1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（全国卷 I）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21 世纪教育网版权所有1. 已知集合 A=x|x1000 的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空 白框 中 ， 可 以 分 别 填 入 www.21-cn-A. A1 000 和 n=n+1 B. A1 000 和 n=n+2C. A1 000 和 n=n+1 D. A1 000 和 n=n+29. 已知曲线 C1：y =cos x，C 2：y=sin (2x+ 3)，则下面结论正确的是A. 把
2、 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C221cnjyB. 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2个单位长度，得到曲线 C221世纪*教育网C. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2wD. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2个单位长度，得到曲线 C22-1-c-n-j-y10. 已知 F 为抛物线 C：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l 2，直线
3、l1 与 C交于 A、 B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+| DE|的最小值为A. 16 B. 14 C. 12 D. 1011. 设 x，y，z 为正数，且 35xyz，则A. 2x100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是 2A. 440 B. 330 C. 220 D. 110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 a，b 的夹角为 60，| a|=2，|b|=1，则| a +2 b |=_.14. 设 x，y 满足约束条件 ，则 32zxy的最小值为
4、_.15. 已知双曲线 C：21xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN=60，则 C 的离心率为_。16. 如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O。D、E、F 为圆 O 上的点， DBC，ECA ，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA ，AB 为折痕折起DBC，ECA ，FAB，使得 D、E 、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_。三、解答题：共
5、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. （12 分）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c.已知ABC 的面积为23sinaA（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC 的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且 90BAPCD.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC， 90APD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.19. （12 分）为了
6、监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N. 【来源：21cnj*y.co*m】（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,)之外的零件数，求 (1)P及 的数学期望；【出处：21 教育名师】（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. （ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的
7、 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix， ，其中 ix为抽取的第 个零件的尺寸， 1,26i. 用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 (3,)之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）.附：若随机变量 Z服从正态分布2(,)N，则 (3)0.97 4PZ。160.97 4.59 2， 0.8.9. 20.（12 分）已知椭圆
8、C：2=1xyab（a b0），四点 P1（1,1），P 2（0,1），P 3（1， 2），P4（1， 3）中恰有三点在椭圆 C 上.【（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.21 教育名师原创作品21.（12 分）已知函数 )fx（ ae2x+(a2) e xx.（1）讨论 (的单调性；（2）若 )f有两个零点，求 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分
9、）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos,inxy（ 为参数），直线 l 的参数方程为 4,1xaty（ 为 参 数 ） .（1）若 a=1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a.23. 选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数 f（x） =x2+ax+4，g( x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（ x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x ） g（x）的解集包含1，1 ，求 a 的取值范围 .参考答案1. A 解析： ，1x310xB ， ，选 A。0BA2. B 解析：设正方形边长为 ，则圆半径为
10、 ，21则正方形的面积为 ，圆的面积为 ，图中黑色部分的概率为422则此点取自黑色部分的概率为 ，故选 B。283. B 解析： 设 ，则 ，得到 ，所以 ，故1:pzabi21abiziR0bzR正确；1P若 ，满足 ，而 ，不满足 ，故 不正确；2:pz12zRzi2z2p若 ， ，则 ，满足 ，而它们实部不相等，不是共轭复数，3:21212R故 不正确；3p实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确。4: 4p4. C 解析： ，4511342ada，6182S联立求得 ，1745ad得 ，3 2，64d，选 C。5. D 解析：因为 为奇函数，所以 ，fx1ff于是
11、等价于 |，121f 2fx 又 在 单调递减，fx，12 ，3x 故选 D。6. C 解析： ，6662 211+xxx对 的 项系数为 ，6x2265C对 的 项系数为 ，21 46=1 的系数为 ，x5130故选 C。7. B 解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，246S梯，61全 梯故选 B。8. D 解析：因为要求 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出，A“ ”中不能输入 ，10排除 A、B，又要求 为偶数，且 初始值为 0，nn“ ”中 依次加 2 可保证其为偶，故选 D。9. D 解析： ， ，1:cosCyx22:sin3yx首先曲线 、
