1、南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 1 页 共 5 页 专题 14: 不等式与 三角 、 向量 综合 专项研究 目录 类型一 :不等式与三角 . 2 类型二 :不等式与向量 . 3 类型三 :含多个变量的不等式问题 . 4 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 2 页 共 5 页 类型 一 :不等式与三角 一 高考 回顾 1 (16 年 江苏 ) 在锐角三角形 ABC ，若 sinA 2sinBsinC，则 tanAtanBtanC的最小值是 _ 分析与解：由 sinA 2sinBsinC， 可得 sin(B C) 2sinBsinC， 即 sinBcosC
2、cosBsinC 2sinBsinC， 两边同时除以 cosBcosC可得 tanB tanC 2tanBtanC， 考虑消元，根据条件得到了 B， C所满足的关系 ，因此可将 tanAtanBtanC中的 A消去， 因此有 tanAtanBtanC tanBtanCtan(B C) (tanB tanC)tanBtanCtanBtanC 1 ， 再由 tanB tanC 2tanBtanC可得： tanAtanBtanC 2(tanBtanC)2tanBtanC 1， 至此，消去了 A，继续利用 B， C满足的关系 tanB tanC 2tanBtanC，可以消去 B或者 C转化为一元函数，
3、再求解，注意观察，可以将 tanBtanC看作一整体，这样求解 就变得简单了， 设 tanBtanC t(t 1)， 则 tanAtanBtanC 2t2t 1 2(t 11t 1 2) 8 于是 tanAtanBtanC最小值为 8，当然得到关于 t的函数后，也可以利用导数求最小值 如果能注意到在锐角三角形 ABC 中有如下恒等式 tanA tanB tanC tanAtanBtanC， tanAtanBtanC tanA tanB tanC tanA 2tanBtanC， 考虑整体有： tanAtanBtanC tanA 2tanBtanC 2 2tanAtanBtanC， 解得 tanA
4、tanBtanC 8， 可以检验等号能取到，故 tanAtanBtanC的最小值是 8 二 方法联想 三角与 基本不等式 综合求最值 ， 需要注意三角的恒等变换以及变换后能够运用基本不等式的恰当变形 “代入消元”是常见的处理方法，“整体处理”较为灵活，往往能简化解题过程 三 归类 研究 1 若 ABC的 内角满足 sinA 2sinB 2sinC，则 cosC的 最 小 值 是 _ 答案 ： 6 24 2 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 a 2， b2 c2 8，则 cosA的最小值是 _ 答案： 32 3 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a
5、， b， c， ABC 120 ， ABC的平分线交 AC于点 D，且 BD 1，则 4a c的最小值是 _ 答案： 9 4 已知 ， 均为锐角，且 cos( )sinsin，则 tan的最大值是 _ 答案：24 5 在锐角 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 b2 a2 ac，则3tanA4tanB的最小值 _ 答案 ： 2 2 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 3 页 共 5 页 F E D C B A y x F E D C B A 6 在 ABC中， 3sin2B 7sin2C 2sinAsinBsinC 2sin2A，则 sin(A 4
6、)的值是 答案 ： 1010 7 在锐角 ABC中，已知 2sin2A sin2B 2sin2C，则 1tanA 1tanB 1tanC的最小值为 答案： 132 类型二 :不等式与向量 一 高考 回顾 1 (15 年 天津 )在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB CD， AB 2， BC 1， ABC 60 点 E 和点 F 分别在线段 BC和 DC上，且 BE BC ， DF 19DC ，则 AE AF 的最小值为 _ 分析与解： 解决向量问题有两种选择，第一是：选择恰当的基底，进行向量运算第二是：建立恰当的坐标系，进行坐标运算 方法 1： 选择 AB ， AD 作为一组基底，易知 AB
