1、专题 07 正余弦定理及其应用【自主热身，归纳总结】1、在 ABC中，设 a， b， c分别为角 A， B， C的对边，若 a5， A ，cos B ， c_.4 35【答案】： 7 【解析】：因为 cosB ，所以 B(0， )，从而 sinB ，所以 sinCsin( A B)35 2 45sin AcosBcos AsinB ，又由正弦定理得 ，即 ，解得 c7. 22 35 22 45 7210 asinA csinC 522 c72102、在ABC 中，已知 AB1，AC ，B45，则 BC的长为_2【答案】： 2 62【解析】：在ABC 中，已知 c1，b ，B45，由余弦定理 b
2、2a 2c 22ac cosB，得2a2 a10.因为 a0，所以 a ，即 BC .22 62 2 62已知两条边以及一个角，研究第三边的问题的本质是三边一角，所以应用余弦定理是最直接的解 后 反 思方法，它要比应用正弦定理来得方便、快捷3、 在 ABC中，若 ，则 cosC的值为 【答案】18【解析】由正弦定理得， ，不妨设则由余弦定理得.【课本探源】 （必修 5第 26页第 10题）在三角形ABC中，若则角 等于 4、在锐角 ABC中， 3AB， 4C若 ABC的面积为 3，则 B的长是 【答案】 、 13 【解析】： 因为 4,3bc，由 ，解得 3sin2A，因为是在锐角ABC中，所
3、以 （或求出锐角 ，再求 1cos2） ，在锐角 中，由余弦定理得：，所以 13a，即 13BC.5、在 ABC中，已知 3， o120A，且 BC的面积为 54，则 边长为 【答案】：76、在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 bsinAsinBa cos2B2c，则 的值为ac_【答案】：. 2 【解析】：由正弦定理 得， sinBsinAsinB sinAcos2B2 sinC，即 sinA(sin2B cos2B)2 sinC，即sinA2 sinC，再由正弦定理得， 2.ac sinAsinC7、在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c
4、，若 ，23abc，则 c .【答案】：4【思路分析】本题第一步应将 的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长，所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合23abc解方程组即可.【解析】：解法一：由 可得： ，即，所以有 ，即由正、余弦定理可得： ，即，又23abc所以 24c，即 .解法二：也可在 ， 用余弦定理可得 ，解得，下同解法一.8、 在 ABC中，角 A， B， C所对边的长分别为 a， b， c.已知 a c2 b，sin B sinC，则2 2cosA_.【答案】 24【解析】：由 sinB sinC得 b c.又因为 a c2 b，所以 a c，因此
5、cosA 2 2 2 2b2 c2 a22bc2c2 c2 2c222c2 249、设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，则 cosA_tanAtanB 3c bb【答案】 、 1310、设 ABC的内角 ， ， C的对边分别是 abc， ， ，且满足，则 tanAB 【答案】;. 4 解法 1（正弦定理） 根据正弦定理可得，即 ，又因为所以又因为 ，所以所以 ，则 .4tanBA解法 2（射影定理） 因为 及 可得 ，注意到 ，两式相除可得 4cosAbBa，再由正弦定理可得.4tanBA解后反思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余弦
