1、,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.函数的概念与映射 函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.,2.函数表示法 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征. 分段
2、函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.,3.函数性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势. 4.函数最大(小)值 求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间a，b上单调递增，在b，c上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者.,5.函数的零点与方程根的关系及运用 函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以方程f(x)
3、0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点. 推而广之，方程f(x)a的实数根函数yf(x)的图象与直线ya交点的横坐标.方程f(x)g(x)的实数根函数yf(x)和yg(x)图象交点的横坐标.,题型一 函数的概念与性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.,(1)求实数m和n的值； 解 f(x)是奇函数， f(x)f(x)，,比较得nn，n0.,因此，实数m和n的值分别是2和0. (2)求函数f(x)在区间2，1上的
4、最值；,任取x1，x22，1，且x1x2，,2x1x21时， x1x20，x1x20，x1x210， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). 函数f(x)在2，1上为增函数，,A.(，1) B.(，0)(0,1 C.(，0)(0,1) D.1，),即x1且x0.,B,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x).若当0x1时，f(x) x(1x)，则当1x0时，f(x)_. 解析 由于当0x1时解析式已知，且已知f(x1)2f(x)， 可设1x0，则0x11，整体代入求解. 所以f(x1)(x1)1(x1)x(x1). 又因为f(x1)2f(x)，,题型二 函数图象及其应用
5、 函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.,例2 对于函数f(x)x22|x|. (1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； 解 函数的定义域为R，关于原点对称， f(x)(x)22|x|x22|x|. 则f(x)f(x)，f(x)是偶函数. 图象关于y轴对称. (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.,画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是1. 单调增区间是(1,0，1，)； 减区间是(，
6、1，(0,1).,如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8).,从图象观察可得函数f(x)的表达式：,f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2. 答案 2,题型三 二次函数的有关问题 二次函数是函数中的基础内容，它虽简单却具有丰富的内含和外延，可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题，是重要的函数模型. 例3 已知g(x)x23，f(x)是二次函数，当x1,2时，f(x)的最小值是1，且g(x)f(x)是奇函数，求f(x)的表达式. 解 设f(x)ax2bxc(a0)， 则g(x)f(x)(a1)x2b
7、xc3为奇函数， 故有(a1)x2bxc3(a1)x2bxc3， (a1)x2bxc3(a1)x2bx(c3).,f(x)在区间1,2上的最小值为1， 需分下列3种情况讨论：,f(2)72b1，b3，舍去.,f(1)4b1，b3. f(x)x23x3.,(1)写出函数f(x)图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；,f(x)的顶点坐标为(1,1)， 单调递减区间是(，1， 单调递增区间是1，).,(2)是否存在实数a，当a1时，f(x)的定义域和值域都是1，a，若存在，求出a，若不存在，说明理由. 解 假设存在实数a满足条件.,a1或a3.又a1，a3. 存在实数a3，使f(x)的定义域和值域均为
8、1，a.,题型四 函数与方程的思想 函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想.,例4 已知函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围. 解 函数f(x)x2xa至少有一个零点为非负实数等价于方程x2xa0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负
9、实根或无实数根的情况.,方程x2xa0不可能有两个负实根， 当方程x2xa0无实根时，14a0，,跟踪演练4 设aR，当a取何值时，不等式x22xa1在区间2,5上恒成立？ 解 x22xa1a1x22x. 令f(x)x22x(x1)21，x2,5， 则f(x)minf(2)448. a18.a7. 当a7时，x22xa1在2,5上恒成立.,课堂小结 1.函数单调性的判定方法 (1)定义法.,(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.,2.二次函数在闭区间上的最值 对于二次函数f(x)a(xh)2k(a0)在区间m，n上的最值问题，有以下结论： (1)若hm，n，则yminf(h)k， ymaxmaxf(m)，f(n)； (2)若hm，n，则yminminf(m)，f(n)， ymaxmaxf(m)，f(n)(a0时可仿此讨论).,3.函数奇偶性与单调性的差异 函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇函数(或偶函数). 4.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性，可用来求参数的取值范围.,
