ，试根据表中数据估计 W 型号手机 10 月 1 日 当天 的
9、全国 销 量； （ ）该手机厂商计划从这 5 个 手机店中任选 2 个 对 W 型号手机进行大规模宣传，求恰好选中 B 手机店的概率； （ ） 经测算， W 型号手机的销售成本（百元）与销量 （部）满足关系 34. 若表中 W 型号手机销量的方差 )0(20 mms ，试给出表中 5 个手机店的 W 型号手机销售成本的方差 2s 的值 .（用 m 表示，结论不 要求 证明 ） （注： 2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) ns x x x x x xn ，其中 x 为数据 12, , , nx x x 的平均数） 数学（文科） 第 5 页（共 5 页） 18 （本小题满分 14 分）
10、如图 1，在平行四边形 ABCD 中， O 为 AD 的中点， BO AD 将三角形 ABO 沿 BO 折起到 1ABO 位置，如图 2 （）求证： 1BO AD ； （）若 M 为 1AB 的 中点 ，求证： /MO 平面 1ACD ； （）判断平面 1AOD 能否垂直于平面 1ACD ？证明你的结论 19 （本小题满分 14 分） 已知 椭圆 C : 2 2 12x y的右顶点为 A ，左焦点为 F . 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相切于点 B ，且 点 B 在第一象限 . （） 若 1k ，求直线 l 的方程 ； （） 直线 AB交 y 轴于点 P ， 过点 A 且平行于 l 的
11、直线与 y 轴交于点 Q ， 证明 ： PQF为等腰三角形 20 （本小题满分 13 分） 已知 函 数 ( ) (ln 1)f x x x （ ） 求函数 ()fx 的 单调区间 ； （ ） 求证： 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线 不经过原点 ； （ ） 设 整数 k 使得 1( ) ( )2f x k x对 (0, )x 恒成立， 求整数 k 的最大值 D A B C M O A1 B C D O 图 1 图 2 高三数学（文科答案） 第 1 页（共 6 页） 北京市西城区高三 模拟 测试 数学（文 科）参考答案及评分标准 2019.5 一、选择题：本大
12、题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 D 8 D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 11 10 22 14yx ， 2yx11 3 12 213 答案不唯一，如 4nan 14 注：第 10 题第一问 2 分，第二问 3 分 . 第 14 题 漏选、多选或错选均不得分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 . 15 （本小题满分 13 分） 解： （） 由 2ab ， 2bc ，得 22a b c. 根据 余弦定理 2 2 2 2 co sa
13、 b c a b A ， 3 分 得 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) 2c o s242 ( 2 )b c a c c cA bc cc . 即 2cos 4A . 6 分 （）因为 2cos 4A ， (0,)A ， 所以 2 14s in 1 c o s 4AA . 9 分 由 2b ，得 2c . 10 分 所以 ABC 的面积 17sin22S bc A. 13 分 16 （本小题满分 13 分） 解： （）由 32 nnSp ， 得 11 4S a p ， 2 1 2 2S a a p ， 3 1 2 3 1S a a a p ， 高三数学（文科答案） 第 2 页（共
14、6 页） 所以 1 4ap， 2 2a ， 3 1a . 3 分 因为数列 na 为等比 数列 ， 所以公比 3212aq a，且 21a qa ， 故 8p ， 1 4a . 5 分 所以数列 na 的通项公式 131 2nnna a q . 7 分 （ ） 结论：数列 2na 是等比数列，数列 nna 不是等比数列 . 9 分 证明如下： 由（），得 2 3 2 3(2 ) 4nnna ， 所以 2 21234144nnnnaa， 所以数列 2na 是首项为 16 ，公比为 14等比数列 . 11 分 由（），得 32 nnna n ， 所以数列 nna 的前三项分别为 4 ， 4 ， 3
15、 ，它们构不成等比数列， 所以数列 nna 不是等比数列 . 13 分 17 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 在 10月 1 日 当天 ， 所调查的 5 个 店的 W型号 手机 总销售量为 6 6 13 8 11 44 （部）， T 型号 手机 总销售量 为 12 9 13 6 4 44 （部）， 1 分 故 所调查的 5 个 店的 W 型号 手机 在 这两 款 手机中的销售频率为 44 144 44 2， 2 分 所以 W 型号手机 10 月 1 日 的全国销售量约为 110 52（万部） . 4 分 （ ） 设事件：“ 从这 5 个 手机店中任选 2 个 ，恰好选中 B 手机店 ”
16、 为 M ， 5 分 则 从这 5 个 手机店中任选 2 个 ，所有可能结果有 10 种，即 (A,B) ， (A,C) ， (A,D) ，(A,E) ， (B,C) ， (B,D) ， (B,E) ， (C,D) ， (C,E) ， (D,E) . 7 分 而事件 M 的结果有 4 种，它们是 (A,B) ， (B,C) ， (B,D) ， (B,E) . 8 分 高三数学（文科答案） 第 3 页（共 6 页） 所以 42()10 5PM . 即 从这 5 个 手机店中任选 2 个 ，恰好选中 B 手机店 的 概率为 25 . 10 分 （ ） .92 ms 13 分 18 （本小题满分 1
