1、2019 年江苏省苏州市吴中区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的，选出正确答案，并在答题卡上将该项涂黑.）1（3 分）下列实数中，无理数是（ ）A0 B1 C D2（3 分）一个整数 81500 用科学记数法表示为 8.151010，则原数中“0”的个数为（ ）A7 B8 C9 D103（3 分）有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是（ ）A2 B2.5 C3.5 D54（3 分）下列运算结果正确的是（ ）A（a 2） 3a 5 B（ab） 2a 2b 2C3a 2b2a 2b5a 2b
2、 Da 2b+a2b5（3 分）如图，ABC 是等边三角形，点 C 在直线 b 上，若直线 ab，134，则2 的度数为（A26 B28 C34 D366（3 分）已知反比例函数 y （k 为常数），当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck3 Dk 37（3 分）如图，ABC 内接于圆 O，OAC25，则ABC 的度数为（ ）A110 B115 C120 D1258（3 分）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在ABC 内部的概率是（ ）A B C D9（3 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC
3、，BC 3 ，sin A ，则 AB 的长为（ ）A15 B5 C20 D1010（3 分）若二次函数 yax 2+（a+2）x+4a 的图象与 x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0），且 x11x 2，则 a 的取值范围是（ ）A a B a0 C0a D a二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）11（3 分）2 的相反数是 12（3 分）当 时，分式 有意义13（3 分）若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 14（3 分）若 a+b3，ab2，则 a2+b2 15（3 分）如果 ， 是一元二次方程 x2+3
4、x20 的两个根，则 2+4+2019 的值是 16（3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD6，则图中阴影部分的面积为 17（3 分）在一次综合社会实践活动中，小东同学从 A 处出发，要到 A 地北偏东 60方向的 C 处，他先沿正东方向走了 2 千米到达 B 处，再沿北偏东 15方向走，恰能到达目的地 C，如图所示，则 A、C 两地相距 千米18（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC10，BC5，将直角三角板的直角顶点与 AC 边的中点 P 重合，直角三角板绕着点 P 旋转，两条直角边分别交 AB 边于M，N ，则 MN 的最小值
5、是 三、解答題：（本大题共 10 小题，共 76 分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19（5 分）计算：| |+（ 1） 02cos30 20（5 分）解不等式组：21（5 分）先化简，再求值：（1 ）（ ），其中 x 22（7 分）2018 年 8 月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的 1.5 倍，100 千米缩短了 10 分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时？23（8 分）为了缓解上学时校门口的交通压力，某校随机抽取了部分学生进行了调查，来了解学生的到校方式，并根据调查结
6、果绘制了如下统计图表：某校学生到校方式抽样调查统计表到校方式 学生人数乘车 90骑车 m步行 20其他 50根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中的样本容量是 ，m ；（2）扇形统计图中学生到校方式是“步行”所对应扇形的圆心角的度数是 ；（3）若该校共有 1500 名学生，请根据统计结果估计该校到校方式为“乘车”的学生人数；（4）现从四名采取不同到校方式的学生中抽取两名学生进行问卷调查，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率24（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ACDE ，AEAD，AE 交 BC 于 O（1）求证：B
7、CAEAC；（2）若 CE3，AC4，求COE 的周长25（8 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴正半轴上，反比例函数y 在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E（1）当点 E 的坐标为（3，n）时，求 n 和 k 的值；（2）若点 E 是 BC 的中点，求 OD 的长26（10 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分ADE（1）求证：ACBC；（2）若 ABAF，求F 的度数；（3）若 ， O 半径为 5，求 DF
