1、第 1 讲 直线与圆年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷圆的方程、直线与圆的位置关系T 19(2)2018卷 直线与圆的位置关系T 6卷圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质T 15卷圆的弦长问题、双曲线的几何性质T 9直线与圆的位置关系、点到直线的距离、椭圆的离心率T 102017卷直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系T 20卷圆的方程、点到直线的距离应用T 42016卷 直线与圆的位置关系T 161.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查2直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位
2、置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.直线的方程(基础型)两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1， l2的斜率 k1， k2存在，则l1 l2k1 k2， l1 l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2 个距离公式(1)两平行直线 l1： Ax By C10， l2： Ax By C20 间的距离 d .|C1 C2|A2 B2(2)点( x0， y0)到直线 l： Ax By C0 的距离公式 d .|Ax0 By0 C|A2 B2考法全练1若平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)
3、共线，则 a( )A1 或 0 B. 或 022 52C. D. 或 0252 2 52解析：选 A.因为平面内三点 A(1， a)， B(2， a2)， C(3， a3)共线，所以 kAB kAC，即 ，即 a(a22 a1)0，解得 a0 或 a1 .故选 A.a2 a2 1 a3 a3 1 22若直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70 平行，则 m 的值为( )A7 B0 或 7C0 D4解析：选 B.因为直线 mx2 y m0 与直线 3mx( m1) y70 平行，所以 m(m1)3 m2，所以 m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B.3两条平行线 l1， l2分
4、别过点 P(1，2)， Q(2，3)，它们分别绕 P， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间距离的取值范围是( )A(5，) B(0，5C( ，) D(0， 34 34解析：选 D.当直线 PQ 与平行线 l1， l2垂直时，| PQ|为平行线 l1， l2间的距离的最大值，为 ，所以 l1， l2之间距离的取值范围是（ 1 2） 2 2 （ 3） 2 34(0， 故选 D.344已知点 A(1，2)， B(2，11)，若直线 y x1( m0)与线段 AB 相交，则实数(m6m)m 的取值范围是( )A2，0)3，) B(，1(0，6C2，13，6 D2，0)(0，6解析：选 C.
5、由题意得，两点 A(1，2)， B(2，11)分布在直线 y x1( m0)的两(m6m)侧(或其中一点在直线上)，所以 0，解得2 m1 或(m6m 2 1)2(m 6m) 11 13 m6，故选 C.5(一题多解)已知直线 l： x y10， l1：2 x y20.若直线 l2与 l1关于直线l 对称，则直线 l2的方程是_解析：法一： l1与 l2关于 l 对称，则 l1上任意一点关于 l 的对称点都在 l2上，故 l与 l1的交点(1，0)在 l2上又易知(0，2)为 l1上的一点，设其关于 l 的对称点为( x， y)，则，解得x2 y 22 1 0，y 2x 1 1) x 1，y
6、1.)即(1，0)，(1，1)为 l2上两点，故可得 l2的方程为 x2 y10.法二：设 l2上任一点为( x， y)，其关于 l 的对称点为( x1， y1)，则由对称性可知x x12 y y12 1 0，y y1x x11 1， )解得 x1 y 1，y1 x 1.)因为( x1， y1)在 l1上，所以 2(y1)( x1)20，即 l2的方程为 x2 y10.答案： x2 y10圆的方程(综合型)圆的 3 种方程(1)圆的标准方程：( x a)2( y b)2 r2.(2)圆的一般方程： x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)(3)圆的直径式方程：( x x1)(x x
7、2)( y y1)(y y2)0(圆的直径的两端点是A(x1， y1)， B(x2， y2)典型例题在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 ： y x2 mx2 m(mR)与 x 轴交于不同的两点 A， B，曲线 与 y 轴交于点 C.(1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过 A， B， C 三点的圆过定点【解】 由曲线 ： y x2 mx2 m(mR)，令 y0，得 x2 mx2 m0.设 A(x1，0)， B(x2，0)，则可得 m28 m0， x1 x2 m， x1x22 m.令 x0，得 y2 m，即 C(0，2 m)(1)若存
