1、第二章,习题课 竖直面内的圆周运动,学习目标 1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型. 2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析. 3.学会分析圆周运动问题的一般方法.,内容索引,重点知识探究, 当堂达标检测,重点知识探究,一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型,如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析： (1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力T1.,答案,图1,答案 T1mg,(2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力T2.,答案 T2 mg,(3)小球过最高点的最小速度是多大？,答案,答案 由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下
2、的拉力，由T2mg 可知，当T20时，v2最小，最小速度为v0,(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于 ，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.,答案,此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了. 绳拉球过最高点的条件是：v,(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？,答案,答案 与绳拉球模型相似，在最高点A时，有Nmg，当N0时，v最小为v0 ，当vv0时，小球刚好能够通过最高点，当vv0时，小球能够通过最
3、高点.,轻绳模型(如图2所示)的最高点问题,图2,1.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).,2.在最高点的动力学方程Tmg,例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m0.5 kg，水的重心到转轴的距离l50 cm.(g取10 m/s2) (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率； (小数点后保留两位有效数字),答案,解析,图3,答案 2.24 m/s,解析 以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.,则所求的最小速率为：v0 2.24 m/s.,(2)若
4、在最高点水桶的速率v3 m/s，求水对桶底的压力大小.,答案,解析,答案 4 N,解析 此时桶底对水有一向下的压力，设为N， 则由牛顿第二定律有：Nmg 代入数据可得：N4 N. 由牛顿第三定律，水对桶底的压力：N4 N.,针对训练 (多选)如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是 A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为 D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力,答案,解析,图4,解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重
5、力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A错误； 小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B错误； 小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v ，C正确； 小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D正确.,二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型,长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图5) (1)当小球在最高点B的速度为v1 时，求杆对球的作用力.,答案,图5,答案 设杆对它的作用力向下，则有mgF,当v1 时，F0 当v1 时，F0，表示球受杆的作用力方向向下，
6、表现为拉力. 当v1 时，F 时，N0，即上管壁对球有向下的压力； 当0v 时，N ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v 增大而增大. (2)v ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0. (3)0v ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小. 3.小球能过最高点的条件：v0.,例2 长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g10 m/s2).(1)A的速率为1 m/s；,答案,解析,图7,答案 16 N,解析 以A为研究对象，设其受到
7、杆的拉力为F，,则有mgF,代入数据v11 m/s，可得Fm( g)2( 10) N16 N，即A受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.,(2)A的速率为4 m/s.,答案,解析,答案 44 N,解析 代入数据v24 m/s，可得Fm( g)2( 10) N44 N，即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.,图8,例3 (多选)如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则 A.v的最小值
8、为 B.v若增大，球所需的向心力也增大 C.当v由 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小 D.当v由 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大,答案,解析,解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误； 根据向心力公式有F ，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确； 因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v 时，圆管受力为零，故v由 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误； v由 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确. 故选B、D.,当堂达标检测,1.(竖直面内的轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另
9、一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N,答案,解析,1,2,3,4,图9,解析 水流星在最高点的临界速度v 4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.,1,2,3,4,1,2,3,4,2.(竖直面内的圆环模型)(多选)如图10所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧
10、做圆周运动.圆环半径为R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是 A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 C.小球的线速度大小等于 D.小球的向心加速度大小等于g,答案,解析,图10,解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误； 此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg ma，即v ，ag，选项B、C、D正确.,1,2,3,4,解析 小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的
11、力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.,1,2,3,4,3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 A.小球通过最高点时的最小速度是 B.小球通过最高点时的最小速度为零 C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力,答案,图11,解析,4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g10 m/s2)求： (1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？,1,2,3,4,答案,解析,答案 3 m/s,解析 当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力， 则mg ，解得v03 m/s.,(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.,1,2,3,4,答案,解析,答案 6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下,解析 v1v0，由牛顿第二定律得：mgF1 由牛顿第三定律得：F1F1，解得F16 N，方向竖直向上. v2v0，由牛顿第二定律得：mgF2 由牛顿第三定律得：F2F2，解得：F21.5 N，方向竖直向下.,