8、 的长27（10 分）如图，抛物线 yax 23ax 4a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线y x+ 经过点 A，与抛物线的另一个交点为点 C，点 C 的横坐标为 3，线段 PQ 在线段 AB 上移动， PQ1，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交抛物线于 E、F，交直线于D，G（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形 DEFG 为平行四边形时，求出此时点 P、 Q 的坐标；（3）在线段 PQ 的移动过程中，以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由28（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 P 从 AB 边的中点 E 出发，沿着 EBC
9、匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，到达点 C 后停止运动，点 Q 是 AD 上的点，AQ10 ，设APQ 的面积为 y，点 P 运动的时间为 t 秒，y 与 t 的函数关系如图所示（1）图 中 AB ，BC ，图中 m ；（2）当 t1 秒时，试判断以 PQ 为直径的圆是否与 BC 边相切？请说明理由；（3）点 P 在运动过程中，将矩形沿 PQ 所在直线折叠，则 t 为何值时，折叠后顶点 A的对应点 A落在矩形的一边上2019 年江苏省苏州市吴中区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，以下各题都有四个选项，其中只有一个是正确的
10、，选出正确答案，并在答题卡上将该项涂黑.）1（3 分）下列实数中，无理数是（ ）A0 B1 C D【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【解答】解：A、0 是整数，是有理数，选项错误；B、1 是整数，是有理数，选项错误；C、 是无理数，选项正确；D、 是整数，是有理数，选项错误故选：C【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数2（3 分）一个整数 81500
11、 用科学记数法表示为 8.151010，则原数中“0”的个数为（ ）A7 B8 C9 D10【分析】把 8.15551010 写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得【解答】解：8.1510 10 表示的原数为 81500000000，原数中“0”的个数为 8，故选：B【点评】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当 n0 时，n 是几，小数点就向后移几位3（3 分）有一组数据：1，2，2，5，6，8，这组数据的中位数是（ ）A2 B2.5 C3.5 D5【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2
12、，5，6，8；数据 2，5 处在最中间，故中位数为 3.5，故选：C【点评】本题考查了中位数，熟练中位数的定义是解题的关键4（3 分）下列运算结果正确的是（ ）A（a 2） 3a 5 B（ab） 2a 2b 2C3a 2b2a 2b5a 2b Da 2b+a2b【分析】结合幂的乘方和积的乘方的知识进行解答；重点要区分他们计算方法的不同【解答】解：A 选项：（a 2） 3（a 2）（a 2）（a 2）a 6，A 选项的答案不对；B 选项：先默写完全平方公式；（ab） 2a 22ab+b 2，B 选项的答案不对；C 选项：提取公因数 a2b； 3a2b2a 2b（23）a 2b5a 2b，C 选项
13、的答案正确；D 选项：提取公因数 a2；a 2b+a2（b+1）a 2 ，D 选项的答案不对；故选：C【点评】这题主要考查幂的乘方和积的乘方的运算；解题的技巧：一定要区分它们不同的计算方法，懂得如何提取公因数；5（3 分）如图，ABC 是等边三角形，点 C 在直线 b 上，若直线 ab，134，则2 的度数为（A26 B28 C34 D36【分析】过 B 作 BD直线 a，根据平行线的性质即可得到结论【解答】解：过 B 作 BD直线 a，直线 ab，BD直线 b，ABD1，CBD2，ABCABD+ CBD1+ 260，134，226，故选：A【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解
14、题的关键6（3 分）已知反比例函数 y （k 为常数），当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，k 的取值范围是（ ）Ak0 Bk0 Ck3 Dk 3【分析】利用反比例的性质得到 k30，然后解不等式即可【解答】解：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，k30，k3故选：D【点评】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数 y （k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大7（3 分）如图，ABC 内接于圆 O，OAC25，则ABC 的度数为（ ）A
15、110 B115 C120 D125【分析】根据等腰三角形的内角和定理求出AOC，根据圆周角定理解答【解答】解：OAOC， OAC25，AOC180252130，由圆周角定理得，ABC（360130）2115，故选：B【点评】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理是解题的关键8（3 分）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在ABC 内部的概率是（ ）A B C D【分析】用阴影部分的面积除以总面积即可得【解答】解：阴影部分的面积为 2 5，总面积为 16，向正方形网格中投针，落在ABC 内部的概率是 ，故选：C【点评】本题主要考查概率
