1、2019 年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1若实数 a、b 互为相反数，则下列等式中成立的是（ ）Aab0 Ba+b0 Cab1 Dab12下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）A BC D3把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（ ）A63 B716 C78 D6154已知点 P（a，3+a）在第二象限，则 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba3 C3a0 Da35已知正比例函数 y（2t1）x 的图象上一点（x 1，y 1），且 x1y10
2、，那么 t 的取值范围是（ ）At0.5 Bt0.5Ct0.5 或 t 0.5 D不确定6如图，BCD90，ABDE，则 与 一定满足的等式是（ ）A+180 B +90 C 3 D 907观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字 28 应标在（ ）A第 7 个正方形的右下角 B第 7 个正方形的左下角C第 8 个正方形左下角 D第 8 个正方形的右下角8如图，ABC 内接于半径为 5 的O，点 B 在O 上，且 cosB ，则下列量中，值会发生变化的量是（ ）AB 的度数 BBC 的长 CAC 的长 D 的长9如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为 S1、S
3、2、S 3，则S1、S 2、S 3 之间的关系是（ ）AS 12+S22S 32 BS 1+S2S 3CS 1+S2S 3 DS 1+S2 S310二次函数 yax 2+bx+c（ a、b、c 为常数且 a0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（ ）x 1 0 1 3y 1 3 5 3Ax0 Bx1 Cx1.5 Dx 2二填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分）11比较大小：2 712计算：90233612 13如图，已知双曲线 y （k0）经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C若点 A 的坐标为（8，6），则AO
4、C 的面积为 14如图，在ABC 中，AB4，AC 3，以 BC 为边在三角形外作正方形 BCDE，连接 BD，CE交于点 O，则线段 AO 的最大值为 三解答题（共 11 小题，满分 78 分）15计算：（1）（ ） 2+|1 |（ ） 1（2） + 16先化简，再求值：（x2+ ） ，其中 x 17在ABC 中，AB AC，求作一点 P，使点 P 为ABC 的外接圆圆心（保留作图痕迹，不写作法）18某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试现将项目选择情况及训练后篮球定时定
5、点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表进球数（个）8 7 6 5 4 3人数 2 1 4 7 8 2请你根据图表中的信息回答下列问题：（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 ；（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加 25%，请求出参加训练之前的人均进球数19如图，AD 是ABC 的边 BC 的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AFBC，交 BE 的延长线于点 F，连接 CF，BF 交 AC 于 G（1）若四边形 ADCF 是菱形，试证明ABC
6、是直角三角形；（2）求证：CG2AG20如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（ABAC），当梯子的一边 AB 与梯子两底端的连线 BC 的夹角 为 60时，BC 的长为 2 米，若将 调整为 65时，求梯子顶端 A上升的高度（参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.41， 1.73，结果精确到 0.1m）21某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共 62 辆 A，B 两种型号客车作为交通工具下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号 载客量 租金单价A 30 人/辆 380 元/辆B
7、 20 人/辆 280 元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用 A 型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元（）求 y 与 x 的函数解析式，请直接写出 x 的取值范围；（）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？22已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红球（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球搅拌均匀后，使得随机从袋中摸
8、出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球23如图，在O 中，直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，连接 AC，BC，点 E 在AB 上，且 AECE（1）求证：ABCACE；（2）过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，证明 PBPE；（3）在第（2）问的基础上，设O 半径为 2 ，若点 N 为 OC 中点，点 Q 在O 上，求线段PQ 的最大值24已知二次函数 yax 2+bx+c，y 与 x 的一些对应值如下表：x 1 0 1 2 3 4 yax 2+bx+c 8 3 0 1 0 3 （1）根据表中数据，求二次函数解析式；（2）结合表格
