1、5 从力做的功到向量的数量积(一),第二章 平面向量,学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 两向量的夹角,思考1,以上几组向量中，a，b共线吗？,答案,答案 存在夹角，不一样.,思考2,ABC为正三角形，设 a， b，则向量a与b的夹角是多少？,答案,答案 如图，,延长AB至点D，使ABBD，则 a， ABC为等边三角形，ABC60， 则CBD120，故向量a与b的
2、夹角为120.,(1) 夹角：已知两个 a和b，作 a， b，则 (0180)叫作向量a与b的夹角(如图所示).,梳理,当0时，a与b ；当180时，a与b . (2)垂直：如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.规定零向量可与任一向量垂直.,非零向量,AOB,同向,反向,知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义,思考1,如何计算这个力所做的功？,答案,答案 W|F|s|cos .,一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.,思考2,力做功的大小与哪些量有关？,答案,答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.,(1)数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把 叫作
3、a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab . (2)数量积的特殊情况 当两个向量相等时，aa . 当两个向量e1，e2是单位向量时，e1e2 .,梳理,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|a|2,|e1|e2|cos cos ,知识点三 平面向量数量积的几何意义,答案,思考1,什么叫作向量b在向量a上的射影？什么叫作向量a在向量b上的射影？,答案 如图所示， a， b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影，|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影.,答案,思考2,向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？,
4、答案,答案 由射影的定义知，二者不一定相同.,(1)射影：若非零向量a，b的夹角为，则 叫作向量b在a方向上的射影(简称为投影). (2)ab的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的射影的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的射影 的乘积.,梳理,|b|cos ,|b|cos ,|a|cos ,知识点四 平面向量数量积的性质,答案,思考1,向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别？,答案,答案 向量的线性运算的结果是向量，而向量的数量积运算的结果是数量.,思考2,非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？,答案,答案 由两个非零向量的
5、夹角决定. 当090时，非零向量的数量积为正数. 当90时，非零向量的数量积为零. 当90180时，非零向量的数量积为负数.,向量的数量积的性质 (1)若e是单位向量，则ea . (2)ab . (3) . (4)cos (|a|b|0). (5)对任意两个向量a，b，有|ab| |a|b|，当且仅当ab时等号成立.,梳理,ae,|a|cos ,ab0,|a|,题型探究,类型一 求两向量的数量积,例1 已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积.,解答,解 (1) ab，若a与b同向，则0， ab|a|b|cos 04520； 若a与b反
6、向，则180， ab|a|b|cos 18045(1)20. (2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900. (3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 30 45 10 .,求平面向量数量积的步骤：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.,反思与感悟,跟踪训练1 已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则 等于,答案,解析,解析 如图所示，,由题意，得BCa，CDa，BCD120.,例2 已知|a|b|5，向量a与b的夹角为 ，求|ab|
7、，|ab|.,类型二 求向量的模,解答,引申探究 若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.,解答,此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a| ，勿忘记开方.,反思与感悟,跟踪训练2 已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值.,解 |3a2b|29|a|212ab4|b|2 92512ab42532512ab， |3a2b|5，32512ab25， ab25. |3ab|2(3ab)2 9a26abb292562525400， 故|3ab|20.,解答,例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角.,类型三 求向量的夹角,解答,解 |
8、n|m|1且m与n的夹角是60，,ab(2mn)(2n3m)mn6m22n2,设a与b的夹角为，,当求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，.,反思与感悟,跟踪训练3 已知ab9，a在b方向上的射影为3，b在a方向上的射影为 ，求a与b的夹角.,又0180，120.,解答,当堂训练,1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的射影为 A.4 B.4 C.2 D.2,2,3,4,5,1,解析 向量b在a方向上的射影为 |b|cosa，b4cos 1202.,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2.设向量a，b满足|ab|
9、，|ab| ，则ab等于 A.1 B.2 C.3 D.5,解析 |ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 由得4ab4， ab1.,3.若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.,答案,2,3,4,5,1,解析,11,解析 (a2bc)2a24b2c24ab2ac4bc124223240213cos 60423cos 6011.,2,3,4,5,1,4.在ABC中，| |13，| |5，| |12，则 的值是_.,25,答案,解析,解答,2,3,4,5,1,5.已知正三角形ABC的边长为1，求：,解答,2,3,
10、4,5,1,规律与方法,1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时). 2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆. 3.在ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫作b在a方向上的射影和a在b方向上的射影，要结合图形严格区分.,4.求射影有两种方法 (1)b在a方向上的射影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的射影为|a|cos . (2)b在a方向上的射影为 ，a在b方向上的射影为 . 5.两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a| .,本课结束,
