1、江苏省江阴市顾山中学 2019 年 3 月中考模拟数学试题一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）2 的倒数是（ ）A2 B2 C D2（3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax5 Bx5 Cx5 Dx 53（3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 000 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 9 C4.410 8 D4.410 104（3 分）初三（1）班 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计如下：进球数（个
2、） 1 2 3 4 5 7人数（人） 1 1 4 2 3 1这 12 名同学进球数的众数是（ ）A3.75 B3 C3.5 D75（3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，BC 交 O 于点 D，若C70，则AOD 的度数为（ ）A70 B35 C20 D406（3 分）在正三角形、平行四边、矩形和等腰梯形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A正三角形 B平行四边形 C矩形 D等腰梯形7（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）A24 cm 2 B48 cm 2 C24cm 2 D12cm 28（3 分）如图，在平
3、面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A点（0，3） B点（2，3） C点（5，1） D点（6，1）9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，BOC60，顶点 C 的坐标为（m，3 ），反比例函数 y 的图象与菱形对角线 AO 交 D 点，连接 BD，当 DBx 轴时， k 的值是（ ）A6 B6 C12 D1210（3 分）如图，直线 ykx+b（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A（4，0）、B（0， 3），抛物线 yx 2+2x+1 与 y 轴交于
4、点 C，点 E 在抛物线 yx 2+2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，CE+EF 的最小值是（ ）A1.4 B2.5 C2.8 D3二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11（2 分）分解因式：x 29 12（2 分）分式方程 的解是 13（2 分）正八边形的每个外角为 度14（2 分）已知方程 x25x+k 0 有两个相等的实数根，则 k 15（2 分）若点 A（1，m）在反比例函数 y 的图象上，则 m 的值为 16（2 分）若函数 ykxb 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k（x3）b0 的解是 17（2 分）如图，点 A（0，4），B
5、（4，0），C （10，0），点 P 在直线 AB 上，且OPC90，则点 P 的坐标为 18（2 分）将一个直角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中，点 A（ ，0），点B（0， 1），点 O（0，0） P 是边 AB 上的一点（点 P 不与点 A，B 重合），沿着 OP折叠该纸片，得点 A 的对应点 A，当BPA30时，点 P 的坐标为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19（8 分）计算：（1）2 2 + sin30；（2）（x2） 2（x +3）（x 1）20（8 分）（1）解方程：x 26x+40；（2）解不等式组21（8 分）如图，ABC 中，ABAC ，点 D
6、、E 分别在 AB、AC 边上，EBCDCB求证：BECD22（6 分）（1）如图，将 A、B、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B 、C 的概率；（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将 A、B、C、D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D 的概率为 23（8 分）为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）这次
7、抽查了四个品牌的饮料共 瓶；（2）请补全两条统计图；（3）若四个品牌饮料的平均合格率是 95%，四个品牌饮料月销售量约 20 万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？24（8 分）已知，如图，点 A 为O 上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个O 的内接正三角形 ABC（保留作图痕迹并标出 B、C）；（2）若O 半径为 10，则三角形 ABC 的面积为 25（8 分）某水果批发商以 40 元/千克的成本价购入了某种水果 700 千克，据市场预测，该水果的销售价 y（元/千克）与保存时间 x（天）的函数关系为 y50+2x，但保存这批产品平均每天将损耗 15 千克，且最多保存 10 天
