1、第 1 讲 空间几何体的三视图、表面积与体积年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析空间几何体的三视图及侧面展开问题T 7卷空间几何体的截面问题T 12卷 圆锥的侧面积T 162018卷三视图的识别T 3 三棱锥的体积及外接球问题T 10卷空间几何体的三视图与直观图、面积的计算T 7卷空间几何体的三视图及组合体体积的计算T 42017卷球的内接圆柱、圆柱的体积的计算T 8卷有关球的三视图及表面积的计算T 6卷空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T 6空间几何体的三视图及组合体表面积的计算T 92016卷直三棱柱的体积最值问题T 101.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的
2、命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)2考查一个小题时，此小题一般会出现在第 48 题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第 1016 题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查.空间几何体的三视图(基础型)一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 由三视图还原到
3、直观图的三个步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状注意 在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线考法全练1(2018高考全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选 A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选 A.2(2018高考全
4、国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B217 5C3 D2解析：选 B.由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2， SN4，则从 M 到 N的路径中，最短路径的长度为 2 .故选 B.MS2 SN2 22 42 53把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成的三棱锥 CABD
5、的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A. B.12 22C. D.24 14解析：选 D.由三棱锥 CABD 的正视图、俯视图得三棱锥 CABD 的侧视图为直角边长是 的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥 CABD 的侧视图22的面积为 ，故选 D.144(2018长春质量监测(二)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为( )A2 B. 5C2 D32解析：选 D.如图，三棱锥 ABCD 即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2， CD1， BD2 ， BC ， AC2， AB3， AD ，则最长2 5 5棱为
6、 AB，长度为 3.5(2018石家庄质量检测(一)如图，网格纸上的小正方形的边长为 1，粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是( )A2 B23 2C2 D. 3解析：选 C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥 DABC 所示，其中正方体的棱长为 2，则 S ABC2， S DBC2 ， S2ADB2 ， S ADC2 ，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是2 32，选 C.空间几何体的表面积和体积(综合型)柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)(2)S 锥侧 ch( c 为底面周长， h为斜高)12(3)S 台侧 (c
7、c) h( c， c 分别为上下底面的周长， h为斜高)12柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体 Sh(S 为底面面积， h 为高)(2)V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)13(3)V 台 (S S) h(S， S分别为上下底面面积， h 为高)(不要求记忆)13 SS典型例题命题角度一 空间几何体的表面积(1)(2018潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A42 B443 2C62 D643 2(2)(2018合肥第一次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A518 B618C86 D10
8、6【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，所以 BC PC，又 AP AC BC2，所以 PC 2 ，又 AB2 ，所以 S PBC S PAB 2222 22 2 212 2 ， S ABC S PAC 222，所以该几何体的表面积为2 21244 .2(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2 41 22 1 223 21386.12 12 12【答案】 (1)B (2)C求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要
9、出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积 命题角度二 空间几何体的体积(1)(2018武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.12 22C. D.33 23(2)(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 互相垂直， SA 与圆锥底面所成角为 30.若 SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_【解析】 (1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几
10、何体，即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱锥 DABC1D1的底面积为 S 四边形 ABC1D12 2 ，高 h ，其体积2 222V S 四边形 ABC1D1h 2 .故选 D.13 13 2 22 23(2)由题意画出图形，如图，设 AC 是底面圆 O 的直径，连接 SO，则 SO 是圆锥的高设圆锥的母线长为 l，则由 SA SB， SAB 的面积为 8，得 l28，得 l4.在 Rt ASO 中，由题意知 SAO30，所12以 SO l2， AO l2 .12 32 3故该圆锥的体积 V AO2SO (2 )228.13 13 3【答案】 (1)D (2)8求空间几何体体积的常用方法(
11、1)公式法：直接根据相关的体积公式计算(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体 对点训练1(2018洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为( )A8 B423 3C8 D4 3 23解析：选 A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为 2 的正方体上、下各挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆锥后剩余的部分，其体积为 232 1 218 .故选 A.13 232(2018唐
