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【全国Ⅰ卷】2017年普通高校招生全国统一考试数学(理科)试卷(含答案解析)

1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)(全国卷 I)一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。21 世纪教育网版权所有1. 已知集合 A=x|x1000 的 最 小 偶 数 n, 那 么 在 和 两 个 空 白框 中 , 可 以 分 别 填 入 www.21-cn-A. A1 000 和 n=n+1 B. A1 000 和 n=n+2C. A1 000 和 n=n+1 D. A1 000 和 n=n+29. 已知曲线 C1:y =cos x,C 2:y=sin (2x+ 3),则下面结论正确的是A. 把

2、 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 C221cnjyB. 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2个单位长度,得到曲线 C221世纪*教育网C. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 C2wD. 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2个单位长度,得到曲线 C22-1-c-n-j-y10. 已知 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l 2,直线

3、l1 与 C交于 A、 B 两点,直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+| DE|的最小值为A. 16 B. 14 C. 12 D. 1011. 设 x,y,z 为正数,且 35xyz,则A. 2x100 且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 。 那 么 该 款 软 件 的 激 活 码 是 2A. 440 B. 330 C. 220 D. 110二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13. 已知向量 a,b 的夹角为 60,| a|=2,|b|=1,则| a +2 b |=_.14. 设 x,y 满足约束条件 ,则 32zxy的最小值为

4、_.15. 已知双曲线 C:21xyab(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN=60,则 C 的离心率为_。16. 如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为O。D、E、F 为圆 O 上的点, DBC,ECA ,FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以 BC,CA ,AB 为折痕折起DBC,ECA ,FAB,使得 D、E 、F 重合,得到三棱锥。当ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3)的最大值为_。三、解答题:共

5、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共 60 分。17. (12 分)ABC 的内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c.已知ABC 的面积为23sinaA(1)求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长.18.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB/CD,且 90BAPCD.(1)证明:平面 PAB平面 PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC, 90APD,求二面角 A-PB-C 的余弦值.19. (12 分)为了

6、监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm). 根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N. 【来源:21cnj*y.co*m】(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,)之外的零件数,求 (1)P及 的数学期望;【出处:21 教育名师】(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 (3,)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ( )试说明上述监控生产过程方法的合理性;( )下面是检验员在一天内抽取的

7、 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得169.7ix, ,其中 ix为抽取的第 个零件的尺寸, 1,26i. 用样本平均数 x作为 的估计值 ,用样本标准差 s作为 的估计值 ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除 (3,)之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).附:若随机变量 Z服从正态分布2(,)N,则 (3)0.97 4PZ。160.97 4.59 2, 0.8.9. 20.(12 分)已知椭圆

8、C:2=1xyab(a b0),四点 P1(1,1),P 2(0,1),P 3(1, 2),P4(1, 3)中恰有三点在椭圆 C 上.【(1)求 C 的方程;(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1,证明:l 过定点.21 教育名师原创作品21.(12 分)已知函数 )fx( ae2x+(a2) e xx.(1)讨论 (的单调性;(2)若 )f有两个零点,求 a 的取值范围.(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22. 选修 44:坐标系与参数方程 (10 分

9、)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos,inxy( 为参数),直线 l 的参数方程为 4,1xaty( 为 参 数 ) .(1)若 a=1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17,求 a.23. 选修 45:不等式选讲(10 分)已知函数 f(x) =x2+ax+4,g( x)=x+1+x1.(1)当 a=1 时,求不等式 f( x)g(x)的解集;(2)若不等式 f(x ) g(x)的解集包含1,1 ,求 a 的取值范围 .参考答案1. A 解析: ,1x310xB , ,选 A。0BA2. B 解析:设正方形边长为 ,则圆半径为

