1、专题 19 考前模拟卷一.选择题1设集合 M=x|x2x0，N=x| 1，则（ ）AMN= BMN= CM=N DMN=R【答案】C【解析】：M=x|x 2x0=x|x1 或 x0，N=x| 1=x|x1 或 x0，则 M=N，故选：C2. 已知 是虚数单位, ,且,则 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得，即 ，故选 A.3. 在区间0，2上随机取一个数 x，使的概率为（ ）A B C D【答案】A【解析】：0x2，0 ，sin ， ，即 x ，P= = 故选：A4. （2018威海二模）已知命题 p：“a b，|a|b|” ，命题 q：“” ，则下列为真命题的是（ ）Ap
2、q Bpq Cpq Dpq【 答案】C【解析】：命题 p：“a b，|a|b|”是假命题，命题 q：“”是真命题，pq 是真命题故选：C5. 如图 1 为某省 2018 年 14 月快递业务量统计图，图 2 是该省 2018 年 14 月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A. 2018 年 14 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件B. 2018 年 14 月的业务量同比增长率均超过 50，在 3 月最高C. 从两图来看，2018 年 14 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从 14 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长
3、率逐月增长【答案】D6.（2019泉州期中）已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则“S n的最大值是 S8”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条 件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则“S n的最大值是 S8”a80，a 90则“”S n的最大值是 S8”是“”的充要条件故选：C7.已知点 P（2，1）是抛物线 C：x 2=my 上一点，A，B 是抛物线 C 上异于 P 的两点，A，B 在 x 轴上的射影分别为 A1，B 1，若直线 PA 与直线 PB 的斜率之差为 1，D 是圆（x1） 2+（y+4） 2=1 上一
4、动点，则A 1B1D的面积的最大值为（ ） （2）若 b， a，c 成等差数列，ABC 的面积为 2 ，求 a【解析】：（1）asinB=bsin（A+ ） 由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+ ） sinB0，sinA=sin（A+ ） A（0，） ，可得：A+A+ =，A= 6 分（2）b， a，c 成等差数列，b+c= ，ABC 的面积为 2 ，可得：S ABC = bcsinA=2 ，=2 ，解得 bc=8，由余弦定理可得：a 2=b2+c22bccosA=（b+c） 22bc2bccos =（b+c） 23bc=（ a） 224，解得：a=2 12 分18. 如图所
5、示，在四棱锥 SABCD 中，SA平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，其中ABCD，ADC90，ADAS2，AB1，CD3，点 E 在棱 CS 上，且 CECS（1）若 ，证明：BECD；（2）若 ，求点 E 到平面 SBD 的距离【解析】 （1）因为 ，所以 ，在线段 CD 上取一点 F 使 ，连接 EF，BF，则 EFSD 且DF1因为 AB1，ABCD，ADC90，所以四边形 ABFD 为矩形，所以 CDBF又 SA平面 ABCD，ADC90，所以 SACD，ADCD因为 ADSAA，所以 CD平面 SAD，所以 CDSD，从而 CDEF因为 BFEFF，所以 CD平面 BEF又
6、 BE 平面 BEF，所以 CDBE5 分（2）解：由题设得，又因为，所以，设点 C 到平面 SBD 的距离为 h，则由 VSBCDV CSBD得 ，因为 ，所以点 E 到平面 SBD 的距离为 12 分19. .2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了 40 人，将他们的年龄分成 7 段：10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50） ，50，60） ，60，70） ，70，80后得到如图所示的频率分布直方图（1）试求这 40 人年龄的平均数、中位数的估计值；（2） （）若从样本中年龄在5
