1、13.3 导数与函数极值和最值A组 基础题组1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )A.y=x3 B.y=ln(-x) C.y=xe-x D.y=x+2x答案 D A 选项中,函数 y=x3单调递增,无极值,B,C 选项中的函数都不是奇函数 ,D选项中的函数既为奇函数又存在极值.2.函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x(aR)的导函数是 f (x),若 f (x)是偶函数,则以下结论正确的是( )A.y=f(x)的极大值为 1B.y=f(x)的极大值为-2C.y=f(x)的极小值为 2D.y=f(x)的极小值为-2答案 D 由题意可得, f (x)=3x 2+2ax+a-3,f (
2、x) 是偶函数,f (-x)=f (x),a=0,f(x)=x3-3x, f (x)=3x2-3,易知 f(x)在 x=-1处取极大值 2,在 x=1处取极小值-2,故选 D.3.有一个 10 cm16 cm的矩形纸板,四个角各被截去了一个大小相同的小正方形,剩下的部分做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( )A.12 cm3B.72 cm3C.144 cm3 D.160 cm3答案 C 设盒子的容积为 y cm3,盒子的高为 x cm,则 x(0,5).则 y=(10-2x)(16-2x)x=4x3-52x2+160x,所以 y=12x2-104x+160.令 y=0,得 x=2或 x=
3、 (舍去).203当 x0,当 x2时,y0,排除 B,故选 D.5.若函数 f(x)= x3+x2- 在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数 a的取值范围是( )13 23A.-5,0) B.(-5,0)C.-3,0) D.(-3,0)答案 C 由题意知, f (x)=x 2+2x=x(x+2),故 f(x)在(-,-2),(0,+) 上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其大致图象如图所示,令 x3+x2- =- ,得 x=0或 x=-3,则结合图象可知, 解得 a-3,0).13 23 23 -3 a0, 6.函数 f(x)=xsin x+cos x在 上的最大值为 . 6, 答案
4、 2解析 因为 f (x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,所以 f (x)=0在 x 上的解为 x= .6, 2易知 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,6,2 2, 所以函数 f(x)=xsin x+cos x在 上的最大值为 f = .6, (2)27.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使13该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件. 答案 9解析 y=-x 2+81,令 y=0,得 x=9或 x=-9(舍去).当 00,函数单调递增;当 x9时,y0),令 f (x)=0,得 x=
5、或 x=1,当 x 时, f (x)0,所以 f(x)在区间 上单调递减,在区间1,2上单调递增,所以当 x=1时, 12,1f(x)在区间 上取得极小值,也为最小值,最小值为-2.12,210.已知函数 f(x)=ln x- ax2+x,aR.12(1)当 a=0时,求曲线 y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;(2)令 g(x)=f(x)-(ax-1),求函数 g(x)的极值.解析 (1)当 a=0时, f(x)=ln x+x,则 f(1)=1,切点为(1,1),又 f (x)= +1,切线斜率 k=f (1)=2,1x故切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0.(2)
6、g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x- ax2+(1-a)x+1(x0),12则 g(x)= -ax+(1-a)= ,1x -ax2+(1-a)x+1x当 a0 时,x0,g(x)0,g(x)在(0,+)上是增函数,此时函数 g(x)无极值点.当 a0时,g(x)= =- ,-ax2+(1-a)x+1x a(x-1a)(x+1)x令 g(x)=0得 x= .1a当 x 时,g(x)0;当 x 时,g(x)0时,函数 g(x)有极大值 -ln a,无极小值.12a11.已知函数 f(x)=x3+|x-a|(aR).(1)当 a=1时,求 f(x)在(0, f(0)处的切线方程;(2)当 a