8、在以 AB 为直径的圆过点 C，则 0，得 x1x24 m20，AC BC 即 2m4 m20，所以 m0 或 m .12由 0 得 m8，所以 m ，12此时 C(0，1)， AB 的中点 M 即圆心，半径 r| CM| ，(14， 0) 174故所求圆的方程为 y2 .(x14)2 1716(2)证明：设过 A， B 两点的圆的方程为 x2 y2 mx Ey2 m0，将点 C(0，2 m)代入可得 E12 m，所以过 A， B， C 三点的圆的方程为 x2 y2 mx(12 m)y2 m0，整理得 x2 y2 y m(x2 y2)0.令 可得 或x2 y2 y 0，x 2y 2 0， )
9、x 0，y 1) x 25，y 45， )故过 A， B， C 三点的圆过定点(0，1)和 .(25， 45)求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程 对点训练1圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x 对称的圆的方程为 ( )A( x2) 2( y1) 21B( x1) 2( y2) 21C( x2) 2( y1) 21D( x1) 2( y2) 21解析：选 A.由题意知圆心的坐标为(1，2)易知(1，2
10、)关于直线 y x 对称的点为(2，1)，所以圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x 对称的圆的方程为( x2) 2( y1)21，故选 A.2已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接3 3圆的圆心到原点的距离为( )A. B.53 213C. D.253 43解析：选 B.设外接圆圆心为 P.因为 ABC 外接圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上，即直线 x1 上，可设圆心 P(1， p)，由 PA PB 得| p| ，解得 p ，1 （ p 3） 2233所以圆心坐标为 P ，所以圆心到原点的距离 |OP| .故选(1，
11、233) 1 (233)2 1 129 213B.3经过原点且与直线 x y20 相切于点(2，0)的圆的标准方程是( )A( x1) 2( y1) 22B( x1) 2( y1) 22C( x1) 2( y1) 24D( x1) 2( y1) 24解析：选 A.设圆心的坐标为( a， b)，则 a2 b2 r2，( a2)2 b2 r2， 1，联立解得 a1， b1， r22.故所求圆的标准方程是ba 2(x1) 2( y1) 22.故选 A.直线与圆、圆与圆的位置关系(综合型)直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离 d 和半径 r 的大小加以比较： d r相交； d r相
12、切； d r相离(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式 来讨论位置关系： 0 相交； 0相切； 0 相离圆与圆的位置关系的判定(1)d r1 r2两圆外离(2)d r1 r2两圆外切(3)|r1 r2| d r1 r2两圆相交(4)d| r1 r2|(r1 r2)两圆内切(5)0 d| r1 r2|(r1 r2)两圆内含典型例题命题角度一 圆的切线问题(2018永州模拟)自圆 C：( x3) 2( y4) 24 外一点 P(x， y)引该圆的一条切线，切点为 Q， PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为( )A8 x6 y210 B8 x
13、6 y210C6 x8 y210 D6 x8 y210【解析】 由题意得，圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r2，如图因为| PQ| PO|，且 PQ CQ，所以| PO|2 r2| PC|2，所以 x2 y24( x3) 2( y4) 2，即 6x8 y210，所以点 P 的轨迹方程为 6x8 y210，故选 D.【答案】 D过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点( x0， y0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率 k(k0)，由垂直关系知切线斜率为 ，由点斜式方程可求切线方程若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程1kx x0.(2)过圆外一点(
14、 x0， y0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为 k，切线方程为 y y0 k(x x0)，即kx y y0 kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程当切线斜率不存在时要加以验证命题角度二 直线与圆相交问题在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 与 y 轴相切，且过点 M(1， )， N(1，3)3(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为2.求证：直线 l 恒过定点，并求出定点的坐标【解】 (1)因为圆 C 过点 M(1， )， N(1， )，3 3所以圆心 C 在线段 MN 的垂直