9、分析，当 1x4 时，y 的取值范围是 25如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P 为线段 OA 上一动点，过 O，P，B三点的圆交 x 轴正半轴于点 C，连结 AB，PC ，BC ，设 OPm（1）求证：当 P 与 A 重合时，四边形 POCB 是矩形（2）连结 PB，求 tanBPC 的值（3）记该圆的圆心为 M，连结 OM，BM ，当四边形 POMB 中有一组对边平行时，求所有满足条件的 m 的值（4）作点 O 关于 PC 的对称点 O，在点 P 的整个运动过程中，当点 O落在APB 的内部（含边界）时，请写出 m 的取值范围2019 年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试
10、卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答【解答】解：实数 a、b 互为相反数，a+b0故选：B【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键2【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对 B、D 进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对 A、C 进行判断【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以 B、D 选项错误；当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以 C 选项错误，A 选项正确故选：A【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理
11、解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形3【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案【解答】解：阴影部分的小正方形 615，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键4【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可【解答】解：点 P（a，3+a）在第二象限， ，解得3a0故选：C【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
12、限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（，+）；第三象限（，）；第四象限（+，）5【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案【解答】解：因为 x1y10，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则 2t10，t 故选：A【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当 k0 时，图象经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时， y 随 x 的增大而减小能够根据实数的运算法则，判断字母的符号6【分析】过 C 作 CFAB，根据平行线的性质得到1，2180，于是得到结论【解答】解：过 C 作 CFAB，ABDE ，ABDE CF ，1， 18
13、02， 18021180BCD90，故选：D【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键7【分析】根据所标数字是从 0 开始，每 4 个数为一周期循环求解可得【解答】解：由已知图形知，所标数字是从 0 开始，每 4 个数为一周期循环，则（28+1）471，数字 28 表在第 8 个正方形的右下角，故选：D【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况8【分析】连接 AO 并延长交 O 于 B，连接 BC，OC ，根据已知条件得到B 的度数一定；解直角三角形得到 AC10sin B，故 AC 的长一定；根据弧
14、长公式得到 的长度一定；于是得到结论【解答】解：连接 AO 并延长交 O 于 B，连接 BC，OC ，ACB90，cosB ，B 的度数一定；AC10sinB，故 AC 的长一定；AOC2B， 的长度 一定；故 BC 的长会发生变化，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键9【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的 倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是 a，b，c则 S1 b2，S 2 a2，S 3
15、c2又 a2+b2c 2，则 S1+S2S 3故选：D【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式10【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可【解答】解：由表知当 x0 和 x3 时，y 3，该抛物线的对称轴是直线 x ，即 x1.5，故选：C【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型二填空题（共 4 小题，满分 12 分，每小题 3 分）11【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可【解答】解： 20，（7） 249，2
16、049，2 7故答案为：【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小12【分析】1 度60 分，即 160，1 分60 秒，即 160，依据度分秒的换算即可得到结果【解答】解：902336125411，故答案为：5411【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法13【分析】由点 D 为线段 OA 的中点可得出 D 点的坐标，将点 D 的坐标代入双曲线解析式中解出 k 值，即可得出双曲线的解析式，再令 x8 可得点 C 的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论【解