12、山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A3 B.113C7 D.233解析：选 B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2，1，2，体积为 4，切去的三棱锥的体积为 ，故该几13何体的体积 V4 .故选 B.13 113多面体与球(综合型)典型例题命题角度一 外接球(2018南宁模拟)三棱锥 PABC 中， ABC 为等边三角形，PA PB PC3， PA PB，三棱锥 PABC 的外接球的体积为( )A. B. 272 2732C27 D273【解析】 因为三棱锥 PABC
13、 中， ABC 为等边三角形，PA PB PC3，所以 PAB PBC PAC.因为 PA PB，所以PA PC， PC PB.以 PA， PB， PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥 PABC 的外接球因为正方体的体对角线长为 3 ，所以其外接球半径 R32 32 32 3.因此三棱锥 PABC 的外接球的体积 V ，故332 43 (332)3 2732选 B.【答案】 B解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置
14、对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置 命题角度二 内切球已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三78棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A. B.76 43C. D.23 2【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的 时，设水面上方的小三棱锥的棱长为78x(各棱长都相等)，依题意， ，得 x2.易得小三棱锥的高为 ，设小球半径为(x4)3 18 263r，则 S 底面 4 S 底面 r，得 r ，故小球的表面积 S4 r2 .故选 C
15、.13 263 13 66 23【答案】 C求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径 命题角度三 与球有关的最值问题(2018高考全国卷)设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B183 3C24 D543 3【解析】 如图， E 是 AC 中点， M 是 ABC 的重心， O 为球心，连接 BE， OM， OD， BO.因为 S ABC AB29 ，所以 AB6， BM BE 2 .易知
16、 OM平面 ABC，34 3 23 23AB2 AE2 3所以在 Rt OBM 中， OM 2，所以当 D， O， M 三点共线且 DM OD OM 时，三棱OB2 BM2锥 DABC 的体积取得最大值，且最大值 Vmax S ABC(4 OM) 9 618 .故选 B.13 13 3 3【答案】 B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题 对点训练1(2018福州模拟)已知圆锥的高为 3，底面半径为 ，若该圆锥的顶点与底面的圆3周都在同一个球面上，则这个球的体积等于(
17、 )A. B. 83 323C16 D32解析：选 B.设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得， R2(3 R)2( )2，解得3R2，所以所求球的体积 V R3 2 3 ，故选 B.43 43 3232(2018洛阳第一次联考)已知球 O 与棱长为 4 的正四面体的各棱均相切，则球 O 的体积为( )A. B. 823 833C. D. 863 1623解析：选 A.将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为 4，所以正方体的棱长为 2 .因为球 O 与正四面体的各棱都相切，所以球 O 为正方体的内切球，2即球 O 的直径为正方体的棱长 2 ，则球 O 的
18、体积 V R3 ，故选 A.243 8233已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于 1616 ，则球 O 的体积等于( )3A. B.423 1623C. D.3223 6423解析：选 D.由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥因为该四棱锥的表面积等于 1616 ，设球 O 的半径为 R，则3AC2 R， SO R，如图，所以该四棱锥的底面边长 AB R，则有(2R)2 4 R 1616 ，解得212 2 （ 2R） 2 (22R)2 3R2 ，所以球 O 的体积是 R3 .故
19、选 D.243 6423一、选择题1(2018长沙模拟)如图是一个正方体， A， B， C 为三个顶点， D是棱的中点，则三棱锥 ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )解析：选 A.正视图和俯视图中棱 AD 和 BD 均看不见，故为虚线，易知选 A.2(2018高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示易知， BC AD， BC1， AD AB PA2，AB AD， PA平面 ABCD，故 PAD，
20、PAB 为直角三角形，因为 PA平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PA BC，又 BC AB，且 PA AB A，所以 BC平面 PAB，又 PB平面 PAB，所以 BC PB，所以 PBC 为直角三角形，容易求得 PC3， CD ， PD2 ，5 2故 PCD 不是直角三角形，故选 C.3(2018沈阳教学质量监测(一)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B.43 83C. D.163 323解析：选 A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为 2，高为 2，则其体积 V 2 22 ，故选 A.12 13 4
21、34(2018西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. B.43 53C2 D423 23解析：选 B.由三视图可知，该几何体为一个半径为 1 的半球与一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱组合而成的组合体，故其体积 V 1 3 1 22 ，故选 B.23 12 535(2018长春质量检测(一)已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O，半径为 R 的球面上， AB6， BC2 ，且四棱锥 OABCD 的体积为 8 ，则 R 等于( )3 3A4 B2 3C. D.479 13解析：选 A.如图，设矩形 ABCD 的中心为 E，连接 OE， EC，由球的性质可得 O
22、E平面 ABCD，所以 VOABCD OES 矩形 ABCD OE6213 13 8 ，所以 OE2，在矩形 ABCD 中可得 EC2 ，则3 3 3R 4，故选 A.OE2 EC2 4 126(2018南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B.23 43C2 D.83解析：选 A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为 2的正方体中，如图中三棱锥 ABCD 所示，故该几何体的体积V 122 .13 12 237(2018辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥
23、的三视图，则此三棱锥的体积是( )A8 B16C24 D48解析：选 A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥PABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为 6，2，4， ABC 是直角三角形， AB BC， AB2， BC6，三棱锥 PABC 的高为 4，故其体积为 6248，故选 A.13 128将一个底面半径为 1，高为 2 的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A. B.27 827C. D. 3 29解析：选 B.如图所示，设圆柱的半径为 r，高为 x，体积为 V，由题意可得 ，所以 x22 r，所以圆柱的体积 V r2(22 r)r1 2 x22( r2 r3)(00，得 02，所以当 h2 时，正(6h22) 32四棱柱的体积最大， Vmax8.答案：2
