1、第 1 练 集合、复数、常用逻辑用语年份卷别考查内容及考题位置 命题分析卷补集运算T 2 复数的除法复数的模T 1卷集合中元素的个数T 2 复数的除法T 12018卷交集运算T 1 复数的乘法T 2集合的基本运算、指数不等式的解法T 1卷复数的概念、复数的运算、命题的真假判断T 3集合的交集、一元二次方程的根T 2卷 复数的除法运算T 3集合的表示、集合的交集运算T 12017卷 复数的运算及复数的模T 2集合的交集运算、一元二次不等式的解法T 1卷 复数相等及模的运算T2集合的并集运算、一元二次不等式的解法T 1卷 复数的几何意义T2集合的交集运算、一元二次不等式的解法T 12016卷 共轭
2、复数的概念及运算T21.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前 3 题的位置进行考查，难度较小命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题2高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第 13 题的位置，难度较低，纯属送分题目3高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.集 合集合运算的 4 个性质及重要结论(1)A A A， A A， A B B A.(2)A A A，
3、A ， A B B A.(3)A( UA) ， A( UA) U.(4)A B AAB， A B ABA.集合运算的 4 个技巧(1)先“简”后“算” 进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等(2)遵“规”守“矩” 定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素” ，补集的运算要关注“你有我无”的元素(3)活“性”减“量” 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即 U(M N)( UM)( UN)， U(M N)( UM)( UN)等简化运算，减少运算量(4)借“形”助“数” 在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn
4、图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用 Venn 图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍考法全练1(2018高考全国卷)已知集合 A x|x2 x20，则 RA( )A x|12 D x|x1 x|x2解析：选 B.法一： A x|(x2)( x1)0 x|x2，所以RA x|1 x2，故选 B.法二：因为 A x|x2 x20，所以 RA x|x2 x20 x|1 x2，故选 B.2(2018郑州第二次质量预测)已知集合 P x|y ， xN， Q x|ln x2 x 2x1，则 P Q( )A0，1，2 B1，2C(0，2 D(0，e)解析：选 B.由 x
5、2 x20，得1 x2，因为 xN，所以 P0，1，2因为ln x1，所以 0 xe，所以 Q(0，e)，则 P Q1，2，故选 B.3(一题多解)(2018高考全国卷)已知集合 A( x， y)|x2 y23， xZ， yZ，则 A 中元素的个数为( )A9 B8C5 D4解析：选 A.法一：由 x2 y23 知， x ， y .又 xZ， yZ，所3 3 3 3以 x1，0，1， y1，0，1，所以 A 中元素的个数为 C C 9，故选 A.1313法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2 y23 中有 9 个整点，即为集合 A 的元素个数，故选 A.
6、4(一题多解)(2018太原模拟)已知集合 A y|ylog 2x， x2，B y|y ， x1，则 A B( )(12)x A(1，) B.(0，12)C. D.(12， ) (12， 1)解析：选 A.法一：因为 A y|ylog 2x， x2 y|y1， B y|y ， x1(12)x y|y ，所以 A B y|y1，故选 A.12法二：取 2 A B，则由 2 A，得 log2x2，解得 x42，满足条件，同时由2 B，得 2， x1，满足条件，排除选项 B，D；取 1 A B，则由 1 A，得(12)x log2x1，解得 x2，不满足 x2，排除 C，故选 A.5(2018惠州第