17、答】解：点 D 为线段 OA 的中点，且点 A 的坐标为（ 8，6），点 D 的坐标为（4，3）将点 D（4，3）代入到 y 中得：3 ，解得：k12双曲线的解析式为 y 令 x8，则有 y ，即点 C 的坐标为（8， ）ABBO ，点 B（8，0），AC6 ，OB0（8）8，AOC 的面积 S ACOB 818故答案为：18【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点 C、D 的坐标解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键14【分析】以 AO 为边作等腰直角 AOF，且AOF 90，由题意可证AOBFOC，
18、可得AB CF4，根据三角形的三边关系可求 AF 的最大值，即可得 AO 的最大值【解答】解：如图：以 AO 为边作等腰直角 AOF，且 AOF90四边形 BCDE 是正方形BOCO，BOC90AOF 是等腰直角三角形AOFO ，AF AOBOCAOF90AOBCOF，且 BOCO，AO FOAOBFOC（SAS ）ABCF4若点 A，点 C，点 F 三点不共线时，AFAC +CF；若点 A，点 C，点 F 三点共线时，AFAC +CFAFAC+CF3+47AF 的最大值为 7AF AOAO 的最大值为 故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的
19、三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键三解答题（共 11 小题，满分 78 分）15【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案【解答】解：（1）原式2+ 12 1；（2）原式63+25【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键16【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式（ + ） 2（x+2）2x+4，当 x 时，原式2（ ）+41+43【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子
20、、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式17【分析】分别作 BC 和 AC 的垂直平分线，它们的交点 P 即为ABC 的外接圆圆心【解答】解：如图，点 P 为所作【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作18【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；（2）根据各部分的百分比总和为 1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；（3）设训练前人均进球数为 x，然后根据等式为
21、：训练前的进球数（1+25%）训练后的进球数，列方程求解即可【解答】解：（1） 5； （2）160%10%20% 10% ，（2+1+4+7+8+2）60%24 60%40 人；（3）设参加训练前的人均进球数为 x 个，则x（1+25%）5，解得 x4，即参加训练之前的人均进球数是 4 个【点评】本题考查扇形统计图及相关计算在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于119【分析】（1）由菱形定义及 AD 是ABC 的中线知 ADDCBD ，从而得DBADAB、DACDCA，根据DBA +DAC+DAB+DCA180可得答案（2）作 DM EG 交 AC 于点 M，分别证 DM 是BCG 的中
22、位线和 EG 是ADM 的中位线得AGGMCM ，从而得出答案【解答】解：（1）四边形 ADCF 是菱形，AD 是ABC 的中线，ADDCBD，DBADAB、DACDCA，DBA+DAC+DAB+DCA180，BACBAD+ DAC90，ABC 是直角三角形；（2）过点 D 作 DMEG 交 AC 于点 M，AD 是ABC 的边 BC 的中线，BDDC，DM EG，DM 是 BCG 的中位线，M 是 CG 的中点，CMMG ，DM EG，E 是 AD 的中点，EG 是ADM 的中位线，G 是 AM 的中点，AGMG ，CG2AG【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三
23、角形的性质、三角形中位线定理等知识点20【分析】先由等腰三角形的一个 60的角，确定梯子 AB 的长，在直角三角形 ABD 和 A1B1D1中，利用锐角三角函数计算 AD、A 1D11 的长，求差得结论【解答】解：如图 1，由题意可得：BC60，则ABC 是等边三角形，BCABAC2m，在 Rt ABD 中，AD2sin60 1.73m；如图 2，由题意可得：B 1C 165，A 1B1AB2m，在 Rt A1B1D1 中，A 1D12sin6520.911.82m；A 1D1AD 1.821.730.090.1（m）答：梯子顶端 A 上升的高度约为 0.1m【点评】本题考查了解直角三角形的应
24、用掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键21【分析】（）根据租车总费用A、B 两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（）列出不等式，求出自变量 x 的取值范围，利用函数的性质即可解决问题【解答】解：（）由题意：y380x+280（62x ）100 x+1736030x+20（62x ）1441，x20.1，又x 为整数，x 的取值范围为 21x 62 的整数；（）由题意 100x+1736021940，x45.8，21x45，共有 25 种租车方案，x21 时，y 有最小值19460 元即租 21 辆 A 型号客车时总费用最省，最省的总费用是 19460 元【点评】本题考查一次函数的应用、