15、平分线上，即在 x 轴上，故设圆心为 C(a，0)，易知 a0，又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 r a，所以圆 C 的方程为( x a)2 y2 a2.因为点 M(1， )在圆 C 上，3所以(1 a)2( )2 a2，解得 a2.3所以圆 C 的方程为( x2) 2 y24.(2)记直线 OA 的斜率为 k(k0)，则其方程为 y kx.联立，得 消去 y，得( k21) x24 x0，（ x 2） 2 y2 4，y kx， )解得 x10， x2 .4k2 1所以 A .(4k2 1， 4kk2 1)由 kkOB2，得 kOB ，直线 OB 的方程为 y x，2k 2k在点
16、A 的坐标中用 代换 k，得 B .2k (4k2k2 4， 8kk2 4)当直线 l 的斜率不存在时， ，得 k22，此时直线 l 的方程为 x .4k2 1 4k2k2 4 43当直线 l 的斜率存在时， ，即 k22.4k2 1 4k2k2 4则直线 l 的斜率为 4kk2 1 8kk2 44k2 1 4k2k2 4 .4k（ k2 4） 8k（ k2 1）4（ k2 4） 4k2（ k2 1） 3k（ k2 2）4 k4 3k2 k2故直线 l 的方程为 y .4kk2 1 3k2 k2(x 4k2 1)即 y ，所以直线 l 过定点 .3k2 k2(x 43) (43， 0)综上，直
17、线 l 恒过定点，定点坐标为 .(43， 0)直线与圆相交问题的求法(1)弦长的求解方法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 R2 d2 (其中 ll24为弦长， R 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离)根据公式 l |x1 x2|求解(其中 l 为弦长， x1， x2为直线与圆相交所得交点1 k2的横坐标， k 为直线的斜率)求出交点坐标，用两点间距离公式求解(2)定点、定值问题的求解步骤设：设出直线方程，并代入圆的方程整理成关于 x(或 y)的一元二次方程列：用参数表示出需要证明的直线或者几何式子解：判断直线是否过定点或对表示出的代数式进行化简求解 对点训练1(201
18、8黄山模拟)已知圆 O： x2 y21，点 P 为直线 1 上一动点，过点 P 向x4 y2圆 O 引两条切线 PA， PB， A， B 为切点，则直线 AB 经过定点( )A. B.(12， 14) (14， 12)C. D.(34， 0) (0， 34)解析：选 B.因为点 P 是直线 1 上的一动点，所以设 P(42 m， m)因为 PA， PBx4 y2是圆 x2 y21 的两条切线，切点分别为 A， B，所以 OA PA， OB PB，所以点 A， B 在以OP 为直径的圆 C 上，即弦 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦所以圆心 C 的坐标是 ，且(2 m，m2)半径的平方 r2
19、，（ 4 2m） 2 m24所以圆 C 的方程为( x2 m)2 ，(ym2)2 （ 4 2m） 2 m24又 x2 y21，所以得，(2 m4) x my10，即公共弦 AB 所在的直线方程为(2 x y)m(4 x1)0，所以由 得 4x 1 0，2x y 0 )所以直线 AB 过定点 .故选 B.x 14，y 12， ) (14， 12)2已知圆 C 经过点 A(0，2)， B(2，0)，圆 C 的圆心在圆 x2 y22 的内部，且直线3x4 y50 被圆 C 所截得的弦长为 2 .点 P 为圆 C 上异于 A， B 的任意一点，直线 PA3与 x 轴交于点 M，直线 PB 与 y 轴交
20、于点 N.(1)求圆 C 的方程；(2)若直线 y x1 与圆 C 交于 A1， A2两点，求 ；BA1 BA2 (3)求证：| AN|BM|为定值解：(1)易知圆心 C 在线段 AB 的中垂线 y x 上，故可设 C(a， a)，圆 C 的半径为 r.因为直线 3x4 y50 被圆 C 所截得的弦长为 2 ，且 r ，3 a2 （ a 2） 2所以 C(a， a)到直线 3x4 y50 的距离 d ，|7a 5|5 r2 3 2a2 4a 1所以 a0 或 a170.又圆 C 的圆心在圆 x2 y22 的内部，所以 a0，圆 C 的方程为 x2 y24.(2)将 y x1 代入 x2 y24
21、 得 2x22 x30.设 A1(x1， y1)， A2(x2， y2)，则 x1 x21， x1x2 .32所以 ( x12)( x22) y1y2 x1x22( x1 x2)4( x11)( x21)BA1 BA2 2 x1x2( x1 x2)53153.(3)证明：当直线 PA 的斜率不存在时，| AN|BM|8.当直线 PA 与直线 PB 的斜率都存在时，设 P(x0， y0)，直线 PA 的方程为 y x2，令 y0 得 M .y0 2x0 (2x02 y0， 0)直线 PB 的方程为 y (x2)，令 x0 得 N .y0x0 2 (0， 2y02 x0)所以| AN|BM| (2