8、另外，批发商每天保存该批产品的费用为 50 元（1）若批发商在保存该产品 5 天后一次性卖出，则销售价格是 ，则可获利 元（2）如果水果批发商希望通过这批产品卖出获利 9880 元，则批发商应在保存该产品多少天后一次性卖出？26（10 分）如图 1，在ABC 中，ACB 90，AC BC ，以 B 为圆心、1 为半径作圆，设点 P 为B 上一点，线段 CP 绕着点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CD，连接 DA、 PD、PB（1）求证：ADBP ；（2）若 DP 与B 相切，则CPB 的度数为 ；（3）如图 2，当 B、P、D 三点在同一条直线上时，求 BD 的长；（4）BD 的最小值为 ，
9、此时 tanCBP ；BD 的最大值为 ，此时 tanCBP 27（10 分）如图，已知正方形 ABCD 边长为 1，点 P 是射线 AD 的上的一个动点，点 A关于直线 BP 的对称点是点 Q，设 APx（1）求当 D，Q，B 三点在同一直线上时对应的 x 的值（2）当CDQ 为等腰三角形时，求 x 的值28（10 分）如图 1，二次函数 yax 22ax 3a（a0 ）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D（1）求顶点 D 的坐标（用含 a 的代数式表示）（2）若以 AD 为直径的圆经过点 C求 a 的值如图 2，点 E 是
10、 y 轴负半轴上一点，连接 BE，将OBE 绕平面内某一点旋转 180，得到PMN（点 P、M 、N 分别和点 O、B、E 对应），并且点 M、N 都在抛物线上，作MFx 轴于点 F，若线段 BF2MF，求点 M、N 的坐标如图 3，点 Q 在抛物线的对称轴上，以 Q 为圆心的圆过 A、B 两点，并且和直线 CD相切，求点 Q 的坐标参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）2 的倒数是（ ）A2 B2 C D【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数【解答】解：2（ ）1，2 的倒数是 故选：D【点评】主要考查倒
11、数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题2（3 分）函数 y 中，自变量 x 的取值范围是（ ）Ax5 Bx5 Cx5 Dx 5【分析】根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解【解答】解：由题意得，x50，解得 x5故选：C【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负3（3 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4 400 00
12、0 000 人，这个数用科学记数法表示为（ ）A4410 8 B4.410 9 C4.410 8 D4.410 10【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：4 400 000 0004.410 9，故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）初三（1）班
13、 12 名同学练习定点投篮，每人各投 10 次，进球数统计如下：进球数（个） 1 2 3 4 5 7人数（人） 1 1 4 2 3 1这 12 名同学进球数的众数是（ ）A3.75 B3 C3.5 D7【分析】根据统计表找出各进球数出现的次数，根据众数的定义即可得出结论【解答】解：观察统计表发现：1 出现 1 次，2 出现 1 次，3 出现 4 次，4 出现 2 次，5出现 3 次，7 出现 1 次，故这 12 名同学进球数的众数是 3故选：B【点评】本题考查了众数的定义以及统计表，解题的关键是找出哪个进球数出现的次数最多本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据统计表中得数据，结合众数
14、的定义找出该组数据的众数是关键5（3 分）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于 A，BC 交 O 于点 D，若C70，则AOD 的度数为（ ）A70 B35 C20 D40【分析】先依据切线的性质求得CAB 的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到CBA 的度数，然后由圆周角定理可求得AOD 的度数【解答】解：AC 是圆 O 的切线，AB 是圆 O 的直径，ABACCAB90又C70，CBA20DOA 40 故选：D【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得CBA20是解题的关键6（3 分）在正三角形、平行四边、矩形和等腰梯形这四个图形中，既是轴对称图形又
