1、课时作业(二)1.1 第 2 课时 含 30 角的直角三角形的性质及应用 一、选择题1如图 K21，一棵大树在一次强台风中从距离地面 5 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30角，则这棵大树在折断前的高度是( )图 K21A10 米 B15 米 C25 米 D30 米2如图 K22，已知在ABC 中，ACB90，B30，D 为斜边 AB 的中点，则图中与线段 AC 的长度相等的线段有( )图 K22A0 条 B1 条 C2 条 D3 条3如图 K23，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高，A30，AB4，则 BD 的值为( )图 K23A3 B2 C1 D.124已知三角形的三个内
2、角度数之比为 123，若这个三角形的最短边长为 ，则它2的最长边长为( )A2 B2 C3 D3 2 25如图 K24，ABBC 于点 B，ADBC，BECD 于点 E，CE BC，E 为 CD 的中点，12那么ADB 的度数为( )图 K24A75 B60C45 D无法确定62018郴州如图 K25，AOB60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB 分别于点 C，D；分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于12点 P；以 O 为端点作射线 OP，在射线 OP 中截取 OM6，则点 M 到 OB 的距离为( )图 K25A6 B2 C3 D3 37如图 K
3、26，已知12，ADBD4，CEAD 于点 E，2CEAC，那么 CD 的长是( )图 K26A2 B3 C1 D1.5二、填空题8若直角三角形的两个锐角的度数比是 21，斜边长为 8，则这个直角三角形最短的边长为_9如图 K27，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D.若 BC AB，则12DCB_.图 K2710如图 K28，在ABC 中，C90，B30，AD 平分CAB，交 BC 于点 D.若CD1，则 BD_图 K2811如图 K29，在ABC 中，C90，DE 垂直平分 AB 于点 E，交 AC 于点D，AD2BC，则A_. 链 接 听 课 例 2归 纳 总 结图 K2
4、912如图 K210，已知AOB60，点 P 在 OA 上，OP8，点 M，N 在边 OB 上，PMPN.若 MN2，则 OM_图 K210三、解答题13如图 K211，在 RtABC 中，C90，A30，E 是边 BC 的中点，BFAC，EFAB，EF4 cm.求：(1)F 的度数；(2)AB 的长.图 K21114如图 K212，ABC 是等边三角形，D 为 BC 边的中点，DEAC 于点 E.试探索线段 CE 与线段 AC 之间的数量关系，并说明理由图 K21215如图 K213，在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 上的点，且CDAE，AD 与 BE 相交于点 P.(1
5、)求证：ABECAD；(2)若 BHAD 于点 H，求证：PB2PH.图 K21316如图 K214，AOPBOP 15，PCOA，PDOA 于点 D.若 PC4，求 PD的长图 K2141分类讨论思想在ABC 中，ABAC10 cm，BD 是高，且ABD30，求 CD 的长2图形全等与变换如图 K215，在ABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AB 上一点，ACD15，点 B，E 关于 CD 对称，连接 BE 交 CD 于点 H，交 AC 于点 G，连接 DE 交AC 于点 F.(1)求ADF 的度数；(2)求证：AFCG.图 K215详解详析课堂达标1解析 B 由“在直角三角形中，如果
6、一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是 10 米，则大树在折断前的高度是51015(米)2解析 D 由“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知，AC ABADBD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一12半”可知 CD AB，所以 ACADBDCD.故选 D.123解析 C ACB90，A30，AB4，CB AB2，B60.CD12是 AB 边上高，BDC90，BCD30，BD BC1.124解析 B 设三个内角的度数分别为 x，(2x)，(3x)，则 x2x3x180，解得 x30，三个内角分别为 30，60
7、，90，这个三角形是直角三角形，30角所对的直角边为最短边，斜边为最长边最短边长为 ，它的最长边为 2 .2 25解析 B 由 BECD，CE BC，根据“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜12边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30”得EBC30.又由 BE 垂直平分 CD 得BCD 为等腰三角形，所以DBEEBC30，根据“两直线平行，内错角相等”得到ADBDBC60.故选 B.6解析 C 由作图知，OP 是AOB 的平分线，点 M 到 OB 的距离即为垂线段的长，根据直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半，可得点 M 到 OB 的距离是 3.7解析 A 在 RtAEC 中，由
8、 ，可以得到1230.又ADBD4，CEAC 12得到B230，从而求出ACD90，然后由直角三角形的性质求出 CD 的长849答案 30解析 在 RtABC 中，ACB90，BC AB，A30，B60.12CDAB，垂足为 D，CDB90，DCB30.10答案 2解析 在ABC 中，C90，B30，CAB60.AD 平分CAB，CADBAD CAB30，12BADB，ADBD.CD1，AD2CD2，BDAD2.11答案 15解析 连接 BD.DE 垂直平分 AB 于点 E，ADBD2BC，在 RtBCD 中，BDC30.又BDAD，ADBA BDC15.1212答案 3解析 如图，过点 P
9、作 PCMN 于点 C.PMPN，C 为 MN 的中点，即MCNC MN1.在 RtOPC 中，AOB60，OPC30，12OC OP4，则 OMOCMC413.1213解：(1)C90，A30，ABC60.EFAB，BEFABC60.BFAC，EBFC90，F30.(2)EBF90，F30，EF4 cm，BE EF2 cm.12E 是边 BC 的中点，BC4 cm.C90，A30，AB2BC8 cm.14解：CE AC.理由：14ABC 是等边三角形，C60，BCAC.D 是ABC 中 BC 边的中点，BDCD.又C60，DEAC，CDE30，CE CD BC AC.12 14 14即 CE
10、 AC.1415证明：(1)ABC 是等边三角形，BAAC，CABC60.又AECD，ABECAD，ABECAD.(2)BPHBADABPBADCAD60，BHAD 于点 H，EBH30，在 RtPBH 中，PB2PH.16解：过点 P 作 PQOB 于点 Q，则PQOPDO90.DOPQOP15，PDOPQO90，OPOP，OPDOPQ，PDPQ.PCOA，QCPBODAOPBOP30，PQ PC2.故 PD2.12素养提升1解：分两种情况讨论(1)如图，当ABC 为锐角三角形时，在 RtABD 中，ABD30，则 AD AB5 12cm，CDACAD5 cm.(2)如图，当ABC 为钝角三
11、角形时，在 RtABD 中，ABD30，AD AB5 cm，CDACAD15 cm.122解：(1)在ABC 中，ACBC，ACB90，CADCBA45.ACD15，CDBACDCAD60.点 B，E 关于 CD 对称，EDCCDB60，ADF180606060.(2)证明：如图，过点 A 作 AMAC 交 ED 的延长线于点 M，则FAM90GCB，MAD904545CAD.MAD45，ADF60，M604515ACD.点 B，E 关于 CD 对称，CDBE，CHG90，CGBACD90.GCB90，CGBCBG90，CBGACD15M.在ACD 和AMD 中，CADMAD，ACDM，ADAD，ACDAMD，ACAM.又ACBC，AMBC.在FAM 和GCB 中，MCBG，AMCB，FAMGCB，FAMGCB，AFCG.