12、统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理. 2 1:cosCyx. 横坐标变换需将 变成 ，cossin2yxx12即 ，11insinsin224 C上 yxx点 来. sisin233 yxx注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ，4x3x根据“左加右减” 原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 。4x3121210. A解析：设 倾斜角为 . 作 垂直准线， 垂直 轴，AB1AK2Ax易知 ，11cos2FGP（ 几 何 关 系 ）（ 抛 物 线 特 性 ），cosAFAF同理 ， ，1P1cosPB， 22cosinB又 与 垂直，即 的倾斜角为 ，DEADE2，
13、22cossinP而 ，即 . ，4yx 221sincosABDEP22incos424incos241in，当 取等号，216sin 4即 最小值为 ，故选 A。1611. D解析：取对数： ，ln2l3n5xy，ln32xy， lnl5xz则 ，ln52xz， ，故选 D。 35yxz12. A 解析：设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推。设第 组的项数为 ，则 组的项数和为 ，nn12n由题， ，令 且 ，即 出现在第 13 组之后，10N1024n *N第 组的和为 ，nn组总共的和为 。212nn若要使前 项和为 2 的整数幂，则 项的和
14、应与 互为相反数，N1nN21kn即 ，*2114knk， ，2log3 ，95nk，则 ，2140N故选 A。13. 23解析： 222()cos60ababb214，1 。21314. -5解析：不等式组 表示的平面区域如图所示210xy由 得 ，32zxy32zx求的最小值，即求直线 的纵截距的最大值。y当直线 过图中点 时，纵截距最大，2zyxA由 解得 点坐标为 ，此时 。1(1,)3(1)25z15. 23解析：如图， ，OAaNAMb ， ， ，6032P2234OAPab ，2tan34bAOa又 ， ，解得 ，tanb234ba23b 。2113ea16. 45解析：由题，连
15、接 ，交 与点 ，由题， ，ODBCGODBC，即 的长度与 的长度或成正比。36OGBC设 ，则 ， ，x23x5x三棱锥的高 ，210510hDOGx，21233ABCSx则 ，510Vhx 45=3210x令 ， ， ，45210fxx(,)34f令 ，即 ， ，32x则 ，280fxf则 ，345V体积最大值为 。 31cm17. 解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1） 面积 ，且 ， ABC23sinaSA1sinSbcA，2si3sinabc，223sinabcA由正弦定理得 ，23sinsiBCA由 得 ；sin0A2si（2）由（1）
16、得 ， ，in31cos6， BC，1coscssinCcos2ABB又 ， 0， ， 。 6A3sin21cos2A由余弦定理得 9ab由正弦定理得 ，sinBAsinacCA2i8sinbcC由得 3，即 周长为 abcAB 318. 解析：（1）证明： 90PCD ，PABDC又 ， AB又 ， 、 平面PP 平面 ，又 平面AB平面 平面 AD（2）取 中点 ， 中点 ，连接 ，OBCEPOE ABCD四边形 为平行四边形 OE由（1）知， 平面ABPD 平面 ，又 、 平面OAP ，EP又 ， A 、 、 两两垂直OD以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz设 ， 、
17、、 、 ，2PA02， ， 20B， ， 2P， ， 20C， ， 、 、D， ， P， ， B， ，设 为平面 的法向量nxyz,BC由 ，得0PBC20xyz令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量1yzxPBC012n, ，90APDA又知 平面 ， 平面BPD ，又B 平面PA即 是平面 的一个法向量，D 02P,23cosnP,由图知二面角 为钝角，所以它的余弦值为APBC319. （1）由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，落在3上 0.974之外的概率为 . 3上 0260116.97495PX408由题可知 .26B，160.41EX（2）（i）尺寸落在 之外的概率为 ，3上 0.2
18、6由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理. （ii） 39.70.219.3460上，需对当天的生产过程检查. 9.2.341，因此剔除剔除数据之后： . 9.76.2105222222222229.510.96.9.61010.98.491.301.0155.50 8920. （1）根据椭圆对称性，必过 、3P4又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点4P1234P上将 代入椭圆方程得2302上，解得 ，22134ba24a21b椭圆 的方程为： . C2xy（2） 当斜率不存在时，设 :AAlmyBmy， ， ， ，22121AAPABykm得 ，此时
19、过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. l当斜率存在时，设 lykxb12AxyBx上联立 ，整理得240kb2214840kxb，1228xk21bx则 2221PAByk212121xkxkbx28841bkb又84kb上1b，此时 ，存在 使得 成立. 2164k0直线 的方程为l2yx当 时，2x1所以 过定点l上21. （1）由于 2eexxfa故 2121xxxxf当 时， ， . 从而 恒成立 . 0ae10x2e10x0fx在 上单调递减fxR当 时，令 ，从而 ，得 . 0a0fxe10xalnxal， lna上fx 0极小值 综上，当 时， 在 上单调递减；0a()fR当
20、 时， 在 上单调递减，在 上单调递增x,ln)a(ln,)a（2）由（1）知，当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件 . 0af fxR当 时， . min1llnfaa令 . 1lga令 ，则 . 从而 在 上单调增，而ln0a21 0gaga0上. 故当 时， . 当 时 . 当 时1g11a若 ，则 ，故 恒成立，从而 无零点，不满1aminl0fag0fxfx足条件. 若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足条件. 1amin1l0fa0fxln0xa若 ，则 ，注意到 . . 0inlflna21eef故 在 上有一个实根，而又 . fx1la上3llna且33l
21、n1ln1l()e2ln1af a . 33l1ln0a故 在 上有一个实根. fx3ln1a上又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两个实l上 lna上fxR根. 又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在 上恰fx1lna上3l1a上 fx有两个实根. 综上， . 022. （1） 时，直线 的方程为 . al430xy曲线 的标准方程是 ，C219xy联立方程 ，解得： 或 ，243019xy30xy2154则 与 交点坐标是 和Cl30上215上（2）直线 一般式方程是 . 40xya设曲线 上点 . cosinp上则 到 距离 ，其中 . Pl5sin431717ad 3tn4依题意得： ，解得 或max 6a823. 解：（1）当 时，不等式 等价于a()fxg2|1|40x当 时，式化为 ，无解；23x当 时，式化为 ，从而 ；x1x当 时，式化为 ，从而1240x72所以 的解集为()fxg17| 2x（2）当 时，1,()2所以 的解集包含 ，等价于当 时()fxg1,1,x()2fx又 在 的最小值必为 与 之一，,()f(f所以 且 ，(1)2f()f得 a所以 的取值范围为 ,1