15、是中心对称图形的是（ ）A正三角形 B平行四边形 C矩形 D等腰梯形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形故错误；C、既是轴对称图形又是中心对称图形故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误故选：C【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合7（3 分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）A24 cm 2 B48 cm 2 C
16、24cm 2 D12cm 2【分析】根据扇形的面积公式计算即可【解答】解：圆锥侧面展开图的面积为： 24624，故选：C【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长8（3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A点（0，3） B点（2，3） C点（5，1） D点（6，1）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，OBD +EBF90时 F 点的位置即可【解答】解：连接 AC，作 AC，A
17、B 的垂直平分线，交格点于点 O，则点 O就是所在圆的圆心，三点组成的圆的圆心为：O （2，0），只有OBD+EBF90时，BF 与圆相切，当BODFBE 时，EFBD 2，F 点的坐标为：（5，1），点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）故选：C【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出BOD FBE 时，EFBD 2，即得出 F 点的坐标是解决问题的关键9（3 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，BOC60，顶点 C 的坐标为（m，3 ），反比例函数 y 的图象与菱形对角线 A
18、O 交 D 点，连接 BD，当 DBx 轴时， k 的值是（ ）A6 B6 C12 D12【分析】首先过点 C 作 CEx 轴于点 E，由BOC60 ，顶点 C 的坐标为（m，3 ），可求得 OC 的长，又由菱形 ABOC 的顶点 O 在坐标原点，边 BO 在 x 轴的负半轴上，可求得 OB 的长，且 AOB30，继而求得 DB 的长，则可求得点 D 的坐标，又由反比例函数 y 的图象与菱形对角线 AO 交 D 点，即可求得答案【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，顶点 C 的坐标为（m，3 ），OEm，CE3 ，菱形 ABOC 中，BOC60，OBOC 6， BOD BOC30，DB
19、x 轴，DBOB tan306 2 ，点 D 的坐标为：（6，2 ），反比例函数 y 的图象与菱形对角线 AO 交 D 点，kxy12 故选：D【点评】此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征注意准确作出辅助线，求得点 D 的坐标是关键10（3 分）如图，直线 ykx+b（k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A（4，0）、B（0， 3），抛物线 yx 2+2x+1 与 y 轴交于点 C，点 E 在抛物线 yx 2+2x+1 的对称轴上移动，点 F 在直线 AB 上移动，CE+EF 的最小值是（ ）A1.4 B2.5 C2.8 D3【分析】设 C 点关于抛物线对称轴的对称点
20、为 C，由对称的性质可得 CECE，则可知当 F、E 、C三点一线且 CF 与 AB 垂直时 CE+EF 最小，由 C 点坐标可确定出C，F 点的坐标，即可求得 CE+EF 的最小值【解答】解：如图，设 C 点关于抛物线对称轴的对称点为 C，由对称的性质可得CECE，CE+EFCE+EF，当 F、E 、C三点一线且 CF 与 AB 垂直时 CE+EF 最小，由题意可得 ，解得 ，直线解析式为 y x+3；C（0，1），C（2，1），直线 CF 的解析式为 y x+ ，由 ，解得 ，F（ ， ），CF 即 CE+EF 的最小值为 故选：C【点评】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短
21、问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分）11（2 分）分解因式：x 29 （x+3）（x 3） 【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式【解答】解：x 29（x +3）（x 3）故答案为：（x+3）（x 3）【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法12（2 分）分式方程 的解是 x4 【分析】首先把分式方程 的两边同时乘 x（x1），把化分式方程为整式方程；