7、2 4， AD 2 1， AB AD 1， AE AB BE AB BC AB ( AB AD 12 AB ) (1 12) AB AD ， AF AD DF AD 19DC 118AB AD ， 于是 AE AF (1 12) AB AD ( 118AB AD ) 118(1 12) AB 2 (1918 12) AB AD AD 2 12 29 1718 2918(当 23时取等号 )， 所以 AE AF 的最小值为 2918 方法 2： 建立如图所示的直角坐标系， 则 A(0， 0)， B(2， 0)， C(32， 32 )， D(12， 32 )， 根据 BE BC ， DF 19DC
8、 ，可以求得 E(2 2， 32 )， F( 19 12， 32 )， 于是 AE AF (2 2)( 19 12) 32 32 12 29 1718 2918 二 方法联想 向量与基本不等式综合求最值 ， 两类问题：一类是建立关于数量积的函数后直接运用基本不等式求最值， 另一类是：将 关于 向量的 已知条件转化为代数恒等式，再利用该恒等式求某一代数式或某数量 积的最值 解决这两类问题的关键是能够熟练的在两个体系下解决向量的相关运算 南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 4 页 共 5 页 N M y x O 三 归类 研究 1 已知 AB AC ， |AB | 1t， |AC
9、 | t，若 P点 ABC所在平面内一点， 且 AP AB| AB | 4AC|AC |， 则 PB PC 的最大值是 _ 答案： 13 2 在 ABC中， D为边 BC的中点，记 |AD | m， |BC | n，若 AB AC 1，则 1m2 1n2的最大值是 _ 答案： 14 3 以 C为钝角的 ABC中 ， BC 3， BABC 12， 当 角 A最大 时， ABC面积为 _ 答案： 3 4 已知 平面 向量 a， b 不共线，且 满足条件 |a| 1， |a 2b| 1，则 |b| |a b|的取值范围是 _ 答案： (1， 2 5 在直角梯形 ABCD中， AB CD， DAB 9
10、0， AB 2CD， M为 CD的中点， N为线段 BC上一点（不包括端点），若 AC AM AN ，则 1 3的最小值为 答案 ： 274 类型三 :含多个变量的 不等式 问题 一 高考 回顾 1 (12 江苏 )已知正数 a， b， c满足： 5c 3a b 4c a， clnb a clnc， 则 ba的取值范围是 分析与解： 由 5c 3a b 4c a， clnb a clnc可得： 5 3ac bc 4 ac， lnbc ac， 设 ac x， bc y，则有 5 3x y 4 x， y ex， 作出该不等式组构成的平面区域 (如图所示 )， 当直线 y kx与 y ex相切于点
11、M时， ba yx最小，容易求得 M(1， e)， 因此 ba的最小值是 e， ,当 y kx过点 N(12， 72)时， ba最大，最大值为 7， 所以 ba的取值范围是 1， e 二 方法联想 含有多个变量的不等式问题，两种处理方法：一 是消元（包括等量替换、不等替换） 二是减元，例南京市 2019 届高三 数学 二轮专题复习资料 第 5 页 共 5 页 如高考回顾中问题用的就是减元的方法，这种减元的方法也是常用的，务必掌握 三 归类 研究 1 已知 x， y为正实数，则 4x4x y yx y的最大值是 _ 答案： 43 提示：减元， 4x4x y yx y 44 yxyx1 yx 44
12、 t t1 t，其中 t yx 2 设 a， b， c是正实数，满足 b c a，则 bc ca b的最小值为 _ 答案： 2 12 提示：消元 (不等替换 )、减元， bcca bbcc(b c) bbcc2b cbc12bc 1 t 12t 1，其中 t bc 3 若不等式 x2 xy a(x2 y2)对任意的正实数 x， y恒成立，则实数 a的最小值是 _ 答案： 2 12 4 已知实数 a、 b、 c满足条件 0 a c 2b 1，且 2a 2b 21 c，则 2a 2b2c 的取值范围是 _ 答案： 14， 5 172 5 已知 a， b， c为正数，且 a 2b 5c，3a4b5c，则a 3bc 的取值范围是 _ 答案 ： 275 ， 7