10、 ,21则正方形的面积为 ,圆的面积为 ,图中黑色部分的概率为422则此点取自黑色部分的概率为 ,故选 B。283. B 解析: 设 ,则 ,得到 ,所以 ,故1:pzabi21abiziR0bzR正确;1P若 ,满足 ,而 ,不满足 ,故 不正确;2:pz12zRzi2z2p若 , ,则 ,满足 ,而它们实部不相等,不是共轭复数,3:21212R故 不正确;3p实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 正确。4: 4p4. C 解析: ,4511342ada,6182S联立求得 ,1745ad得 ,3 2,64d,选 C。5. D 解析:因为 为奇函数,所以 ,fx1ff于是

11、等价于 |,121f 2fx 又 在 单调递减,fx,12 ,3x 故选 D。6. C 解析: ,6662 211+xxx对 的 项系数为 ,6x2265C对 的 项系数为 ,21 46=1 的系数为 ,x5130故选 C。7. B 解析:由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面,246S梯,61全 梯故选 B。8. D 解析:因为要求 大于 1000 时输出,且框图中在“否”时输出,A“ ”中不能输入 ,10排除 A、B,又要求 为偶数,且 初始值为 0,nn“ ”中 依次加 2 可保证其为偶,故选 D。9. D 解析: , ,1:cosCyx22:sin3yx首先曲线 、

12、统一为一三角函数名,可将 用诱导公式处理. 2 1:cosCyx. 横坐标变换需将 变成 ,cossin2yxx12即 ,11insinsin224 C上 yxx点 来. sisin233 yxx注意 的系数,在右平移需将 提到括号外面,这时 平移至 ,4x3x根据“左加右减” 原则,“ ”到“ ”需加上 ,即再向左平移 。4x3121210. A解析:设 倾斜角为 . 作 垂直准线, 垂直 轴,AB1AK2Ax易知 ,11cos2FGP( 几 何 关 系 )( 抛 物 线 特 性 ),cosAFAF同理 , ,1P1cosPB, 22cosinB又 与 垂直,即 的倾斜角为 ,DEADE2,

13、22cossinP而 ,即 . ,4yx 221sincosABDEP22incos424incos241in,当 取等号,216sin 4即 最小值为 ,故选 A。1611. D解析:取对数: ,ln2l3n5xy,ln32xy, lnl5xz则 ,ln52xz, ,故选 D。 35yxz12. A 解析:设首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推。设第 组的项数为 ,则 组的项数和为 ,nn12n由题, ,令 且 ,即 出现在第 13 组之后,10N1024n *N第 组的和为 ,nn组总共的和为 。212nn若要使前 项和为 2 的整数幂,则 项的和

14、应与 互为相反数,N1nN21kn即 ,*2114knk, ,2log3 ,95nk,则 ,2140N故选 A。13. 23解析: 222()cos60ababb214,1 。21314. -5解析:不等式组 表示的平面区域如图所示210xy由 得 ,32zxy32zx求的最小值,即求直线 的纵截距的最大值。y当直线 过图中点 时,纵截距最大,2zyxA由 解得 点坐标为 ,此时 。1(1,)3(1)25z15. 23解析:如图, ,OAaNAMb , , ,6032P2234OAPab ,2tan34bAOa又 , ,解得 ,tanb234ba23b 。2113ea16. 45解析:由题,连

15、接 ,交 与点 ,由题, ,ODBCGODBC,即 的长度与 的长度或成正比。36OGBC设 ,则 , ,x23x5x三棱锥的高 ,210510hDOGx,21233ABCSx则 ,510Vhx 45=3210x令 , , ,45210fxx(,)34f令 ,即 , ,32x则 ,280fxf则 ,345V体积最大值为 。 31cm17. 解析:本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.(1) 面积 ,且 , ABC23sinaSA1sinSbcA,2si3sinabc,223sinabcA由正弦定理得 ,23sinsiBCA由 得 ;sin0A2si(2)由(1)

16、得 , ,in31cos6, BC,1coscssinCcos2ABB又 , 0, , 。 6A3sin21cos2A由余弦定理得 9ab由正弦定理得 ,sinBAsinacCA2i8sinbcC由得 3,即 周长为 abcAB 318. 解析:(1)证明: 90PCD ,PABDC又 , AB又 , 、 平面PP 平面 ,又 平面AB平面 平面 AD(2)取 中点 , 中点 ,连接 ,OBCEPOE ABCD四边形 为平行四边形 OE由(1)知, 平面ABPD 平面 ,又 、 平面OAP ,EP又 , A 、 、 两两垂直OD以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz设 , 、