7、(0,1)时,求 f(x)在区间-1,1上的最小值(用 a表示).解析 (1) 当 a=1,x0,知 f(x)在a,1上单调递增.当-1x0时,求 f(x)的最小值 g(a)的最大值;(3)设 h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x1,+),求证:h(x)2.解析 (1) 函数 f(x)在(0,2) 上递减 x(0,2), f (x)0 恒成立x(0,2), f (x)= 0ax-2x2恒成立x(0,2),a 恒成立,又 1,所以 a1.2x 2x5(2)当 a0时,令 f (x)= =0,得 x= .ax-2x2 2a当 x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x (0,2a)
8、 2a (2a,+ )f (x) - 0 +f(x) 极小值 故 g(a)=f =a+aln .(2a) 2ag (a)=ln 2-ln a,令 g (a)=0,得 a=2.当 a变化时,g (a),g(a)的变化情况如下表:a (0,2) 2 (2,+)g (a) + 0 -g(x) 极大值 故 g(a)的最大值为 g(2)=2.(3)证明: 当 a2 时,h(x)=f(x)+(a-2)x= +aln x+(a-2)x,2x故 h(x)= +a-20,ax-2x2所以 h(x)在1,+)上是增函数,故 h(x)h(1)=a2;当 a2.综上所述,h(x)2.B组 提升题组61.已知函数 f(
9、x)= -k ,若 x=2是函数 f(x)的唯一一个极值点 ,则实数 k的取值范围是( )exx2 (2x+lnx)A.(-,e B.0,eC.(-,e) D.0,e)答案 A f (x)= -k = (x0).设 g(x)= ,则 g(x)= ,则 g(x)在x2ex-2xexx4 (-2x2+1x)(x-2)(exx-k)x2 exx (x-1)exx2(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.g(x)在(0,+)上有最小值 g(1),g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k的图象可知,要满足题意,只需 ke,故选exxA.2.已知函数 f(x)=x3+2ax2+1在 x=1处的切线
10、的斜率为 1,则实数 a= ,此时函数 y=f(x)在0,1上的最小值为 . 答案 - ;122327解析 由题易知 f (x)=3x2+4ax,且 f (x)=1,则 a=- ,故 f(x)=x3-x2+1.12此时 f (x)=3x2-2x=3x ,所以 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,(x-23) (0,23) (23,1)所以 f(x)min=f = .(23)23273.(2018浙江宁波模拟)设函数 f(x)=x2-ax-ln x,aR.(1)若函数 f(x)的图象在 x=1处的切线斜率为 1,求实数 a的值;(2)当 a-1 时,记 f(x)的极小值为 H,求 H的最大值
11、.解析 (1)因为函数 f(x)=x2-ax-ln x,aR,所以 f (x)= (x0),2x2-ax-1x由题意知 f (1)=1,2-a-1=1,解得 a=0.(2)设 f (x0)=0,则 2 -ax0-1=0,x20则 x0= (舍负),a+ a2+84所以 f(x)在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+)上单调递增,则 H=f(x)极小值 =f(x0)= -ax0-ln x0=- +1-ln x0,x20 x20设 g(a)= (a-1),a+ a2+84当 a0 时,g(a)为增函数,7当-1a0,g(-1)=a0, 12由题意可知 x1+x2=-1,2 +2x2+a=0,x
12、2=- + ,- x20.x2212 1-2a2 12所以 = ,f(x2)x1 x22-(2x22+2x2)ln(x2+1)-1-x2令 k(x)= ,x ,x2-(2x2+2x)ln(x+1)-1-x (-12,0)则 k(x)= +2ln(x+1),k(x)= ,x2(x+1)2 2x2+6x+2(x+1)3因为 k =-4,k(0)=2,(-12)所以存在 x0 ,使得 k(x)=0,列表如下:(-12,0)x (-12,x0) x0 (x0,0)k(x) - 0 +8又 k(0)=0,k =1-2ln 20,(-12)所以 k(x)0 ,(x (-12,0)所以函数 k(x)在 内为减函数,(-12,0)所以 k(0)k(x)k ,即 0 - +ln 2.(-12) f(x2)x1 12