6、定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法 2则利用了三角形中的射影定理（教材必修 5p17练习 5）结合条件整体处理.11、在 ABC中， BC= 2， AC=1，以 AB为边作等腰直角三角形 ABD（ B为直角顶点， C、 D两点在直线 AB的两侧） 当 C变化时，线段 CD长的最大值为 【答案】3思路分析 要求 D的长，只需将 C表示为 AB的函数形式，然后应用三角函数知识来求它的最大值则可，因此在 B中应用余弦定理可得，再在 ABC中分别应用正弦定理、余弦定理得及，故，由此可得结果【解析】：在 ABC中，由正弦定理 得，由余弦定理得在 D中，由余弦定理得，故9，即 max3CD
7、【问题探究，变式训练】例 1、.如图，在 ABC中， D是 BC上的一点已知 B60， AD2， AC ， DC ，则10 2AB_.【答案】 263【解析】：在 ACD中，因为 AD2， AC ， DC ，所以 cos ADC ，从而10 22 4 10222 22 ADC135，所以 ADB45.在 ADB中， ，所以 AB ABsin45 2sin6022232 263【变式 1】 、如图，在 ABC中， AB3， AC2， BC4，点 D在边 BC上， BAD45，则 tan CAD的值为_【答案】 8 157【解析】： 从构造角的角度观察分析，可以从差的角度( CAD A45)，也可
8、以从和的角度( A CAD45)，所以只需从余弦定理入手求出 A的正切值，问题就迎刃而解了解法 1 在 ABC中， AB3， AC2， BC4，由余弦定理可得 cosA ，所以 tanA32 22 42232 14，于是 tan CADtan( A45) .15tanA tan451 tanAtan458 157解法 2 由解法 1得 tanA .由 tan(45 CAD) 得 ，即15 15tan45 tan CAD1 tan45tan CAD 15 ，解得 tan CAD .1 tan CAD1 tan CAD 15 8 157【变式 2】 、如图，在 BC 中，已知点 D在边 AB上，
9、3D， 4cos5A， 13（1）求 cos的值；（2）求 CD的长 ABCD(第 15 题)【解析】：（1）在 ABC 中， 4cos5， (0,)A，所以 同理可得， 所以【变式 3】 、如图，在梯形 ABCD中，已知 AD BC， AD1， BD2 ， CAD ，tan ADC2.104(1) 求 CD的长；(2) 求 BCD的面积【解析】： (1)因为 tan ADC2，且 ADC(0，)，所以 sin ADC ，cos ADC .255 55所以 sin ACDsin ( ADC4)sin ( ADC4)sin ADCcos cos ADCsin4 4 ，(6 分)1010在 ADC
10、中，由正弦定理得 CD ADsin DACsin ACD 5(2) 因为 AD BC, 所以 cos BCDcos ADC ，sin BCDsin ADC55 255在 BDC中，由余弦定理得 BD2 BC2 CD22 BCCDcos BCD，得 BC22 BC350，解得 BC7, (12 分)所以 S BCD BCCDsin BCD 7 7.12 12 5 255【变式 4】 、如图，在四边形 ABCD中，已知 AB13，AC10，AD5，CD ， 50.65 AB AC (1) 求 cosBAC 的值；(2) 求 sinCAD 的值；(3) 求BAD 的面积【解析】： (1) 因为 co
11、s BAC，AB AC |AB |AC |所以 cos BAC .AB AC |AB |AC | 501310 513(2) 在 ADC中， AC10， AD5， CD .65由余弦定理，得 cos CAD .AC2 AD2 CD22ACAD 102 52 65 22105 35因为 CAD(0，)，所以 sin CAD .1 cos2 CAD1 (35)2 45(3) 由(1)知，cos BAC .513因为 BAC(0，)，所以 sin BAC .1 cos2 BAC1 (513)2 1213从而 sin BADsin( BAC CAD)sin BACcos CADcos BACsin C