17、、 、 ,2PA02, , 20B, , 2P, , 20C, , 、 、D, , P, , B, ,设 为平面 的法向量nxyz,BC由 ,得0PBC20xyz令 ,则 , ,可得平面 的一个法向量1yzxPBC012n, ,90APDA又知 平面 , 平面BPD ,又B 平面PA即 是平面 的一个法向量,D 02P,23cosnP,由图知二面角 为钝角,所以它的余弦值为APBC319. (1)由题可知尺寸落在 之内的概率为 ,落在3上 0.974之外的概率为 . 3上 0260116.97495PX408由题可知 .26B,160.41EX(2)(i)尺寸落在 之外的概率为 ,3上 0.2

18、6由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理. (ii) 39.70.219.3460上,需对当天的生产过程检查. 9.2.341,因此剔除剔除数据之后: . 9.76.2105222222222229.510.96.9.61010.98.491.301.0155.50 8920. (1)根据椭圆对称性,必过 、3P4又 横坐标为 1,椭圆必不过 ,所以过 三点4P1234P上将 代入椭圆方程得2302上,解得 ,22134ba24a21b椭圆 的方程为: . C2xy(2) 当斜率不存在时,设 :AAlmyBmy, , , ,22121AAPABykm得 ,此时

19、过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. l当斜率存在时,设 lykxb12AxyBx上联立 ,整理得240kb2214840kxb,1228xk21bx则 2221PAByk212121xkxkbx28841bkb又84kb上1b,此时 ,存在 使得 成立. 2164k0直线 的方程为l2yx当 时,2x1所以 过定点l上21. (1)由于 2eexxfa故 2121xxxxf当 时, , . 从而 恒成立 . 0ae10x2e10x0fx在 上单调递减fxR当 时,令 ,从而 ,得 . 0a0fxe10xalnxal, lna上fx 0极小值 综上,当 时, 在 上单调递减;0a()fR当

20、 时, 在 上单调递减,在 上单调递增x,ln)a(ln,)a(2)由(1)知,当 时, 在 上单调减,故 在 上至多一个零点,不满足条件 . 0af fxR当 时, . min1llnfaa令 . 1lga令 ,则 . 从而 在 上单调增,而ln0a21 0gaga0上. 故当 时, . 当 时 . 当 时1g11a若 ,则 ,故 恒成立,从而 无零点,不满1aminl0fag0fxfx足条件. 若 ,则 ,故 仅有一个实根 ,不满足条件. 1amin1l0fa0fxln0xa若 ,则 ,注意到 . . 0inlflna21eef故 在 上有一个实根,而又 . fx1la上3llna且33l

21、n1ln1l()e2ln1af a . 33l1ln0a故 在 上有一个实根. fx3ln1a上又 在 上单调减,在 单调增,故 在 上至多两个实l上 lna上fxR根. 又 在 及 上均至少有一个实数根,故 在 上恰fx1lna上3l1a上 fx有两个实根. 综上, . 022. (1) 时,直线 的方程为 . al430xy曲线 的标准方程是 ,C219xy联立方程 ,解得: 或 ,243019xy30xy2154则 与 交点坐标是 和Cl30上215上(2)直线 一般式方程是 . 40xya设曲线 上点 . cosinp上则 到 距离 ,其中 . Pl5sin431717ad 3tn4依题意得: ,解得 或max 6a823. 解:(1)当 时,不等式 等价于a()fxg2|1|40x当 时,式化为 ,无解;23x当 时,式化为 ,从而 ;x1x当 时,式化为 ,从而1240x72所以 的解集为()fxg17| 2x(2)当 时,1,()2所以 的解集包含 ,等价于当 时()fxg1,1,x()2fx又 在 的最小值必为 与 之一,,()f(f所以 且 ,(1)2f()f得 a所以 的取值范围为 ,1