7、二次调研)已知集合 A x|x a， B x|x23 x20，若A B B，则实数 a 的取值范围是( )A a1 B a1C a2 D a2解析：选 D.集合 B x|x23 x20 x|1 x2，由 A B B 可得 BA，所以a2.故选 D.复 数复数代数形式的 2 种运算(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类项，不含 i 的看作另一类项，分别合并同类项即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把 i 的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化” ，其实质就是“分母实数化” 复数运算中的
8、 4 个常见结论(1)(1i)22i， i， i.1 i1 i 1 i1 i(2) b aii( a bi)(3)i4n1，i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i.(4)i4ni 4n1 i 4n2 i 4n3 0.考法全练1(2018高考全国卷) ( )1 2i1 2iA i B i45 35 45 35C i D i35 45 35 45解析：选 D. i，故选 D.1 2i1 2i (1 2i)(1 2i)(1 2i)(1 2i) 35 452(2018惠州第二次调研)若 2i(i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面内对应z1 i的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第
9、四象限解析：选 A.由题意知 z(1i)(2i)3i，其在复平面内对应的点的坐标为(3，1)，在第一象限故选 A.3(2018高考全国卷)设 z 2i，则| z|( )1 i1 iA0 B.12C1 D. 2解析：选 C.法一：因为 z 2i 2ii2ii，所以1 i1 i (1 i)2(1 i)(1 i)|z|1，故选 C.法二：因为 z 2i ，所以1 i1 i 1 i 2i(1 i)1 i 1 i1 i|z| 1，故选 C.| 1 i1 i| | 1 i|1 i| 224(2018昆明调研)设复数 z 满足(1i) zi，则 z 的共轭复数 z( )A. i B. i12 12 12 1
10、2C i D i12 12 12 12解析：选 B.法一：因为(1i) zi，所以z i，所以复数 z 的共轭复数 z i，故选 B.i1 i 2i2(1 i) (1 i)22(1 i) 1 i2 12 12 12 12法二：因为(1i) zi，所以 z i，所以复数 z 的i1 i i(1 i)(1 i)(1 i) 1 i2 12 12共轭复数 z i，故选 B.12 12法三：设 z a bi(a， bR)，因为(1i) zi，所以(1i)( a bi)i，所以( a b)( a b)ii，由复数相等的条件得 解得 a b ，所以 z i，所以复数a b 0，a b 1， ) 12 12
11、12z 的共轭复数 z i，故选 B.12 125(2018武汉调研)已知复数 z 满足 z| z|3i，则 z( )A1i B1iC. i D. i43 43解析：选 D.设 z a bi，其中 a， bR，由 z| z|3i，得a bi 3i，由复数相等可得 解得 故 z i，故a2 b2 a a2 b2 3，b 1， ) a 43，b 1， ) 43选 D.命题的真假判断与否定四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系全(特)称命题及其否定(1)全称命题 p： x M， p(x)它的否定 p： x0 M， p(x0
12、)(2)特称命题 p： x0 M， p(x0)它的否定 p： x M， p(x)含逻辑联结词的命题真假的等价关系(1)p q 真 p， q 至少一个真( p)( q)假(2)p q 假 p， q 均假 ( p)( q)真(3)p q 真 p， q 均真 ( p)( q)假(4)p q 假 p， q 至少一个假( p)( q)真(5) p 真 p 假； p 假 p 真考法全练1(2018贵阳模拟)命题 p： x0R， x 2 x020，则 p 为( )20A xR， x22 x20B xR， x22 x20C x0 R， x 2 x02020D x0 R， x 2 x02020解析：选 A.命题
13、 p 为特称命题，所以 p 为“ xR， x22 x20” ，故选 A.2(2018太原模拟)已知命题 p： x0R， x x010；命题 q：若 a b，则20 ，则下列为真命题的是( )1a 1bA p q B p qC p q D p q解析：选 B.对于命题 p，当 x00 时，10 成立，所以命题 p 为真命题，命题 p 为假命题；对于命题 q，当 a1， b1 时， ，所以命题 q 为假命题，命题 q 为真命1a 1b题，所以 p q 为真命题，故选 B.3(2018郑州第一次质量预测)下列说法正确的是( )A “若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”B “若 a