25、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题22【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有 x 个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为 列出关于 x 的方程，解之可得【解答】解：（1）袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；（2）列表如下：白 白 红 红 红 红 红白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，
26、红） （白，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果，两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ；（3）设有 x 个红球被换成了黄球根据
27、题意，得： ，解得：x3，即袋中有 3 个红球被换成了黄球【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23【分析】（1）因为直径 CD 垂直于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N，所以 ，所以CAE ABC，因为 AECE ，所以CAE ACE，所以ABCACE；（2）连接 OB，设CAEACEABC x ，通过计算可得PEBPBE2x，所以PBPE；（3）连接 OP，证明OBC 和PBE 为等边三角形，因为O 半径为 2 ，可得BN3，NE1，即 PBBE4，在 RtPBO 中求得 PO 的长，即可得出 PQ 的最大值【解答】解：（1）证明：直径 CD 垂直
28、于不过圆心 O 的弦 AB，垂足为点 N， ，CAEABC，AECE，CAEACE，ABCACE；（2）如图，连接 OB，过点 B 作O 的切线交 EC 的延长线于点 P，OBP90，设CAEACEABC x，则PEB 2x，OBOC，ABCD，OBCOCB90x，BOC1802（90x）2x，OBE902x ，PBE 90（902x）2x，PEB PBE，PBPE；（3）如图，连接 OP，点 N 为 OC 中点， ABCD，AB 是 CD 的垂直平分线，BCOBOC，OBC 为等边三角形， O 半径为 2 ，CN ，CAEACE BOC30，CEN 60 ，PBE 2CAB60，PBE 为等
29、边三角形，BN 3，NE 1，PBBEBN+ NE3+14，PO ，PQ 的最大值为 PO+ 【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理解题的关键是掌握圆的切线的性质24【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式 ya（x1）（x3），然后把（0，3）代入求出 a 即可得到抛物线的解析式；（2）利用 y（x 2） 21 得到抛物线的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（0，1），即 x2时，函数有最小值1，从而得到当 1x4 时所对应的函数值的范围【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），设抛物线的解析式为 ya（x1）（x 3），把（0，3）代
30、入得 a（1）（3）3，解得 a1，所以抛物线的解析式为 y（x1）（x 3），即 yx 24x+3；（2）y（x2） 21，则抛物线的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（0，1），所以当 1x4 时，1y 3，故答案为：1y3【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解25【分析】（1）由P
31、OC90可知 PC 为直径，所以PBC90，P、A 重合时得 3 个直角，即证四边形 POCB 为矩形（2）题干已知的边长只有 OA、AB，所以要把BPC 转化到与 OA、OB 有关的三角形内连接O，B 据圆周角定理，得COB BPC ，又 ABOC 有ABPCOB，得BPCABP（3）分两种情况：OP BM 即 BMx 轴，延长 BM 交 x 轴于 N，根据垂径定理得ONCN 3，设半径为 r，利用 RtCMN 的三边关系列方程即求出；OMPB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到BOMCOM ，所以 BOCO5，用 m 表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得 m（4）因为点 O 与
32、点 O关于直线对称，所以PO CPOC90，即点 O在圆上；考虑点 P运动到特殊位置：点 O与点 O 重合； 点 O落在 AB 上；点 O与点 B 重合算出对应的m 值再考虑范围【解答】解：（1）COA90PC 是直径，PBC90A（0，4）B（3，4）ABy 轴当 A 与 P 重合时，OPB 90四边形 POCB 是矩形（2）连结 OB，（如图 1）BPCBOCABOCABOBOCBPCBOCABOtanBPC tanABO（3）PC 为直径M 为 PC 中点如图 2，当 OPBM 时，延长 BM 交 x 轴于点 NOPBMBNOC 于 NONNC，四边形 OABN 是矩形NCON AB3，
33、BNOA 4设 M 半径为 r，则 BMCMPMrMNBNBM 4rMN 2+NC2CM 2（4r） 2+32r 2解得：rMN4M、N 分别为 PC、OC 中点mOP2MN如图 3，当 OMPB 时，BOMPBOPBOPCO，PCOMOCOBMBOM MOCMCO在BOM 与COM 中BOMCOM（AAS ）OCOB 5AP4mBP 2AP 2+AB2（4m） 2+32ABOBOCBPC ，BAOPBC90ABOBPCPCPC 2 BP2 （4m） 2+32又 PC2OP 2+OC2m 2+52 （4m） 2+32m 2+52解得：m 或 m10（舍去）综上所述，m 或 m（4）点 O 与点 O关于直线对称POCPOC90，即点 O在圆上当 O与 O 重合时，得 m0当 O落在 AB 上时，得 m当 O与点 B 重合时，得 m0m 或 m【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论第（2）题关键是把BPC 进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点 O到达APB 各边上为特殊位置求出 m，再讨论 m 的范围
