1、第二章 2.2.1 等差数列,第2课时 等差数列的性质,学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 等差数列通项公式的推广,思考1 已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项an?,答案 设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d， 变形得a1am(m1)d， 则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.,答案 等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a
2、1)，(m，am)，(n，an)都是这条直线上的点.,(nm),知识点二 等差数列的性质,思考 还记得高斯怎么计算123100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？,答案 利用1100299，在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和. 即a1ana2an1a3an2.,梳理 在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN)，则am_ap .特别地，若mn2p，则anam2ap.,an,aq,知识点三 由等差数列衍生的新数列,思考 若an是公差为d的等差数列，那么anan2是等差数列吗？若是，公差是多少？,答案 (an1an3)(anan2)(an1an)(an3a
3、n2)dd2d， anan2是公差为2d的等差数列.,梳理 若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有,思考辨析 判断正误 1.若an是等差数列，则|an|也是等差数列.( ) 2.若|an|是等差数列，则an也是等差数列.( ) 3.若an是等差数列，则对任意nN都有2an1anan2.( ) 4.数列an的通项公式为an3n5，则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等.( ),题型探究,类型一 等差数列推广通项公式的应用,例1 数列an的首项为3，bn为等差数列，且bnan1an(nN)，若b32，b1012，则a8等于 A.0 B.3 C.8 D.11,解析 bn为等差数列，设
4、其公差为d，,bnb3(n3)d2n8.b42480. a8(a8a7)(a7a6)(a6a5)(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)a1 b7b6b1a1(b7b1)(b6b2)(b5b3)b4a1 7b4a17033.,答案,解析,反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.,跟踪训练1 在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式.,解答,解 因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2. 又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.,类型二 等差数列性质的应用,例2 已知在等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项
5、公式.,解答,解 方法一 因为a1a72a4，a1a4a73a415， 所以a45. 又因为a2a4a645，所以a2a69， 即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9， 解得d2. 若d2，ana4(n4)d5(n4)22n3； 若d2，ana4(n4)d5(n4)(2)132n. 所以an2n3，nN或an2n13，nN.,方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1a4a715，得 a1a13da16d15， 即a13d5. 由a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得(a1d)5(52d)45， 即(a1d)(52d)9， 解组成的方程组，得
6、a11，d2或a111，d2， 所以an12(n1)2n3，nN 或an112(n1)2n13，nN.,引申探究 1.在本例中，不难验证a1a4a7a2a4a6，则在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN，是否有amanapaqaras?,解 设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d， apa1(p1)d，aqa1(q1)d， ara1(r1)d，asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras.,解答,2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7 .,解析 a3a810
7、， a3a3a8a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即3a5a72(a3a8)20.,答案,解析,20,反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法 (1)灵活运用等差数列an的性质； (2)利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通项方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,跟踪训练2 (1)已知等差数列an中，a2a6a101，求a4a8；,解 方法一 根据等差数列的通项公式，得 a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.,方法二 根据等差数列性质，得a2a10a4a82a6.,解答,(2)设an是公差为正数的
8、等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，求a11a12a13的值.,解 an是公差为正数的等差数列，设公差为d(d0)， a1a32a2， a1a2a3153a2， a25， 又a1a2a380， a1a3(5d)(5d)16， 解得d3或d3(舍去)， a12a210d35，a11a12a133a12105.,解答,类型三 灵活设元求解等差数列问题,例3 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数.,所以四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.,解 设四个数为a3d，ad，ad，a3d，,解答,引申探究 若将本例中条件“第二个数和第三个数之积为40
9、”改为 (1)“首尾两数之积比中间两数之积少2”，则结果如何？,所以所求四个数为8，7，6，5或5，6，7，8.,解 设这四个数为a3d，ad，ad，a3d.,解答,(2)“前两个数的和为7”，结果又如何？,因此a4a26，设公差为d，则2d6， 所以d3，a12. 所以所求四个数为2，5，8，11.,解 设四个数为a1，a2，a3，a4，,解答,反思与感悟 (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为ad，ad，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为ad，a，ad，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a3d，ad，ad，a3d，公差为2d.
10、,跟踪训练3 (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；,这三个数分别为4，3，2.,解 设这三个数分别为ad，a，ad，,解答,(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为8，求四个数.,解 设这四个数分别为a3d，ad，ad，a3d. 则(ad)(ad)2，a1. 又(a3d)(a3d)8， 即19d28，d21. 又这四个数成递增等差数列， d0，即d1. 这四个数分别为2，0，2，4.,解答,达标检测,1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于 A.3 B.6 C.4 D.3,1,2,3,4,答案,解析,解析 由等差数列的性
11、质，得a8a3(83)d5d，,2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于 A.32 B.32 C.35 D.35,1,2,3,4,解析 由a8a4(84)d4d14212，得d3， 所以a15a8(158)d147335.,答案,解析,3.在等差数列an中，已知a4a515，a712，则a2等于,1,2,3,4,解析 由数列的性质，得a4a5a2a7， 所以a215123.,答案,解析,1,2,3,4,4.在等差数列an中，已知a22a8a14120，则2a9a10 .,解析 a22a8a144a8120， a830. 2a9a102(a10d)a10a102da830.,答案,解析,30,规律与方法,1.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 2.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素.有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,