16、公式，随机事件 A 的概率 P（A）事件 A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数9（3 分）如图，在等腰ABC 中，ABAC ，BC 3 ，sin A ，则 AB 的长为（ ）A15 B5 C20 D10【分析】过点 C 作 CDAB，垂足为 D，设 CD3k，则 ABAC5k，继而可求出BDk，解直角三角形即可得到结论【解答】解：过点 C 作 CD AB，垂足为 D，在 Rt ACD 中， sinA ，设 CD3k，则 ABAC5k，AD 4k ，在 Rt BCD 中， BDABAD5k4kk，在 Rt BCD 中， BC k，BC10， k3 ，k3，AB5k15，故选：A【点评】本题考
17、查了等腰三角形的性质，解直角三角形的知识，过点 C 作 CDAB，构造直角三角形是关键10（3 分）若二次函数 yax 2+（a+2）x+4a 的图象与 x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0），且 x11x 2，则 a 的取值范围是（ ）A a B a0 C0a D a【分析】由根的判别式大于 0 和（x 11）（x 21）0，求出 a 的范围即可；【解答】解：由已知得：a0 且（a+2） 216a 20解得： ，且 a0，x 11x 2，（x 11）（x 21）0，x 1x2（x 1+x2）+1 0， ，解得： ，综合以上可得， 故选：B【点评】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系
18、，根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于 0二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，把答案直接填在答题卡相对应的位置上）11（3 分）2 的相反数是 2 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可【解答】解：2 的相反数是：（2）2，故答案为：2【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆12（3 分）当 x1 时，分式 有意义【分析】要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为 0，因此
19、 x10 即可求得 x 的取值范围【解答】解：分式有意义，则 x10，解得：x1故答案为 x1【点评】解此类问题，只要令分式中分母不等于 0，求得 x 的取值范围即可13（3 分）若圆锥的母线为 5，底面半径为 3，则圆锥的侧面积为 15 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算【解答】解：圆锥的侧面积 23515 故答案为 15【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长14（3 分）若 a+b3，ab2，则 a2+b2 5 【分析】根据 a2
20、+b2（a+ b） 22ab，代入计算即可【解答】解：a+b3，ab2，a 2+b2（a+b） 22ab945【点评】本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力15（3 分）如果 ， 是一元二次方程 x2+3x20 的两个根，则 2+4+2019 的值是 2018 【分析】因为 ， 是一元二次方程 x2+3x20 的两个根，所以 a2+3a20 即a2+3a2，a+ 3，利用一元二次方程根的定义及根与系数的关系即可解决问题【解答】解：， 是一元二次方程 x2+3x20 的两个根，a 2+3a20 即 a2+3a2，a+ 3 2+4+2019（ 2+3）+（+ ）
21、+20192+（3） +2019 2+4+20192018故答案为：2018【点评】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，把2+4+2019 2+3+2019 解题的关键16（3 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，若弦 CD6，则图中阴影部分的面积为 6 【分析】连接 OC、OD、AC，根据点 C，D 是半圆 O 的三等分点，推导出 CDAB，且COD 是等边三角形，阴影部分面积转化为扇形 COD 的面积【解答】解：连接 OC、OD、AC，点 C，D 是半圆 O 的三等分点，CDAB ，COD60，OCOD，ODC 是等边三角形CDAB ，AC
22、D 面积等于OCD 面积所以阴影部分面积等于扇形 COD 面积 6故答案为 6【点评】本题主要考查扇形面积的计算，对阴影部分面积进行转化是解题的关键17（3 分）在一次综合社会实践活动中，小东同学从 A 处出发，要到 A 地北偏东 60方向的 C 处，他先沿正东方向走了 2 千米到达 B 处，再沿北偏东 15方向走，恰能到达目的地 C，如图所示，则 A、C 两地相距 1+ 千米【分析】先求出BAC，再根据三角形的内角和定理求出C ，然后解直角三角形即可得到结论【解答】解：B 在 A 的正东方，C 在 A 地的北偏东 60方向，BAC906030，C 在 B 地的北偏东 15方向，ABC90+1