17、4 分） 解： （ ） 在图 1 中 ， 因为 BO AD ， 所以在图 2 中 1BO AO ， BO OD . 1 分 又因为 1AO OD O ， 所以 BO 平面 1AOD . 3 分 又因为 1AD 平面 1AOD ， 所以 1BO AD . 4 分 （ ） 如图， 取 1AC 中点 N ，连接 ,MN DN . 因为 M 为 1AB 中点 ， 所以 /MN BC ， 12MN BC . 又 因为 /OD BC ， 12OD BC ， 所以 /MN OD ， MN OD . 所以四边形 OMND 为平行四边形 . 6 分 所以 /MO DN . 7 分 又因为 MO 平面 1ACD
18、， DN 平面 1ACD ， 所以 /MO 平面 1ACD . 9 分 （ ） 结论： 平面 1AOD 不可能垂直 于 平面 1ACD . 10 分 证明如下 ： 假设平面 1AOD 平面 1ACD . 在平面 1AOD 内过 O 作 1OE AD 于 E ，因为平面 1AOD 平面 11ACD AD ， M A1 B C D O N E 高三数学（文科答案） 第 4 页（共 6 页） 所以 OE 平面 1ACD . 11 分 又 因为 CD 平面 1ACD ， 所以 OE CD . 由 （ ） 知 BO 平面 1AOD ， 所以 BO OE . 又因为 BO 与 CD 相交， BO ， CD
19、 平面 OBCD ， 所以 OE 平面 OBCD . 13 分 故 OE 同时垂直于两个相交 平面 OBCD 和 1ACD ， 这显然不成立， 故 假设不成立 . 所以 平面 1AOD 不可能垂直 于 平面 1ACD . 14 分 19 （本小题满分 14 分） 解： （） 由题意，设直线 l 的方程 为 y kx m， 1 分 联立方程 2212y kx mx y ，消去 y ，得 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k m x m . 3 分 因为直线 l 与椭圆相切， 所以 2 2 2 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 0k m k m ，即 12 22 km .
20、 4 分 设 00( , )Bx y ，则0 221 4 2 22 2 1 2 1k m k m kx k k m ， 2200 21kmy k x m mm . 所以 21( , )kBmm. 6 分 由 点 B 在第一象限 ，得 2 0km ， 1 0m ，即 0m ， 0k. 若 1k ，则 22 1 3mk . 所以 直线 l 的方程 为 3yx . 8 分 （注： 如 直接设 l 的方程 为 y x m 来 解决问题， 此问 最多给到 6 分 .） （） 由 （） ，得 12 22 km ， 21( , )kB mm . 高三数学（文科答案） 第 5 页（共 6 页） 由 ( 2,0
21、)A ，得 直线 AB 的斜率112 222AB mk k kmm ， 所以直线 AB 的方程为 1 ( 2 )22yxkm. 令 0x ，得 12y km ，所以 1(0, )2P km. 10 分 因为直线 /AQ l ，所以设直线 AQ 的方程为 ( 2)y k x . 令 0x ，得 2yk ，所以 (0, 2 )Qk . 11 分 所以 221 2 2 1 2| 2 | | | | |2 2 2k k m m k mP Q k mk m k m k m . 13 分 又因为 222 1 | |Q F k m m P Q ， 所以 PQF 为等腰三角形 . 14 分 20 （本小题满分
22、 13 分） 解： （ ）求导，得 ( ) 2 lnf x x ， 1 分 令 ( ) 0fx ， 解 得 2ex . 由 ( ) 0fx ，得 2ex ， 所以 ()fx在 2(e , ) 上单调递 增 . 2 分 由 ( ) 0fx ，得 20ex ， 所以 ()fx在 2(0,e ) 上单调递 减 . 4 分 （ ） 由 （） ，得 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线 为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x ， 其中 0 0x . 5 分 假设 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线经过原点， 则 有 0
23、0 00 ( ) ( )(0 )f x f x x ，即 0 0 0 0( ln 1 ) ( 2 ln ) ( )x x x x ， 整理得 0 0x ，这与 0 0x 矛盾， 所以 曲线 ()y f x 在点 00( , ( )x f x 处的切线不经过原点 . 8 分 高三数学（文科答案） 第 6 页（共 6 页） （ ） “ 1( ) ( )2f x k x 对 (0, )x 恒成立 ” 等价于 “ 当 0x 时， 1( ) ( ) 02f x k x 恒成立 ” . 令 11( ) ( ) ( ) l n (1 )22 g x f x k x x x k x k， 9 分 求导，得 (
24、 ) ln 2g x x k ， 由 ( ) 0gx ，得 2ekx . 随着 x 变化， ()gx 与 ()gx的变化情况如下表所示： x 2(0,e )k 2ek 2(e , )k ()gx 0 ()gx 极小值 所以 ()gx在 2(0,e )k 上单调递减，在 2(e , )k 上单调递增 . 所以函数 ()gx的最小值 221(e ) e 02kkgk . 11 分 令 21( ) e2 kh k k ，则 221(2) 2 e 02h ， 当 2k 时， 因为 ()gx的最小值 2(e ) (1) 0kgg ， 所以 1( ) ( )2f x k x 对于 0x 恒成立，符合题意 ； 12 分 当 2k 时， 由 2 2 211( ) e e 022khk ， 得 函数 21( ) e2 kh k k 在 (2, ) 单调递减， 所以 ( ) (2) 0h k h， 故 此时 ()gx的最小值 2(e ) ( ) 0kg h k ，不符合题意 . 所以 整数 k 的最大值是 2 13 分