22、然后根据整式方程的求解方法，求出分式方程 的解是多少即可【解答】解：分式方程的两边同时乘 x（x1），可得4（x1）3x解得 x4，经检验 x4 是分式方程的解故答案为：x4【点评】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解（2）解分式方程一定注意要验根13（2 分）正八边形的每个外角为 45 度【分析】利用正八边形的外角和等于 360 度即可求出答案【解答】解：360845故答案为：45【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是 36014（2 分）已知方程 x25x+k 0
23、 有两个相等的实数根，则 k 【分析】利用根的判别式可得到关于 k 的方程，即可求得 k 的值【解答】解：方程 x25x +k0 有两个相等的实数根，0，即（5） 24k0，解得 k ，故答案为： 【点评】本题主要考查根的判别式，由根的情况得到判别式的符号是解题的关键15（2 分）若点 A（1，m）在反比例函数 y 的图象上，则 m 的值为 3 【分析】直接把点 A（1，m）代入函数解析式，即可求出 m 的值【解答】解：点 A（1，m）在反比例函数 y 的图象上，m 3故答案为：3【点评】本题主要考查点在函数图象上的含义，点在函数图象上，点的坐标一定满足函数解析式16（2 分）若函数 ykxb
24、 的图象如图所示，则关于 x 的不等式 k（x3）b0 的解是 x 5 【分析】方法 1、根据函数图象知：一次函数过点（2，0）；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出 k、b 的关系式；然后将 k、b 的关系式代入 k（x3）b0 中进行求解即可方法 2、将直线 ykxb 向右平移 3 个单位长度即可得到直线 yk（x3）b，观察图形找出直线在 x 轴上方部分即可得出结论【解答】解：方法 1、一次函数 ykxb 经过点（2， 0），2kb0，b2k 函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k0；解关于 k（x3）b0，移项得：kx3k+b，即 kx5k；两边同时除以 k，因为 k0，因而解集
25、是 x5故答案为：x5方法 2、解：将直线 ykxb 向右平移 3 个单位长度即可得到直线 yk（x3）b，如图所示观察图形可知：当 x5 时，直线 yk （x3）b 在 x 轴上方故答案为：x5【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 yax+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合也考查了观察函数图象的能力17（2 分）如图，点 A（0，4），B（4，0），C （10，0），点 P 在直线 AB 上，且OPC90，则点 P 的坐标为 （
26、1，3）或（8，4） 【分析】设出点 P 的坐标，过点 P 作 PHOC 于点 H，由射影定理得到PH2OH CH，建立方程求解【解答】解：A（0，4），B（4，0），直线 AB 为 yx +4，设点 P 的坐标为（a，a+4），过点 P 作 PHOC 于点 H，OPC90，PH 2OH CH（a+4） 2a（10a），a 28a+1610aa 2，2a 218a+160，解得 a11，a 28P 1（1，3），P 2（8，4）故答案为（1，3）或（8，4）【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和相似三角形的性质，作出辅助线根据相似三角形是解题的关键18（2 分）将一个直
27、角三角形纸片 ABO 放置在平面直角坐标系中，点 A（ ，0），点B（0，1），点 O（0，0） P 是边 AB 上的一点（点 P 不与点 A，B 重合），沿着 OP折叠该纸片，得点 A 的对应点 A，当BPA30时，点 P 的坐标为 （ ，）或（ ， ） 【分析】分两种情况：点 A在 y 轴上，由 SSS 证明OPAOPA，得出AOPAOP AOB45，得出点 P 在AOB 的平分线上，由待定系数法求出直线 AB 的解析式为 y x+1，即可得出点 P 的坐标；由折叠的性质得：APAM30，OA OA，作出四边形 OAPA是菱形，得出PAOA ，作 PMOA 于 M，由直角三角形的性质求出
28、PM PA ，把 y代入 y x+1 求出点 P 的纵坐标即可【解答】解：设 P（x ，y ），分两种情况：如图所示：点 A在 y 轴上，在OPA和OPA 中，OPAOPA （SSS），AOPAOP AOB45，点 P 在AOB 的平分线上，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把点 A（ ，0），点 B（0，1）代入得：，解得： ，直线 AB 的解析式为 y x+1，P（x ，y），x x+1，解得：x ，P（ ， ）；如图所示：由折叠的性质得：AA30，OAOA ，BPA 30 ，APAMBPA ，OAAP，PAOA，四边形 OAPA是菱形，PAOA ，作 PMOA 于 M，如图所示：A3