23、5 105 ，C180BACABC18030105 45，过 B 作 BDAC 于 D，在 Rt ABD 中，BAD30，AB2km，BD AB1cm ，AD km，在 Rt BCD 中， C 45，CDBD1km ，ACAD+ CD（1+ ）km，答：A、C 两地相距（1+ ）千米，故答案为：1+ 【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，关键是实际问题转化为直角三角形问题，此题还运用了三角形内角和定理18（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AC10，BC5，将直角三角板的直角顶点与 AC 边的中点 P 重合，直角三角板绕着点 P 旋转，两条直角边分别交 AB 边于M，N
24、，则 MN 的最小值是 2 【分析】当 PMPN 时，MN 的值最小，求出此时的 MN 便可【解答】解：C90， AC10，BC5，AB ，（PMPN） 20，当 PMPN 时，（PM PN ） 2 值最小为 0，MN 2PM 2+PN22PMPN ，当 PMPN 时， PM2+PN2 有最小值为 2PMPN，MN 为最小值时，PMPN，过 P 点作 PD AB 于点 D，如图所示，则 MN2PD，AA ，ADP ACB90，APDABC， ，即 ，PD ，MN2PD2 故答案为：2 【点评】本题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质
25、，本题的突破口是确定 MN 的最小值时，PMPN，再构造相似三角形解决问题，难度较大三、解答題：（本大题共 10 小题，共 76 分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）19（5 分）计算：| |+（ 1） 02cos30 【分析】利用负数的绝对值等于本身的相反数，a 01（a0）， 就可以解决本题【解答】解：原式1【点评】此题考查二次根式的运算，熟悉特殊角三角函数值以及公式 a01（a0）、绝对值的性质是解题的关键20（5 分）解不等式组：【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，公共部分就是不等式组的解集【解答】解：解不
26、等式 得： x2解不等式 得： x1所以不等式组的解集为：2x1【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，利用不等式的性质正确地去分母，正确地去括号是解题的关键21（5 分）先化简，再求值：（1 ）（ ），其中 x 【分析】利用 进行通分，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，同时注意分式在化简时，分子或分母是能因式分解的多项式就要优先将其因式分解【解答】解：原式当 x 时，原式【点评】本题难点在于求值部分，利用平方差公式达到分母有理化的目的22（7 分）2018 年 8 月中国铁路总公司宣布，京津高铁将再次提速，担任此次运营任务是最新的复兴号动车组，提速后车速是之前的 1.5 倍，100 千米缩
27、短了 10 分钟，问提速前后的速度分别是多少千米与小时？【分析】设列车提速前的速度为 x 千米每小时和列车提速后的速度为 1.5 千米每小时，根据关键语句“100 千米缩短了 10 分钟”可列方程，解方程即可【解答】解：设提速前后的速度分别为 x 千米每小时和 1.5x 千米每小时，根据题意得， ，解得：x200，经检验：x200 是原方程的根，1.5x300，答：提速前后的速度分别是 200 千米每小时和 300 千米每小时【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，根据时间关系列出方程23（8 分）为了缓解上学时校门口的交通压力，某校随机抽取了部分学生进行了调查，来了解学生的到校
28、方式，并根据调查结果绘制了如下统计图表：某校学生到校方式抽样调查统计表到校方式 学生人数乘车 90骑车 m步行 20其他 50根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中的样本容量是 200 ，m 40 ；（2）扇形统计图中学生到校方式是“步行”所对应扇形的圆心角的度数是 36 ；（3）若该校共有 1500 名学生，请根据统计结果估计该校到校方式为“乘车”的学生人数；（4）现从四名采取不同到校方式的学生中抽取两名学生进行问卷调查，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率【分析】（1）依据其他的数据，即可得到调查的样本容量，再根据样本容量
29、与骑车部分的百分比即可得出 m 的值；（2）依据步行部分人数与样本容量可得步行部分的百分比，即可得出“步行”所对应扇形的圆心角的度数；（3）用样本估计总体的思想，即可解决问题；（4）利用树状图法，然后利用概率的计算公式即可求解【解答】解：（1）本次抽样调查中的样本容量为：5025%200，m20020%40；本次抽样调查中的样本容量是 200，m 40；故答案为：200，40；（2）2020010%，10%36036；“步行”所对应扇形的圆心角的度数为：36；故答案为：36；（3）“乘车”的学生人数的百分比为 100%45%，用样本估计总体：45%1500 675 人，故估计该校到校方式为“乘