22、2y02 x0)(2 2x02 y0)44 y0x0 2 x0y0 2 x0y0（ x0 2） （ y0 2） 44444 2y0 2x0 x0y0（ x0 2） （ y0 2）44 8，4 2y0 2x0 x0y04 2y0 2x0 x0y0故| AN|BM|为定值 8.一、选择题1(2018高考全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆( x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2，6 B4，8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2解析：选 A.圆心(2，0)到直线的距离 d 2 ，所以点 P 到直线的距离|2 0 2|2 2d1
23、 ，3 根据直线的方程可知 A， B 两点的坐标分别为 A(2，0)， B(0，2)，所2 2以| AB|2 ，所以 ABP 的面积 S |AB|d1 d1.因为 d1 ，3 ，所以 S2，6，212 2 2 2即 ABP 面积的取值范围是2，62圆 C 与 x 轴相切于 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于 A、 B 两点，且| AB|2，则圆 C 的标准方程为( )A( x1) 2( y )222B( x1) 2( y2) 22C( x1) 2( y )242D( x1) 2( y )242解析：选 A.由题意得，圆 C 的半径为 ，圆心坐标为(1， )，所以圆 C 的标1 1 2 2准方程
24、为( x1) 2( y )2 2，故选 A.23半径为 2 的圆 C 的圆心在第四象限，且与直线 x0 和 x y2 均相切，则该圆2的标准方程为( )A( x1) 2( y2) 24B( x2) 2( y2) 22C( x2) 2( y2) 24D( x2 )2( y2 )242 2解析：选 C.设圆心坐标为(2， a)(a0)，则圆心到直线 x y2 的距离 d22，所以 a2 ，所以该圆的标准方程为( x2) 2( y2) 24，故选 C.|2 a 22|24(2018湖南湘东五校联考)圆( x3) 2( y3) 29 上到直线 3x4 y110 的距离等于 2 的点有( )A1 个 B
25、2 个C3 个 D4 个解析：选 B.圆( x3) 2( y3) 29 的圆心为(3，3)，半径为 3，圆心到直线3x4 y110 的距离 d 2，所以圆上到直线 3x4 y110 的|33 43 11|32 42距离为 2 的点有 2 个故选 B.5在平面直角坐标系内，过定点 P 的直线 l： ax y10 与过定点 Q 的直线m： x ay30 相交于点 M，则| MP|2| MQ|2( )A. B.102 10C5 D10解析：选 D.由题意知 P(0，1)， Q(3，0)，因为过定点 P 的直线 ax y10 与过定点 Q 的直线 x ay30 垂直，所以 MP MQ，所以| MP|2
26、| MQ|2| PQ|29110，故选D.6(2018郑州模拟)已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2，3)， B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A x2 y21B x2 y237C x2 y24D x2 y21 或 x2 y237解析：选 D.如图，易知 AC 所在直线的方程为 x2 y40.点O 到直线 x2 y40 的距离 d 1， OA| 4|5 455 ， OB ， OC（ 2） 2 32 13 （ 2） 2 （ 1） 2 5 ，所以以原点为圆心的圆若与三角形 ABC 有唯62 （ 1） 2 37一的公共点，则公共点为(0，
27、1)或(6，1)，所以圆的半径为 1 或 ，则该圆的方程为37x2 y21 或 x2 y237.故选 D.二、填空题7(2018南宁模拟)过点( ，0)引直线 l 与曲线 y 相交于 A， B 两点， O 为2 1 x2坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于_解析：令 P( ，0)，如图，易知| OA| OB|1，2所以 S AOB |OA|OB|sin AOB12 sin AOB ，12 12当 AOB90时， AOB 的面积取得最大值，此时过点 O 作 OH AB 于点 H，则| OH|，22于是 sin OPH ，易知 OPH 为锐角，所以 OPH30，|OH|OP
28、| 222 12则直线 AB 的倾斜角为 150，故直线 AB 的斜率为 tan 150 .33答案：338已知动直线 l0： ax by c20( a0， c0)恒过点 P(1， m)，且 Q(4，0)到动直线 l0的最大距离为 3，则 的最小值为_12a 2c解析：动直线 l0： ax by c20( a0， c0)恒过点 P(1， m)，所以a bm c20.又 Q(4，0)到动直线 l0的最大距离为 3，所以 3，解得 m0.（ 4 1） 2 （ 0 m） 2所以 a c2.又 a0， c0，所以 (a c) ，当且12a 2c 12 (12a 2c) 12(52 c2a 2ac) 1