7、0，70）的居民中任取 2 人赠送健身卡，求这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁的概率；（）已知该小区年龄在10，80内的总人数为 2000，若 18 岁以上（含 18 岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数【解析】（1）平均数前三组的频率之和为 0.150.20.30.65，故中位数落在第 3 组，设中位数为 x，则（x30）0.030.150.20.5，解得 x35，即中位数为 355 分（2） （）样本中，年龄在50，70）的人共有 400.156 人，其中年龄在50，60）的有 4 人，设为a，b，c，d，年龄在60，70）的有 2 人，设为 x，y则从中
8、任选 2 人共有如下 15 个基本事件：（a，b） ， （a，c） ， （a，d） ， （a，x） ， （a，y） ， （b，c） ， （b，d） ，（b，x） ， （b，y） ， （c，d） ， （c，x） ， （c，y） ， （d，x） ， （d，y） ， （x，y） 至少有 1 人年龄不低于 60 岁的共有如下 9 个基本事件：（a，x） ， （a，y） ， （b，x） ， （b，y） ， （c，x） ， （c，y） ， （d，x） ， （d，y） ， （x，y） 记“这 2 人中至少有 1 人年龄不低于 60 岁”为事件 A，故所求概率 9 分（）样本中年龄在 18 岁以上的居民所占频
9、率为 1（1810）0.015 0.88，故可以估计，该小区年龄不超过 80 岁的成年人人数约为 20000.88176012 分20. 已知椭圆 E： （ab0）过点 P（ ） ，其上顶点 B（0，b）与左右焦点 F1，F 2构成等腰三角形，且F 1BF2=120（）求 椭圆 E 的方程；（）以点 B（0，b）为焦点的抛物线 C：x 2=2py（p0）上的一动点 P（m，y p） ，抛物线 C 在点 P 处的切线 l 与椭圆 E 交于 P1P2两点，线段 P1P2的中点为 D，直线 OD（O 为坐标原点）与过点 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M，问：当 0mb 时，POM 面积是否存在最
10、大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由【解析】：（）由已知得：a=2b， + =1，解得 b2=1，a 2=4故椭圆 E 的方程为： +y2=14 分（）抛物线 C 的焦点 B（0，1） ，则其方程为 x2=4yy= x于是抛物线上点 P（m， ） ，则在点 P 处的切线 l 的斜率为 k=y|x=m= ，故切线 l 的方程为：y = （xm） ，即 y= x 6 分由方 程组，消去 y，整理后得（m 2+1）x 2m 3x+ 4=0由已知直线 l 与椭圆交于两点，则=m 64（m 2+1） （ 4）0解得 0m 28+4 ，其中 m=0 是不合题意的 m0，或 0m 设 P1（x 1，y
11、 1） ，P 2（x 2，y 2） ，则 xD= = 8 分 代入 l 的方程得 yD= 故直线 OD 的方程为： x，即 y= x当 x=m 时，y= ，即点 M POM 面积 S= |PM|m= m= + mS= m2+ 0，故 S 关于 m 单调递增0m1，当 m=1 时，POM 面积最大值为 12 分21 已知函数（1）若函数 f（x）在1，）上是单调递减函数，求 a 的取值范围；（2）当2a0 时，证明：对任意 x（0，） ， 【解析】 (1)解：由题意得 .即 在 上恒成立，所以 .3 分(2)证明：由(1)可知，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，因为 ，所以 ，所以，即，即，
12、所以 .12 分22 （10 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直 线 l 的参数方程为， （t 为参数，0） ，曲线 C 的极坐标方程为 sin 22cos=0（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 变化时，求|AB|的最小值【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线 l 的参数方程代入 y2=2x，得 t2sin22tcos1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值23. 设函数 f（x）=|x 1|2x+1|的最大值为 m（）作出函数 f（x）的图象；（）若 a2+2c2+3b2=m，求 ab+2bc 的最大值【解析】：（）函数 f（x）=|x1|2x+1|=，画出图象如图，（）由（）知，当 x= 时，函数 f（x）取得最大值为 m= a 2+2c2+3b2=m= =（a 2+b2）+2（c 2+b2）2ab+4bc，ab+2bc ，当且仅当 a=b=c=1 时，取等号，故 ab+2bc 的最大值为