30、车”的学生人数为 675 人；（4）画树形图得：正好选到到校方式为“骑车”和“步行”的两名学生的概率 【点评】本题考查了扇形统计图、用画树状图法求随机事件的概率、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答24（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ACDE ，AEAD，AE 交 BC 于 O（1）求证：BCAEAC；（2）若 CE3，AC4，求COE 的周长【分析】（1）由平行四边形的性质得出 ADBC，得出BCADAC，由等腰三角形的性质得出EACDAC，即可得出BCA EAC；（2）由勾股定理求出 AE 5，由（1）得：BCAEAC，周长OA
31、OC，得出COE 的周长 AE+CE，即可得出结果【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，BCADAC，ACDE，AE AD，EACDAC，BCAEAC；（2）解：ACDE，ACE90，AE 5，由（1）得：BCAEAC，OAOC，COE 的周长OE+OC+ CEOE +OA+CEAE+CE 5+38【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、平行线的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键25（8 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴正半轴上，反比例函数y 在第一象限的图象经过点 D，交 BC 于 E
32、（1）当点 E 的坐标为（3，n）时，求 n 和 k 的值；（2）若点 E 是 BC 的中点，求 OD 的长【分析】（1）由题意表示出点 D 的坐标，由反比例函数经过点 D、E 列出关于 n 的方程，求得 n 的值，进而求得 k 的值（2）设 D（x，2）则 E（x+2，1），由反比例函数经过点 D、E 列出关于 x 的方程，求得 x 的值即可得出答案【解答】解：（1）正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 的坐标为（3，n），OB3，ABAD2，D（1，2），反比例函数 y 在第一象限的图象经过点 D，k122，反比例为：y ，反比例函数 y 在第一象限的图象交 BC 于 E，n ；（2）设
33、 D（x，2）则 E（x+2，1），反比例函数 y 在第一象限的图象经过点 D、点 E，2xx+2，解得 x2，D（2，2），OAAD 2，OD 2 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点 D、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数 k26（10 分）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，BD 经过圆心 O，点 E 在 BD 的延长线上，BA 与 CD 的延长线交于点 F，DF 平分ADE（1）求证：ACBC；（2）若 ABAF，求F 的度数；（3）若 ， O 半径为 5，求 DF 的长【分
34、析】（1）根据角平分线的定义得到EDFADF，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理结论得到结论；（2）根据圆周角定理得到 ADBF，推出ACB 是等边三角形，得到ADBACB60，根据等腰三角形的性质得到结论；（3）设 CDk，BC2k，根据勾股定理得到 BD k10，求得2，BCAC4 ，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：DF 平分 ADE，EDFADF，EDFABC，BAC BDC，EDF BDC，BACABC，ACBC；（2）解：BD 是O 的直径，ADBF，AFAB，DFDB ，FDABDA，ADBCABACB，ACB 是等边三角形，ADBACB60，ABD906030
35、，FABD 30；（3）解： ， ，设 CDk，BC 2k，BD k10，k2 ，CD2 ， BCAC4 ，ADFBAC，FACADC，ACFDCA，ACFDCA， ，CF8 ，DFCFCD6 【点评】本题综合考查了角平分线，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键27（10 分）如图，抛物线 yax 23ax 4a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点，直线y x+ 经过点 A，与抛物线的另一个交点为点 C，点 C 的横坐标为 3，线段 PQ 在线段 AB 上移动， PQ1，分别过点 P、Q 作 x 轴的垂线，交抛物线于 E、F，交直线
36、于D，G（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形 DEFG 为平行四边形时，求出此时点 P、 Q 的坐标；（3）在线段 PQ 的移动过程中，以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由【分析】（1）由点 C 的横坐标为 3，代入直线 y x+ ，可得点 C 的坐标为（3，2），再把点 C（3，2）代入抛物线，可求得 a 的值，进而得出抛物线的解析式；（2）设点 P（m，0），Q（m+1 ，0），可得点 D（m， m+ ）m，E （m，），G（m+1 ， m+1），F（m+1， ），当四边形 DEFG为平行四边形时，有 EDFG，可列出关于 m 的方程，解方