29、2(52 2 c2a2ac) 94仅当 c2 a 时取等号43答案：949(2018桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆 C 满足：截 y 轴所得弦长为 2；被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 31；圆心到直线 l： x2 y0 的距离为d.当 d 最小时，圆 C 的面积为_解析：设圆 C 的圆心为 C(a， b)，半径为 r，则点 C 到 x 轴， y 轴的距离分别为|b|，| a|.由题设知圆 C 截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90，知圆 C 截 x 轴所得的弦长为 r，故 r22 b2，又圆 C 截 y 轴所得的弦长为 2，所以 r2 a21，从而得 2b2 a21.2又点
30、C(a， b)到直线 x2 y0 的距离 d ，所以 5d2( a2 b)|a 2b|52 a24 b24 ab a24 b22( a2 b2)2 b2 a21，当且仅当 ，即 a2 b21a b2b2 a2 1)时等号成立，此时 d 取得最小值，此时 r22，圆 C 的面积为 2.答案：2三、解答题10已知点 P(2，2)，圆 C： x2 y28 y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当| OP| OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积解：(1)圆 C 的方程可化为 x2( y4) 216，
31、所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x， y)，则 ( x， y4)， (2 x，2 y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2 x)( y4)(2 y)0，即( x1) 2( y3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 为半径的圆2由于| OP| OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上又 P 在圆 N 上，从而 ON PM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 ，13故 l 的方程为 y x .13 83又| OM| OP|2 ， O 到 l 的
32、距离为 ，| PM| ，所以 POM 的面积为 .24105 4105 16511(2018高考全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1，0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由 得 k2x2 (2k24) x k20.y k（ x 1） ，y2 4x ) 16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)(
33、 x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)， k1.因此 l 的方程为 y x1.4k2 4k2(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则y0 x0 5，（ x0 1） 2 （ y0 x0 1） 22 16， )解得 或x0 3，y0 2) x0 11，y0 6.)因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆M： x2 y212 x14 y600 及其上一点
34、A(2，4)(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数 t 的取值TA TP TQ 范围解：(1)圆 M 的标准方程为( x6) 2( y7) 225，所以圆心 M(6，7)，半径为 5.由圆心 N 在直线 x6 上，可设 N(6， y0)因为圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，所以0y07，于是圆 N 的半径为 y0，从而 7 y05 y0，解得 y0
35、1.因此，圆 N 的标准方程为( x6) 2( y1) 21.(2)因为直线 l OA，所以直线 l 的斜率为 2.4 02 0设直线 l 的方程为 y2 x m，即 2x y m0，则圆心 M 到直线 l 的距离d .|26 7 m|5 |m 5|5因为 BC OA 2 ，而 MC2 d2 ，22 42 5 (BC2)2 所以 25 5，解得 m5 或 m15.（ m 5） 25故直线 l 的方程为 2x y50 或 2x y150.(3)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)因为 A(2，4)， T(t，0)， ，TA TP TQ 所以 ()x2 x1 2 t，y2 y1 4. )因为点 Q 在圆 M 上，所以( x26) 2( y27) 225.()将()代入()，得( x1 t4) 2( y13) 225.于是点 P(x1， y1)既在圆 M 上，又在圆 x( t4) 2( y3) 225 上，从而圆( x6) 2( y7) 225 与圆 x( t4) 2( y3) 225 有公共点，所以 55 55，（ t 4） 62 （ 3 7） 2解得 22 t22 .21 21因此，实数 t 的取值范围是22 ，22 21 21
