1、第二章 2.1 曲线与方程,2.1.2 求曲线的方程,学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点，感受曲线的实际背景，明确其刻画现实世界和解决实际问题的作用. 2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题. 3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法，同时进一步加深理解“曲线的方程、方程的曲线”的概念.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 坐标法的思想,怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？,只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题.,答案,思考2,依据一个给定的平面图形，选取的坐标系惟一吗？,不
2、惟一，常以得到的曲线方程最简单为标准.,答案,梳理,(1)坐标法：借助于 ，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题： 通过曲线研究方程：根据已知条件，求出 . 通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究 .,曲线的性质,坐标系,表示曲线的方程,知识点二 求曲线的方程的步骤,有序实数对(x，y),PM|p(M),p(M),f(x，y)0,f(x，y)0,方程的解,题型探究,类型一 直接法求曲线的方程,例1 一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程.,解答,设P(x，y)，则|8x|2|PA|.化简，得3x24y248， 故动
3、点P的轨迹方程为3x24y248.,引申探究 若本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程.,解答,据题设P(x，y)， 则P到直线y8的距离d|y8|，化简，得4x23y216x16y480. 故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y480.,直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件. (2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明. 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化.,反思与感悟,解答,设点P(x，y)，由M(
4、1，0)，N(1，0)，点P的轨迹方程为x2y23(x0).,类型二 代入法求解曲线的方程,例2 动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.,设P(x，y)，M(x0，y0)，又因为M在曲线x2y21上， 所以(2x3)24y21. 所以P点的轨迹方程为(2x3)24y21.,解答,代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0).,反思与感悟,(3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程.,跟踪训练2 ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求ABC外
5、心的轨迹方程.,解答,如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b).设ABC的外心为M(x，y)， 作MNBC于N，则MN是BC的垂直平分线. |BC|2a，|BN|a，|MN|y|. 又M是ABC的外心，MM|MA|MB|.化简，得所求轨迹方程为x22byb2a20.,类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点,例3 过点M(1，2)的直线与曲线y (a0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围.,解答,当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点. 设直线方程为y2k(x1)(k0)，消去
6、x，得y2(2k)yka0. 当此方程有两个不同的根， 即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点. (2k)24ka0.,设方程的两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系，得y1y22k. 又y1y2a， k2a， 代入0中，得a24a(2a)0，又k0， 2a0，即a2.,结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.即两曲线C1和C2的方程分别为F(x，y)0和G(x，y)0，则它们的交点坐标由方程组的解来确定.,反思与感悟,跟踪训练3 直线l：yk(
7、x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程.,解答,设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5，0)， 再由OMMP， 得|OP|2|OM|2|MP|2， x2y2(x5)2y225，点M应在圆内， 所求的轨迹为圆内的部分.,当堂训练,2,3,4,5,1,1.曲线y 与xy2的交点是 A.(1，1) B.(2，2) C.直角坐标系内的任意一点 D.不存在,联立方程组无解.,答案,解析,2,3,4,5,1,2.方程x2y21(xy0)表示的曲线是,xy0时，y0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解
8、析,xy10(x0，,x1),2,3,4,5,1,4.已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.,答案,解析,5.M为直线l：2xy30上的一动点，A(4，2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且APPM3，求动点P的轨迹方程.,因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，从而点P的轨迹方程为8x4y30.,解析,2,3,4,5,1,规律与方法,求解轨迹方程常用方法 (1)直接法：直接根据题目中给定的条件进行确定方程. (2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程. (3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.,(4)参数法：将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法. (5)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数.,