37、程求得 m 的值，即可得出点 P、Q 的坐标；（3）设以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积为 S，由（ 2）可得，S（）12 （m 2+m+ ） ，根据二次函数图象的性质即可得出以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积的最大值【解答】解：（1）点 C 的横坐标为 3，y 3+ 2，点 C 的坐标为（3，2），把点 C（3，2）代入抛物线，可得 29a9a4a，解得：a ，抛物线的解析式为 y ；（2）设点 P（m，0），Q（m+1 ，0），由题意，点 D（m， m+ ）m，E（m， ），G（m+1， m+1），F（m+1， ），四边形 DEFG 为平行四边形，EDFG ，（ ）（ m+ ）（
38、）（ m+1），即 ，m0.5，P（0.5，0）、Q（1.5，0）；（3）设以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积为 S，由（2）可得，S（ ）12 （m 2+m+ ），当 m 时， S 最大值为 ，以 D、E、F、G 为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 【点评】本题考查用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质解题的关键是用m 来表示出线段 ED，FG 的长28（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 P 从 AB 边的中点 E 出发，沿着 EBC 匀速运动，速度为每秒 2 个单位长度，到达点 C 后停止运动，点 Q 是 AD 上的点，AQ10 ，设APQ 的面积为 y，点 P 运动的
39、时间为 t 秒，y 与 t 的函数关系如图所示（1）图 中 AB 8 ，BC 18 ，图中 m 20 ；（2）当 t1 秒时，试判断以 PQ 为直径的圆是否与 BC 边相切？请说明理由；（3）点 P 在运动过程中，将矩形沿 PQ 所在直线折叠，则 t 为何值时，折叠后顶点 A的对应点 A落在矩形的一边上【分析】（1）由题意得出 AB2BE，t 2 时，BE224，求出AB2BE8，AEBE 4，t11 时，2t 22，得出 BC18，当 t0 时，点 P 在 E 处，mAEQ 的面积 AQAE20 即可；（2）当 t1 时，PE2，得出 APAE+PE6，由勾股定理求出 PQ2 ，设以 PQ为
40、直径的圆的圆心为 O，作 ONBC 于 N，延长 NO交 AD 于 M，则MNAB8，OMAB ，MN AB 8，由三角形中位线定理得出 OM AP3，求出ONMNOM5圆 O的半径，即可得出结论；（3）分三种情况：当点 P 在 AB 边上，A落在 BC 边上时，作 QFBC 于 F，则QFAB8，BFAQ10，由折叠的性质得：PA PA，AQAQ10， PAQA90，由勾股定理求出AF 6，得出 ABBFAF4，在 RtABP 中，BP42t，PAAP8（42t）4+2t ，由勾股定理得出方程，解方程即可；当点 P 在 BC 边上，A 落在 BC 边上时，由折叠的性质得：APAP，证出APQ
41、AQP，得出 AP AQAP10，在 RtABP 中，由勾股定理求出 BP6，由 BP2t4，得出 2t46，解方程即可；当点 P 在 BC 边上，A 落在 CD 边上时，由折叠的性质得： APAP，AQAQ10，在 Rt DQA中，DQADAQ 8，由勾股定理求出 DA6，得出ACCDDA2，在 RtABP 和 RtAPC 中，BP2t4，CP BCBP222t，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：（1）点 P 从 AB 边的中点 E 出发，速度为每秒 2 个单位长度，AB2BE，由图象得：t2 时，BE224，AB2BE8，AEBE 4，t11 时，2t22，BC22418，当 t0
42、 时，点 P 在 E 处，mAEQ 的面积 AQAE 10420；故答案为：8，18，20；（2）当 t1 秒时，以 PQ 为直径的圆不与 BC 边相切，理由如下：当 t1 时，PE2，APAE+PE4+26，四边形 ABCD 是矩形，A90，PQ 2 ，设以 PQ 为直径的圆的圆心为 O，作 ONBC 于 N，延长 NO交 AD 于 M，如图 1 所示：则 MNAB8，OMAB ， MNAB 8，O为 PQ 的中点，OM 是APQ 的中位线，OM AP3，ONMNO M5 ，以 PQ 为直径的圆不与 BC 边相切；（3）分三种情况：当点 P 在 AB 边上，A落在 BC 边上时，作 QFBC
43、 于 F，如图 2所示：则 QFAB8，BFAQ10，四边形 ABCD 是矩形，AB BCDD 90，CDAB8，AD BC18，由折叠的性质得：PAPA ，AQ AQ 10，PA QA90，AF 6，ABBFAF4，在 Rt ABP 中，BP42t，PAAP8（42t ）4+2t，由勾股定理得：4 2+（42t） 2（4+2t ） 2，解得：t ；当点 P 在 BC 边上，A 落在 BC 边上时，连接 AA，如图 3 所示：由折叠的性质得：APAP ，APQAPQ，ADBC，AQPA PQ，APQAQP，APAQ AP10，在 Rt ABP 中，由勾股定理得：BP 6，又BP2t4 ，2t4
44、6，解得：t 5；当点 P 在 BC 边上，A 落在 CD 边上时，连接 AP、AP，如图 4 所示：由折叠的性质得：APAP ，AQ AQ 10，在 Rt DQA中，DQADAQ 8，由勾股定理得：DA 6，ACCD DA2，在 Rt ABP 和 RtAPC 中，BP2t 4，CP BC BP18（2t4）222t，由勾股定理得：AP 28 2+（2t4） 2，A P22 2+（222 t） 2，8 2+（2t4） 22 2+（222t ） 2，解得：t ；综上所述，t 为 或 5 或 时，折叠后顶点 A 的对应点 A落在矩形的一边上【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论