29、0，PM PA ，把 y 代入 y x+1 得： x+1，解得：x ，P（ ， ）；综上所述：当BPA 30时，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）【点评】本题考查了折叠的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求直线的解析式、菱形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分）19（8 分）计算：（1）2 2 + sin30；（2）（x2） 2（x +3）（x 1）【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可【解答】（1）解：
30、原式 +2 2 ；（2）解：原式x 24x +4（ x2+2x3）6x+7【点评】本题考查了多项式乘多项式，实数的运算，完全平方公式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键20（8 分）（1）解方程：x 26x+40；（2）解不等式组【分析】（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案（2）根据不等式组的解法即可求出答案【解答】解：（1）361620x 3（2）由得： x3由得： x11x3【点评】本题考查学生运算能力，解题的关键是熟练运用方程以及不等式组的解法，本题属于基础题型21（8 分）如图，ABC 中，ABAC ，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，EBCD
31、CB求证：BECD【分析】由 ABAC，得到ABC ACB，因为，EBCDCB，公共边 BC，所以两三角形全等【解答】证明：ABAC，ABCACB，在DBC 与ECB 中， ，DBCECB，BECD【点评】本题主要考查等腰梯形的性质的应用，全等三角形的判定与性质，22（6 分）（1）如图，将 A、B、C 三个字母随机填写在三个空格中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），请你用画树状图或列表的方法求从左往右字母顺序恰好是A、B 、C 的概率；（2）若在如图三个空格的右侧增加一个空格，将 A、B、C、D 四个字母任意填写其中（每空填一个字母，每空中的字母不重复），从左往右字母顺序恰好是 A、B、
32、C、D 的概率为 【分析】（1）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是A、B、C 的种数即可求出其概率；（2）用列表法例举出所有可能的情况，再看一下左往右字母顺序恰好是 A、B、C、D的种数即可求出其概率；【解答】（1）解：空格 1 空格 2 空格 3A B CA C BB A CB C AC A BC B A如表格所示，一共有六种等可能的结果，其中从左往右字母顺序恰好是 A、B、C（记为事件 A）的结果有一种，所以 P（A） （2）由（1）可知从左往右字母顺序恰好是 A、B、C 、D 的概率为： 故答案为： 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些
33、事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 23（8 分）为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图 1 和图 2 两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）这次抽查了四个品牌的饮料共 200 瓶；（2）请补全两条统计图；（3）若四个品牌饮料的平均合格率是 95%，四个品牌饮料月销售量约 20 万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶？【分析】（1）甲的人数除以甲的百分比即可得到总人数；（2）总人数减去甲、乙、丁人数，得到丙人数，丁、丙人数除以总人数，可得它们的百分比；（3）用月销售
34、量（1平均合格率）即可得到四个品牌的不合格饮料的瓶数【解答】解：（1）6030%200，故答案为：200；（2）补条形统计图：丙有 20060407030 瓶；补扇形统计图：丁占 35% ，丙占 15%；如图：（3）根据题意得：20（195%）1（万瓶）答：这四个品牌的不合格饮料有 1 万瓶【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图，两图结合是解题的关键24（8 分）已知，如图，点 A 为O 上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个O 的内接正三角形 ABC（保留作图痕迹并标出 B、C）；（2）若O 半径为 10，则三角形 ABC 的面积为 75 【分析】（1）以 OA 为半径，在圆上依次截取
35、得到圆的 6 等份点，从而得到圆的三等份点，于是可作出O 的内接正三角形 ABC；（2）连接 OB、OC，延长 AO 交 BC 于点 D，则 ADBC，先求得 ODBOcos60 5，BDBOsin605 ，据此知 BC2BD10 、ADAO +OD15，根据三角形的面积公式可得答案【解答】解：（1）如图所示，ABC 即为所求：（2）如图，连接 OB、OC，延长 AO 交 BC 于点 D，则 ADBC，BOC2BAC120，BOD 60 ，则 ODBO cos6010 5，BDBO sin6010 5 ，BC2BD10 、ADAO+OD15，S ABC BCAD 10 1575 ，故答案为：7
