人教A版高中数学必修四《1.1.1 任意角》课件

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资源描述

1、1.1.1 任意角,第一章 1.1 任意角和弧度制,学习目标 1.了解角的概念. 2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义. 3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合符号表示这些角.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 角的相关概念,用旋转方式定义角时,角的构成要素有哪些?,答案,答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.,思考2,将射线OA绕着点O旋转到OB位置,有几种旋转方向?,答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.,思考3,如果一个角的始边与终边重合,那么这个角一定是零角吗?,答案,答案 不一定,若角的终边未作旋转,则这个角是零角.若角的终边作了

2、旋转,则这个角就不是零角.,(1)角的概念:角可以看成平面内 绕着 O从一个位置OA 到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点, 射线OA,OB分别是角的 和 . (2)按照角的旋转方向,分为如下三类:,梳理,一条射线,端点,旋转,始边,终边,逆时针,顺时针,零角,思考,知识点二 象限角,把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可能落在什么位置?,答案,答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.,梳理,在直角坐标系内,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合. 象限角:终边在第几象限就是 ; 轴线角:终边落在 的角.,第几象限角

3、,坐标轴上,思考1,知识点三 终边相同的角,假设60的终边是OB,那么660,420的终边与60的终边有什么关系,它们与60分别相差多少?,答案,答案 它们的终边相同.660602360,42060360,故它们与60分别相差了2个周角及1个周角.,思考2,如何表示与60终边相同的角?,答案,答案 60k360(kZ).,梳理,终边相同角的表示: 所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|k360,kZ, 即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个 的和.,周角,题型探究,解答,类型一 任意角概念的理解,例1 (1)给出下列说法: 锐角都是第一象限角; 第一象限角一定不是负角;

4、第二象限角是钝角; 小于180的角是钝角、直角或锐角. 其中正确说法的序号为 .(把正确说法的序号都写上),答案,解析,解析 锐角指大于0小于90的角,都是第一象限的角,所以对; 由任意角的概念知,第一象限角也可为负角,第二象限角不一定是钝角,小于180的角还有负角、零角,所以错误.,(2)将时钟拨快20分钟,则分针转过的度数是 . 解析 分针每分钟转6,由于顺时针旋转,所以20分钟转了120.,解答,答案,解析,120,反思与感悟,解决此类问题要正确理解锐角、钝角、090角、象限角等概念.角的概念推广后,确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.,解 顺时针拧螺丝2圈,螺丝顺时针旋转了2周

5、,因此所表示的角为720.,跟踪训练1 写出下列说法所表示的角. (1)顺时针拧螺丝2圈;,解答,(2)将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角.,解 拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转,因此将时钟拨慢2小时30分,分针转过的角为900.,例2 在0360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. (1)150; 解 因为150360210,所以在0360范围内, 与150角终边相同的角是210角,它是第三象限角. (2)650; 解 因为650360290,所以在0360范围内, 与650角终边相同的角是290角,它是第四象限角.,类型二 象限角的判定,解答,(3)95015.

6、解 因为95015336012945, 所以在0360范围内, 与95015角终边相同的角是12945角,它是第二象限角.,解答,引申探究 确定 (nN*)的终边所在的象限.,解答,解 一般地,要确定 所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线, 它们与坐标轴把周角分成4n个区域, 从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次标上1,2,3,4,4n, 标号为几的区域,就是根据所在第几象限时, 的终边所落在的区域, 如此, 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.,反思与感悟,判断象限角的步骤: (1)当0360时,直接写出结果; (2)当0或360时,将化为k360(

7、kZ,0360),转化为判断角所属的象限.,解答,跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角?请写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式360720的元素写出来. (1)60; 解 60角是第一象限角,所有与60角终边相同的角的集合S|60k360,kZ, S中适合360720的元素是60(1)360300, 60036060,601360420.,解答,(2)21. 解 21角是第四象限角,所有与21角终边相同的角的集合S|21k360,kZ, S中适合360720的元素是21036021, 211360339,212360699.,类型三 终边相同的角,解答,命题角度1 求与已知角

8、终边相同的角 例3 在与角10 030终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; 解 与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ), 由360k36010 0300, 得10 390k36010 030,解得k28, 故所求的最大负角为50.,解答,(2)最小的正角; 解 由0k36010 030360, 得10 030k3609 670,解得k27, 故所求的最小正角为310. (3)360,720)的角. 解 由360k36010 030720, 得9 670k3609 310,解得k26, 故所求的角为670.,反思与感悟,求适合某种条件且与已知角终边

9、相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.,解答,跟踪训练3 写出与1 910终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式720360的元素写出来. 解 由终边相同的角的表示知, 与角1 910终边相同的角的集合为|k3601 910,kZ. 720360, 即720k3601 910360(kZ),当k4时,43601 910470; 当k5时,53601 910110; 当k6时,63601 910250.,命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y 上的角的集合.,即S|1202k180,kZ|120(2k1)180,kZ|1

10、20n180,nZ.,解答,反思与感悟,求终边在给定直线上的角的集合,常用分类讨论的思想,即分x0和x0两种情况讨论,最后再进行合并.,即S|302k180,kZ|30(2k1)180,kZ|30n180,nZ.,解答,例5 如图所示. (1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;解 终边落在射线OA上的角的集合是|k360210,kZ. 终边落在射线OB上的角的集合是|k360300,kZ.,类型四 区域角的表示,解答,(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210 k360300,kZ.,解答,反思与感悟,解答此类题目应先在0

11、360上写出角的集合,再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简.,跟踪训练5 如图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.,解答,解 设终边落在阴影部分的角为,角的集合由两部分组成. |k36030k360105,kZ. |k360210k360285,kZ. 角的集合应当是集合与的并集,即 S|k36030k360105,kZ |k360210k360285,kZ |2k180302k180105,kZ |(2k1)18030(2k1)180105,kZ,|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105,kZ |n18030n180

12、105,nZ.,当堂训练,1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等 B.钝角一定是第二象限角 C.第一象限角一定不是负角 D.小于90的角都是锐角,答案,2,3,4,5,1,2.与457角终边相同的角的集合是 A.|k360457,kZ B.|k36097,kZ C.|k360263,kZ D.|k360263,kZ 解析 4572360263,故选C.,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,3.2 017是第 象限角. 解析 因为2 0175360217,故2 017是第三象限角.,答案,解析,三,2,3,4,5,1,4.与1 692终边相同的最大负角是 . 解析 1 6

13、924360252, 与1 692终边相同的最大负角为252.,答案,解析,252,5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合: S1|k180,kZ; 终边落在y轴上的角的集合: S2|k18090,kZ. 终边落在坐标轴上的角的集合: SS1S2|k180,kZ|k18090,kZ |2k90或(2k1)90,kZ|n90,nZ.,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同的角的认识 一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S|k360,kZ,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.,注意:(1)为任意角; (2)k360与之间是“”号,k360可理解为k360(); (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360的整数倍; (4)kZ这一条件不能少.,本课结束,

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