1、4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性,学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用. 2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系. 3.理解周期函数的定义.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 任意角的正弦函数和余弦函数,使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考1,角的正弦、余弦分别等于什么？,答案,思考2,对确定的锐角，sin ，cos 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案,答案 不会.,思考3,若取|OP|1时，sin ，cos 的
2、值怎样表示？,答案,答案 sin y，cos x.,(1)对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的 定义为角的正弦函数，记作 ；点P的 定义为角的余弦函数，记作 . (2)对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数.,梳理,纵坐标v,vsin ,横坐标u,ucos ,思考,知识点二 正弦、余弦函数的定义域,对于任意角，sin ，cos 都有意义吗？,答案,答案 由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义.,梳理,正弦函数、余弦
3、函数的定义域,思考,知识点三 正弦、余弦函数值在各象限的符号,根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？,答案,答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，则sin v，cos u. 当为第一象限角时，v0，u0，故sin 0，cos 0，同理可得在其他象限时三角函数值的符号.,梳理,正弦、余弦函数在各象限的符号,思考,知识点四 周期函数,由sin(x2k)sin x(kZ)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？,答案,答案 2，4，6，2，等都是函数的周期.,梳理,一般地，对于函数f(x)，
4、如果存在 ，对定义域内的_ x值，都有 ，我们就把f(x)称为周期函数， 称为这个函数的周期. 特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中 的一个，称为 ，简称为周期.,非零实数T,任意一个,f(xT)f(x),T,最小,最小正周期,题型探究,命题角度1 已知角终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知终边上一点P(x， 3)(x0)，且cos x，求sin 的值.,解答,类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用,x0，x1. 当x1时，P(1， 3)，,当x1时，P(1， 3)，,(1)已知角终边上任意一点的坐标求三角函数
5、值的方法 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. 在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.,反思与感悟,跟踪训练1 已知角的终边过点P(3a， 4a)(a0)，求2sin cos 的值.,解答,若a0，则r5a，角在第二象限，,若a0，则为第一象限角，r2a，,若a0，则为第三象限角，r2a，,例3 (1)若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在 A.第一象限
6、 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,类型二 正弦、余弦函数值符号的判断,答案,解析,解析 为第二象限角，sin 0，cos 0， 点P在第四象限，故选D.,(2)判断下列各式的符号. sin 145cos(210)；,解答,解 145是第二象限角，sin 1450， 210360150， 210是第二象限角， cos (210)0，sin 145cos(210)0.,sin 3cos 4.,解答,sin 30，cos 40， sin 3cos 40.,准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键.,反思与感悟,跟踪训练3
7、 若三角形的两内角A，B，满足sin Acos B0，则此三角形必为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能,解析 由题意知，A，B(0，)， sin A0，cos B0，B为钝角. 故选B.,答案,解析,例4 (1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2)f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；,类型三 周期性,证明,证明 f(x4)f(x2)2f(x2) f(x)f(x)， 由周期函数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.,(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x2) ，求证：函数f(x)以 4为周期的周期函数.,证明,由周期函
8、数定义知，函数f(x)是以4为周期的周期函数.,(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(xT)f(x). (2)一般地，如果f(xa)f(x)，那么f(x)的周期为2a(a0)；如果f(xa) ，那么f(x)的周期也为2a(a0).,反思与感悟,跟踪训练4 若函数yf(x)(xR)满足f(x)f(xa)f(xa)(a0，cos 0.,解析,3.设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x(1，0)时，f(x)2x1，则f( )的值为 A.2 B.0 C.1 D.3,答案,解析 f(x)是以1为一个周期的函数， kZ也是f(x)的周期.,解析,又当x(1
9、， 0)时，f(x)2x1，,2,3,4,5,1,4.点P(sin 2 016，cos 2 016)位于第 象限.,答案,解析,解析 2 0165360216， 2 016是第三象限角， 则sin 2 0160，cos 2 0160.,2,3,4,5,1,三,5.已知角的终边在直线y2x上，求sin cos 的值.,解答,2,3,4,5,1,解 在直线y2x上任取一点P(x， 2x)(x0)，,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,规律与方法,1.三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点. 2.三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想. 3.正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.,本课结束,