36、5 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作25（8 分）某水果批发商以 40 元/千克的成本价购入了某种水果 700 千克，据市场预测，该水果的销售价 y（元/千克）与保存时间 x（天）的函数关系为 y50+2x，但保存这批产品平均每天将损耗 15 千克，且最多保存 10 天另外，批发商每天保存该批产品的费用为 50 元（1）若批发商在保存该产品 5 天后一次性卖出，则销售价格是 60 ，则可获利 9250 元（2）如果
37、水果批发商希望通过这批产品卖出获利 9880 元，则批发商应在保存该产品多少天后一次性卖出？【分析】（1）先求出卖出时的销售价，然后用卖出的钱数减去成本（包括购入成本和保存费用）即为获利；（2）根据获利等于卖出的钱数减去成本（包括购入成本和保存费用）即为获利，列出关于 x 的方程，然后求解即可【解答】解：（1）x5 时，y50+2560（元），60（700155）70040505，60（70075）28000250，3750028000250，9250 元；故答案为：60，9250；（2）由题意得，（50+2x）（70015x）7004050x9880，整理得，x 220x +960，解得：x
38、 112（不合题意舍去），x 28，答：批发商应在保存该产品 8 天时一次性卖出【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解获利的表示方法，列出获利的方程是解题的关键26（10 分）如图 1，在ABC 中，ACB 90，AC BC ，以 B 为圆心、1 为半径作圆，设点 P 为B 上一点，线段 CP 绕着点 C 顺时针旋转 90，得到线段 CD，连接 DA、 PD、PB（1）求证：ADBP ；（2）若 DP 与B 相切，则CPB 的度数为 45或 135 ；（3）如图 2，当 B、P、D 三点在同一条直线上时，求 BD 的长；（4）BD 的最小值为 1 ，此时 tanCBP 1 ；BD 的最大值
39、为 3 ，此时tanCBP 1 【分析】（1）根据 SAS 即可证明ACDBCP，再根据全等三角形的性质可得ADBP；（2）利用切线的性质结合等腰直角三角形得出即可；（3）当 B、P 、D 三点在同一条直线上时利用勾股定理，可得 BD 的长；（4）当PBC45时，BD 有最小值；进而得出 BD 有最大值【解答】（1）证明：如图 1，ACB90，DCP90，ACDBCP在ACD 与BCP 中， ，ACDBCP（SAS）ADBP；（2）解：如图 2，CPCD，DP 是B 的切线，PCD90，BPD90，CDPCPD45，CPB45+90 135 ，同理可得：CPB45故CPB45或 135；故答案
40、为：故CPB45或 135；（3）解：CDP 为等腰直角三角形，CDPCPD45，CPB135，由（1）知，ACDBCP，CDACPB135，AD BP1，BDACDACDP90，在 Rt ABC 中，AB 2，BD ；（4）解：如图 3，当 B、D、 A 三点在同一条直线上时，BD 有最小值，由（1）得ACDBCP，此时PBC45时，BD 的最小值为 1，此时 tanCBP1；同理可得：如图 4，当 B、D 、A 三点在同一条直线上时，由（1）得ACDBCP，BD 的最大值为：AB+ADAB +BP3，此时 tanCBPtan1351故答案为：1，1，3，1【点评】此题考查了圆的综合题，涉及
41、的知识有全等三角形的判定与性质，分类思想的运用，最大值与最小值，注意分析问题要全面，以免漏解，有一定的难度27（10 分）如图，已知正方形 ABCD 边长为 1，点 P 是射线 AD 的上的一个动点，点 A关于直线 BP 的对称点是点 Q，设 APx（1）求当 D，Q，B 三点在同一直线上时对应的 x 的值（2）当CDQ 为等腰三角形时，求 x 的值【分析】（1）连接 DB，若 Q 点落在 BD 上，由 APx，则 PD1x ，PQx构建方程即可解决问题；（2）分三种情形分别画出图形求解即可解决问题；【解答】解：（1）连接 DB，若 Q 点落在 BD 上，由 APx，则 PD1x ，PQxPD
42、Q 45 ，PD PQ，即 1x xx 1（2） 如图 2，连接 BQ1、CQ 1，作 PQ1BQ 1 交 AD 于 P，过点 Q1，作 EFAD 于E，交 BC 于 FBCQ 1 为等边三角形，正方形 ABCD 边长为 1，Q 1F Q1E 在四边形 ABPQ1 中，ABQ 130，APQ 1150，PEQ 1 为含 30的直角三角形，PE Q1E ，AE ，xAPAE PE 2 如图 3，连接 BQ2，AQ 2，过点 Q2 作 PGBQ 2，交 AD 于 P，连接 BP，过点 Q2 作EFCD 于 E，交 AB 于 FEF 垂直平分 CD，EF 垂直平分 AB，AQ 2BQ 2ABBQ 2，ABQ 2 为等边三角形在四边形 ABQP 中，BAD BQP 90，ABQ 260，ABP 30，xAP 如图 4，连接 BQ1，CQ 1，BQ 3，CQ 3，过点 Q3 作 BQ3PQ 3，交 AD 的延长线于 P，连接 BP，过点 Q1，作 EFAD 于 E，此时 Q3 在 EF 上，不妨记 Q3 与 F 重合BCQ 1 为等边三角形，BCQ 3 为等边三角形，BC 1，Q 1Q2 ，Q 1E ，EF 在四边形 ABQ3P 中，ABF ABC+ CBQ 3150，EPF 30，