14、m2 bm2，则 a b”的逆命题为真命题C存在 x0(0，)，使 3x04 x0成立D “若 sin ，则 ”是真命题12 6解析：选 D.对于选项 A， “若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21” ，故选项 A 错误；对于选项 B， “若 am2 bm2，则 a b”的逆命题为“若 a b，则 am2 bm2”，因为当 m0 时， am2 bm2，所以其逆命题为假命题，故选项 B 错误；对于选项 C，由指数函数的图象知，对任意的 x(0，)，都有 4x3 x，故选项 C 错误；对于选项 D， “若sin ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 sin ”，且其逆否命题为真命12 6
15、 6 12题，所以原命题为真命题，故选 D.4(2018唐山模拟)已知命题 p：“ a b”是“2 a2 b”的充要条件；命题q： x R，| x 1| x，则( )A p q 为真命题 B p q 为真命题C p q 为真命题 D p q 为假命题解析：选 B.由函数 y2 x是 R 上的增函数，知命题 p 是真命题对于命题 q，当x10，即 x1 时，| x1| x1 x；当 x10，即 x1 时，|x1| x1，由 x1 x，得 x ，无解，因此命题 q 是假命题所以 p q 为12假命题，A 错误； p q 为真命题，B 正确； p q 为假命题，C 错误； p q 为真命题，D错误故
16、选 B.充要条件的判断充分、必要条件的 3 种判断方法利用定义判断 直接判断“若 p，则 q”“若 q，则 p”的真假从集合的角度判断若 AB，则“ x A”是“ x B”的充分条件或“ x B”是“ x A”的必要条件；若 A B，则“ x A”是“ x B”的充要条件利用等价转化法判断条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假考法全练1(2018石家庄质量检测(二)设 a0 且 a1，则“log ab1”是“ b a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 D.由 logab1 得，当 a1 时， b a；当 0 a1 时，
17、b a.显然不能由logab1 推出 b a，也不能由 b a 推出 logab1，故选 D.2(2018沈阳模拟)已知向量 a( m，1)， b( n，1)，则“ 1”是“ a b”的( )mnA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.若 1，则 m n，此时 a b，显然满足 a b；反之，若 a b，则mnm1 n10，所以 m n，但不能推出 1.所以“ 1”是“ a b”的充分不必要条件，mn mn故选 A.3(2018成都第一次诊断性检测)已知锐角 ABC 的三个内角分别为 A， B， C，则“sin Asin B”是“tan Atan B”
18、的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 C.在锐角 ABC 中，根据正弦定理 ，知 sin Asin asin A bsin BBa bA B，而正切函数 ytan x 在 上单调递增，所以 A Btan Atan (0， 2)B故选 C.4(2018高考天津卷)设 xR，则“ ”是“ x31”的( )|x12| 12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A.由 ，得 0x1，所以 0x31；由 x31，得 x1，不能推出 0x1.|x12| 12所以“ ”是“ x31”的充分而不必要条件故选 A.|x1
19、2| 125(2018湖南湘东五校联考)“不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A m B0 m114C m0 D m1解析：选 C.若不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立，则 (1) 24 m0，解得m ，因此当不等式 x2 x m0 在 R 上恒成立时，必有 m0，但当 m0 时，不一定推14出不等式在 R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是 m0，故选 C.一、选择题1(2018高考天津卷)设全集为 R，集合 A x|0x2， B x|x1，则 A( RB)( )A x|0x1 B x|0x1C x|1 x2 D x|0x2解析：选 B.因为 B