12、AD .1213 35 513 45 5665所以 S BAD ABADsin BAD 13512 12 566528.【关联 1】 、 ABC 中，点 D在边 BC上，且 2BD， A: : C 3:k:1，则实数 k的取值范围为 【答案】：( ， )53 73【解析】：解法一：因为 DC2 BD，所以有 2CB，即，所以有，又 AB AD AC3 k1，可设，所以 ，即,所以 57,3k.【关联 2】 、 在 ABC中，已知 AC3， A45，点 D满足 2 ，且 AD ，则 BC的长为CD DB 13_ 【答案】3 【解析】： 由 2 可得点 D为线段 CB上靠近点 B的一个三等分点，作
13、 CE AB， DF AB，在思 路 分 析 CD DB Rt ACE中先求出 AE CE ，再在 Rt BCE中根据 求出 DF ，进而求出322 DFCE 13 22AF ， EF ， FB ，然后根据勾股定理或余弦定理求 BC的长度即可522 2 22如图，过点 C作 CE AB， DF AB，垂足分别为 E， F.在 Rt ACE中，因为 AC3， A45，所以AE CE .因为 2 ，所以 ，从而 DF CE .在 Rt ADF中， AD ，所以 AF322 CD DB DFCE BDBC 13 13 22 13 ， EF AF AE .因为 2 ，所以 ，从而 BF EFAD2 D
14、F213 12 522 522 322 2 CD DB BFEF BDCD 12 12， BE BF EF .22 322解法 1 在 Rt BCE中， BC 3.BE2 CE2 (322)2 (322)2解法 2 所以 AB 3 ，所以在 ABC中，由余弦定理得 BC2 AC2 AB22 ACABcos BAC，所322 322 2以 BC2918233 9，所以 BC3.222【关联 3】 、. 在 ABC中， D为边 AC上一点， AB AC6， AD4，若 ABC的外心恰在线段 BD上，则BC_.【答案】3 6【解析】： 本题要求 BC的长，关键是要求出 BAC，找出线段的比例关系，建
15、立方程，从而求思 路 分 析出 BC的长解法 2 如图 2，设 BAC2 ，外接圆的半径为 R，由 S ABO S ADO S ABD，得 6Rsin 4Rsin 64sin2 ，化简得 24cos 5 R.在 Rt AFO中， Rcos 3，联立解得12 12 12R ，cos ，所以 sin ，所以 BC2 BE2 ABsin 12 3 .6510 58 38 38 6图 1图 2图 3解法 3 如图 3，延长 AO交 BC于点 E，过点 D作 BC的垂线，垂足为 F，则 ， .又BOOD ABAD 32 OEDF BOBD 35DF AE，则 ，所以 .设 OE x，则 AE5 x，所以
16、 OB OA4 x，所以 BE x.又因为DFAE CDCA 13 OEAE 15 1525x215 x236，所以 x3 ，所以 BC2 BE3 .110 6例 2、 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a23 b23 c22 bcsinA，则 C_.3【答案】. 6【解析】：因为 a23 b23 c22 bcsinA b2 c22 bccosA，所以 sinAcos A2sin .3b2 c2bc 3 (A 6)又 2 2(当且仅当 b c时取等号)，2sin 2 当且仅当 A 时取等号，故b2 c2bc bc cb bccb (A 6) 232sin 2，所
17、以 b c， A ，故 C .b2 c2bc (A 6) 23 6解后反思 本题中对所得条件“ sinAcos A”出现无法转化的现象这里需要借助三角函数有b2 c2bc 3界性以及基本不等式得到两个方程求出 b， c， A.【变式 1】 、 在 ABC中，已知 AB ， C ，则 的最大值为_33 CA CB 【答案】：. 32【解析】：因为 AB ， C ，设角 A， B， C所对的边为 a， b， c，所以由余弦定理得333 a2 b22 abcos a2 b2 ab ab，当且仅当 a b 时等号成立，又 abcosC ab，所以3 3 CA CB 12当 a b 时，( )max .