20、x|x1，所以 RB x|x1，因为 A x|0x2，所以A( RB) x|0x1，故选 B.2(2018沈阳教学质量监测(一)若 i 是虚数单位，则复数 的实部与虚部之积2 3i1 i为( )A B.54 54C. i D i54 54解析：选 B.因为 i，所以其实部为 ，虚部为 ，实部与2 3i1 i (2 3i)(1 i)(1 i)(1 i) 52 12 52 12虚部之积为 .故选 B.543(2018南宁模拟)已知(1i) z i(i 是虚数单位)，那么复数 z 在复平面内对3应的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 A.因为(1i) z i，所以 z
21、，则复数33i1 i 3i(1 i)(1 i)(1 i) 3 3i2z 在复平面内对应的点的坐标为 ，所以复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限，(32， 32)故选 A.4(2018西安模拟)设集合 A x|ylg( x23 x4)， B y|y2 1 x2，则A B( )A(0，2 B(1，2C2，4) D(4，0)解析：选 B.A x|x23 x40 x|x1 或 x4， B y|0 y2，所以A B(1，2，故选 B.5(2018太原模拟)已知全集 UR，集合 A x|x(x2)0， B x|x|1，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A(2，1) B1，01，2)C(2，1)0，
22、1 D0，1解析：选 C.因为集合 A x|x(x2)0， B x|x|1，所以 A x|2 x0，B x|1 x1，所以 A B(2，1， A B1，0)，所以阴影部分表示的集合为A B(A B)( 2，1)0，1，故选 C.6(2018洛阳第一次联考)已知复数 z 满足 z(1i) 21i(i 为虚数单位)，则| z|为( )A. B.12 22C. D12解析：选 B.因为 z ，所以| z| ，故选 B.1 i2i 1 i2 227(2018西安八校联考)在 ABC 中， “ 0”是“ ABC 是钝角三角形”的( )AB BC A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也
23、不必要条件解析：选 A.法一：设 与 的夹角为 ，因为 0，即| | |cos 0，AB BC AB BC AB BC 所以 cos 0， 90，又 为 ABC 内角 B 的补角，所以 B90， ABC 是钝角三角形；当 ABC 为钝角三角形时， B 不一定是钝角所以“ 0”是“ ABC 是AB BC 钝角三角形”的充分不必要条件，故选 A.法二：由 0，得 0，即 cos B0，所以 B90， ABC 是钝角三角AB BC BA BC 形；当 ABC 为钝角三角形时， B 不一定是钝角所以“ 0”是“ ABC 是钝角AB BC 三角形”的充分不必要条件，故选 A.8(2018辽宁五校联合体模
24、拟)已知集合 P x|x22 x80， Q x|x a，P QR，则 a 的取值范围是( )A(2，) B(4，)C(，2 D(，4解析：选 C.集合 P x|x22 x80 x|x2 或 x4， Q x|x a，若P QR，则 a2，即 a 的取值范围是(，2，故选 C.9下列说法正确的是( )A命题“若 x21，则 x1”的否命题为“若 x21，则 x1”B “x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C命题“ x R，使得 x2 x10”的否定是“ xR，均有 x2 x10”D命题“若 x y，则 sin xsin y”的逆否命题为真命题解析：选 D.A 中，命题“若 x21，则 x1
25、”的否命题为“若 x21，则 x1” ，故 A不正确；B 中，由 x25 x60，解得 x1 或 x6，所以“ x1”是“x25 x60”的充分不必要条件，故 B 不正确；C 中， “xR，使得 x2 x10”的否定是“ xR，均有 x2 x10” ，故 C 不正确；D 中，命题 “若 x y，则 sin xsin y”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选 D.10(2018惠州第一次调研)设命题 p：若定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，则xR， f( x) f(x)命题 q： f(x) x|x|在(，0) 上是减函数，在(0，)上是增函数则下列判断错误的是( )A p 为
26、假命题 B q 为真命题C p q 为真命题 D p q 为假命题解析：选 C.函数 f(x)不是偶函数，仍然可 x，使得 f( x) f(x)， p 为假命题； f(x) x|x| 在 R 上是增函数， q 为假命题所以 p q 为假命题，故选 C.x2(x 0)， x2(x 0)11(2018辽宁五校协作体联考)已知命题“ xR，4 x2( a2) x 0”是假命题，14则实数 a 的取值范围为( )A(，0) B0，4C4，) D(0，4)解析：选 D.因为命题“ xR，4 x2( a2) x 0”是假命题，所以其否定14“xR，4 x2( a2) x 0”是真命题，则 ( a 2)24
27、4 a24 a0，解得14 140 a4，故选 D.12(2018成都模拟)下列判断正确的是( )A若事件 A 与事件 B 互斥，则事件 A 与事件 B 对立B函数 y (xR)的最小值为 2x2 91x2 9C若直线( m1) x my20 与直线 mx2 y50 互相垂直，则 m1D “p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的充分不必要条件解析：选 D.对于 A 选项，若事件 A 与事件 B 互斥，则事件 A 与事件 B 不一定对立，反之，若事件 A 与事件 B 对立，则事件 A 与事件 B 一定互斥，所以 A 选项错误；对于 B 选项，y 2，当且仅当 ，即 x291 时等号成立，但
28、x2 91x2 9 x2 9 1x2 9x291 无实数解，所以等号不成立，于是函数 y (xR)的最小值不是x2 91x2 92，所以 B 选项错误；对于 C 选项，由两直线垂直，得( m1) m m(2)0，解得 m0或 m1，所以 C 选项错误；对于 D 选项，若 p q 为真命题，则 p， q 都是真命题，于是p q 为真命题，反之，若 p q 为真命题，则 p， q 中至少有一个为真命题，此时 p q 不一定为真命题，所以“ p q 为真命题”是“ p q 为真命题”的充分不必要条件，所以 D 选项正确综上选 D.二、填空题13已知 2i，则 (z 的共轭复数)为_z1 i z 解析
29、：法一：由 2i 得 z(1i)(2i)3i，所以 3i.z1 i z 法二：由 2i 得 ，所以 2i， (1i)(2i)3i.z1 i 2 i z 答案：3i14(一题多解)设 P， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P*Q z|z ab， a P， b Q，若 P1，2， Q1，0，1，则集合 P*Q 中元素的个数为_解析：法一(列举法)：当 b0 时，无论 a 取何值， z ab1；当 a1 时，无论 b 取何值， ab1；当 a2， b1 时， z2 1 ；当 a2， b1 时， z2 12.故 P*Q12，该集合中共有 3 个元素1，12， 2法二(列表法)：因为 a P， b Q
30、，所以 a 的取值只能为 1，2； b 的取值只能为1，0，1. z ab的不同运算结果如下表所示：ba1 0 11 1 1 12 12 1 2由上表可知 P*Q ，显然该集合中共有 3 个元素1，12， 2答案：315下列命题中，是真命题的有_(填序号) x ， xsin x；(0， 2)在 ABC 中，若 A B，则 sin Asin B；函数 f(x)tan x 的图象的一个对称中心是 ；( 2， 0) x0 R，sin x0cos x0 .22解析：中，设 g(x)sin x x，则 g( x)cos x10，所以函数 g(x)在上单调递减，所以 g(x) g(0)0，即 xsin x
31、 成立，故正确；中，在 ABC(0， 2)中，若 A B，则 a b，由正弦定理，有 sin Asin B 成立，故正确；中，函数 f(x)tan x 的图象的对称中心为 (kZ)，所以 是函数 f(x)的图象的一个对称(k2， 0) ( 2， 0)中心，故正确；中，因为 sin xcos x sin 2x ，所以错误12 12 22答案：16已知命题 p： x0，1 ， a2 x；命题 q： xR，使得 x24 x a0.若命题“p q”是真命题， “ p q”是假命题，则实数 a 的取值范围为_解析：命题 p 为真，则 a2 x(x0，1)恒成立，因为 y2 x在0，1上单调递增，所以 2x2 12，故 a2，即命题 p 为真时，实数 a 的取值集合为 P a|a2若命题 q 为真，则方程 x24 x a0 有解，所以 4 241 a0，解得 a4.故命题 q 为真时，实数 a 的取值集合为 Q a|a4若命题“ p q”是真命题，那么命题 p， q 至少有一个是真命题；由“ p q”是假命题，可得 p 与 q 至少有一个是假命题若 p 为真命题，则 p 为假命题， q 可真可假，此时实数 a 的取值范围为2，)；若 p 为假命题，则 q 必为真命题，此时， “ p q”为真命题，不合题意综上，实数 a 的取值范围为2，)答案：2，)