18、3 CA CB 32【变式 2】 、 在 ABC中， A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 a2 b22 c28，则 ABC面积的最大值为_【答案】： 255【解析】：思路分析 1 注意到 a2 b22 c28 中 a， b是对称的，因此，将三角形的面积表示为S absinC，利用余弦定理将 ab表示为 C的形式，进而转化为三角函数来求它的最值12思路分析 2 将 c看作定值，这样，满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点 C所满足的条件，为此，建立直角坐标系，从而根据条件 a2 b22 c28 得到点 C的轨迹方程，进而来求出边 AB上的高的所满足的条件解法 1 因为 cosC
19、，所以 ab ，从a2 b2 c22ab a2 b2 8 a2 b222ab 3 a2 b2 84ab 3ab 42ab 43 2cosC而 S absinC .设 t ，则 3t2sin C2 tcosC2 sin(C )，其中12 2sinC3 2cosC 2sinC3 2cosC t2 1tan t，故 3t2 ，解得 t ，所以 Smax ，当且仅当 a b 且 tanC 时，等号成t2 1255 255 2155 52立解法 2 以 AB 所在的直线为 x轴，它的垂直平分线为 y轴，建立如图所示的直角坐标系，则 A ， B(c2， 0)， C(x， y)，则由 a2 b22 c28
20、得 2 y2 2 y22 c28，即 x2 y24 ，即点 C(c2， 0) (x c2) (x c2) 5c24在圆 x2 y24 上，所以 S r ，当且仅当 c2 时取等号，5c24 c2 c24 54c2 12 54(c2 85)2 165 255 85故 Smax .255解法 3 设 AD m， BD n， CD h，由 a2 b22 c28，得 m2 h2 n2 h22( m n)28 (m n)1222 h22( m n)2 (m n)22 h22 (m n)h，当且仅当 h m n时取等号，所以 S (m n)52 5 5 5 12h ，所以面积的最大值为 .12 825 2
21、55 255解法 4 由余弦定理 a2 b2 c22 abcosC，结合 a2 b22 c28，得 83 c22 abcosC，由三角形面积公式得 4S2 absinC，两式平方相加得，(83 c2)216 S24 a2b2( a2 b2)2(82 c2)2，即 16S2 c2(165 c2) ，所以 S2 ，所以 S ，当且仅当 a b， c2 时取等号，所以面积的最大值为 .645 45 255 85 255解后反思 解法 1是从将面积表示为角 C的形式来加以思考的，而解法 2则是将面积表示为边 c的形式来加以思考的这两种解法都基于一点，即等式 a2 b22 c28 中的 a， b是对称关
22、系解法 2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与【解析】几何之间的千丝万镂的关系解法 1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法 2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高【关联】 、如图，某生态园将三角形地块 ABC的一角 APQ开辟为水果园种植 桃树，已知角 A为 120，AB， AC的长度均大于 200 m，现在边界 AP， AQ处建围墙，在 PQ处围竹篱笆(1) 若围墙 AP， AQ的总长度为 200 m，如何围可使得三角形地块 APQ的面积最大？(2) 已知 AP段围墙高 1 m， AQ段围
23、墙高 1.5 m，造价均为每平方米 100元若围围墙用了 20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【解析】：(1) 设 AP x m， AQ y m，则 x y200， x0， y0. APQ的面积 S xysin120 xy.12 34因为 xy 210 000，当且仅当 x y100 时取等号(x y2 )所以当 AP AQ100 m 时，可使三角形地块 APQ的面积最大(2) 由题意得 100(1x1.5 y)20 000，即 x1.5 y200在 APQ中， PQ2 x2 y22 xycos120 x2 y2 xy.即 PQ2(2001.5 y)2 y2(2001.5 y)y y2
24、400 y40 000，其中 00.(5分)所以 cosC ，(6 分)12所以 C .(7分)23(2) 因为ABC 的面积为 2 ，所以 absinC2 ，所以 ab .(8分)312 3 43sinC由(1)知 C ，所以 sinC ，所以 ab8.(9 分)23 32又因为 b2a，解得 a2，b4，所以 c2a 2b 22ab cosC2 24 2224 28，(13 分)(12)所以 c2 .(14分)7对于三角函数问题，在解题中要注意解题的规范性、严谨性，否则，就会因为解题不规范而导易 错 警 示致失分一般地，要注意以下几个方面：一是在应用三角公式时，要注意展示公式的过程；二是在
25、等式两边同除以一个代数式时，要注意判断它是否为 0；三是在研究角的关系时，要注意角的范围【变式 1】 、在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cosA ， tan(BA) .35 13(1) 求 tanB的值；(2) 若 c13，求ABC 的面积【解析】：(1) 在ABC 中，由 cosA ，得 A为锐角，所以 sinA ，35 1 cos2A 45所以 tanA ，sinAcosA 43所以 tanB tan(BA)Atan（ B A） tanA1 tan（ B A） tanA 3.13 431 1343(2) 在ABC 中，由 tanB3，得 sinB ， cosB
26、 .(8分)31010 1010所以 sinC sin(AB) sinAcosB cosAsinB .131050由正弦定理 ，得 b 15，bsinB csinC csinBsinC1331010131050所以ABC 的面积 S bcsinA 1513 78.12 12 45【变式 2】 、在 ABC中，已知角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 tanB2，tan C3.(1) 求角 A的大小；(2) 若 c3，求 b的长【解 析】： (1) 因为 tanB2，tan C3， A B C，所以 tanAtan( B C)tan( B C) 1.tanB tanC1 tanB
27、tanC 2 31 23又 A(0，)，所以 A .4(2) 因为 tanB 2，且 sin2Bcos 2B1，sinBcosB又 B(0，)，所以 sinB .255同理可得 sinC . 31010由正弦定理，得 b 2 .csinBsinC325531010 2【变式 3】 、在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，( a b c)(a b c) ab.(1) 求角 C的大小；(2) 若 c2 acosB， b2，求 ABC的面积【解析】(1) 在 ABC中，由( a b c)(a b c) ab，得 ，即 cosC 因为 00，所以 c2 .3解后反思 在 AB
28、C中，结论 c acosB bcosA称为“一般三角形射影定理” 其几何意义(也是记忆方法)是：三角形一边的长度等于另两边在这条边上的射影之和【关联 2】 、在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，已知 c2， C . 3(1) 若 ABC的面积等于 ，求 a， b；3(2) 若 sin Csin( B A)2sin 2 A，求 ABC的面积. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知条件得 a2 b2 ab4又因为 ABC的面积等于 ，所以 absinC ，得 ab4.312 3联立方程组Error!解得 a2， b2.【关联 3】 、在斜三角形 ABC中，tan Atan
29、 Btan AtanB1.(1) 求 C的值；(2) 若 A15， AB ，求 ABC的周长2【解析】 (1) 解法 1 因为 tanAtan Btan AtanB1，即 tanAtan B1tan AtanB，因为在斜三角形 ABC中，1tan AtanB0，所以 tan(A B) 1，tanA tanB1 tanAtanB即 tan(180 C)1，即 tanC1，因为 00， A(0，)，所以 A ，sin A .(10分)45 (0， 2) 35因为 sinAsinB，所以 ab，从而 AB， B为锐角，cos B .(12分)223所以 cosCcos( A B)cos AcosBs
30、in AsinB .(14分)45 223 35 13 3 8215【关联 1】 、已知 ABC的面积为 S，且| |2 2 S.BC CA CB (1) 求 B的大小；(2) 若 S ，且| |1，试求 ABC最长边的长度12 BC BA 设角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c.因为| |2 2 S，所以 a2 bacosC absinC，(2 分)BC CA CB 所以 a bcosC bsinC.由正弦定理得 sinAsin BcosCsin BsinC.(4分)在 ABC中，sin Asin( B C)，sin C0， B(0，)，(6 分)所以 sinBcosCcos B
31、sinCsin BcosCsin bsinC，所以 cosBsinCsin BsinC，所以 cosBsin B，tan B1，(8 分)所以 B .(9分)4(2) 因为 b1， B ， S ，4 12所以 acsinB.(10分)12 12由余弦定理得 1 a2 c22 ac .(11分)22解得 a1， c 或 a ， c1.(13 分)2 2所以最长边的长度为 .(14 分)2【关联 2】 、在 ABC中，已知 9， 16.求：AB AC AB BC (1) AB的值；(2) 的值 sin A BsinC【解析】(1) 解法 1 因为 9， 16，所以 91625，即 ( )AB AC
32、 AB BC AB AC AB BC AB AC CB 25，亦即 225，故 AB5.解法 2 设 A， B， C的对边依次为 a， b， c.AB 则由条件得 bccosA9， accosB16.两式相加得 c(bcosA acosB)91625，即 c225，故 AB c5. (7 分)解法 3 设 A， B， C的对边依次为 a， b， c.则由条件得 bccosA9， accosB16.由余弦定理得 (b2 c2 a2)9， (c2 a2 b2)16.12 12两式相加得 c225，故 AB c5.(2) .sin A BsinC sinAcosB cosAsinBsinC由正弦定理得 sin A BsinC acosB bcosAc .accosB bccosAc2 16 9c2 725
