1、2019 年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分,共 30 分)12 的相反数是（ ）A2 B2 C D2太阳的半径约为 696000km，把 696000 这个数用科学记数法表示为（ ）A6.9610 3 B69.610 5 C6.9610 5 D6.9610 63下列计算正确的是（ ）A2x+3y5xy B（m+3） 2m 2+9C（xy 2） 3 xy6 Da 10a5a 54已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个5已知：如图，在平面
2、直角坐标系 xOy 中，等边AOB 的边长为 6，点 C 在边 OA 上，点 D 在边AB 上，且 OC3BD，反比例函数 y （k0）的图象恰好经过点 C 和点 D，则 k 的值为（ ）A B C D6在 RtABC 中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AB 1C1，如图所示，则点 B 所走过的路径长为（ ）A5 cm B cm C cm D5cm7已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ）A4 B4 C1 D18如图，已知O 圆心是数轴原点，半径为 1，AOB 45，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与
3、 OA 平行的直线与O 有公共点，设 OPx，则 x 的取值范围是（ ）A1x1 B x C0x Dx 9如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度 h 随时间 t 变化规律的是（ ）A BC D10小轩从如图所示的二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：abc0；a+b+ c0；b+2c0；4acb 20；a b你认为其中正确信息的个数有（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题（每小题 3 分,共 18 分)11分解因式：2a 38a 2+8a 12在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，
4、取到已过保质期饮料的概率为 （结果用分数表示）13已知正比例函数 y4x 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，若点 A 的坐标为（x，4），则点 B 的坐标为 14如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为 米15如图，AOB 中，AOB90，AO3，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB 处，此时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 16如图，AOB45，过 OA
5、上到点 O 的距离分别为 1，3，5，7，9，11的点作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4则第一个黑色梯形的面积 S1 ；观察图中的规律，第 n（n 为正整数）个黑色梯形的面积 Sn 三、解答题（共 72 分）17（5 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a2sin60tan4518（6 分）关于 x 的方程，kx 2+（k+1）x+ k0 有两个不等实根求 k 的取值范围；是否存在实数 k，使方程的两实根的倒数和为 0？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由19（7 分）已知：如图，BACDAM ，AB AN，ADAM
6、，求证：BANM 20（7 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球C羽毛球 D足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）21（8 分）如图，已知正比例函数 y2x 和反比例函数的图象交于点 A（m ，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出
7、正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n ）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论22（8 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD 、 BD 是半圆的弦，且PDAPBD（1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由；（2）如果BDE60，PD ，求 PA 的长23（9 分）某店因为经营不善欠下 38400 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金“中国梦想秀”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的品牌服装的进价为每件
8、40 元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价 x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不包含债务）（1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为 48 元/件时，当天正好收支平衡（收人支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有 2 名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？24（10 分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC 中，AB AC，分别以 A
9、B 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，其中 DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF AG AB；MDME；整个图形是轴对称图形；DABDMB数学思考：在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示，M 是 BC
10、 的中点，连接 MD 和 ME，试判断MED 的形状答： 25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线 yax 2+bx 过 A、C 两点（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G当 t 为何值时，线段 EG 最长？连接 EQ在点 P、Q 运动的过程中，判
11、断有几个时刻使得CEQ 是等腰三角形？请直接写出相应的 t 值2019 年湖北省天门市江汉学校、托市一中、张港初中等五校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分,共 30 分)12 的相反数是（ ）A2 B2 C D【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数【解答】解：根据相反数的定义，2 的相反数是 2故选：A【点评】本题考查了相反数的意义注意掌握只有符号不同的数为相反数，0 的相反数是 02太阳的半径约为 696000km，把 696000 这个数用科学记数法表示为（ ）A6.9610 3 B69.610 5 C6.9610 5 D6.9610 6【分析】科学记
12、数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 696000 用科学记数法表示为 6.96105故选：C【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3下列计算正确的是（ ）A2x+3y5xy B（m+3） 2m 2+9C（xy 2） 3 xy6 Da 10a5a 5【分析】各项计算得到结果，即
13、可作出判断【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式m 2+6m+9，不符合题意；C、原式x 3y6，不符合题意；D、原式a 5，符合题意，故选：D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键4已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A6 个 B7 个 C8 个 D9 个【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有 4 个小正方体，第二层有 2 个小正方体，第，三层有 1 个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 4+
14、2+17 个故选：B【点评】本题考查了学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案5已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边AOB 的边长为 6，点 C 在边 OA 上，点 D 在边AB 上，且 OC3BD，反比例函数 y （k0）的图象恰好经过点 C 和点 D，则 k 的值为（ ）A B C D【分析】过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，设 BDa，则 OC3a，根据等边三角形的性质结合解含 30 度角的直角三角形，可找出点 C、D 的坐标，再利用反比例
15、函数图象上点的坐标特征即可求出 a、k 的值，此题得解【解答】解：过点 C 作 CEx 轴于点 E，过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图所示设 BDa，则 OC3aAOB 为边长为 6 的等边三角形，COEDBF60，OB6在 Rt COE 中， COE60 ，CEO90，OC3a ，OCE30，OE a，CE a，点 C（ a， a）同理，可求出点 D 的坐标为（ 6 a， a）反比例函数 y （k 0）的图象恰好经过点 C 和点 D，k a a（6 a） a，a ，k 故选：A【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解含 30 度角的直角三角形，根据等边三角形
16、的性质结合解含 30 度角的直角三角形，找出点 C、D 的坐标是解题的关键6在 RtABC 中，C90，BC4cm，AC3cm把ABC 绕点 A 顺时针旋转 90后，得到AB 1C1，如图所示，则点 B 所走过的路径长为（ ）A5 cm B cm C cm D5cm【分析】根据勾股定理可将 AB 的长求出，点 B 所经过的路程是以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径，圆心角为 90的扇形【解答】解：在 RtABC 中，AB 5，lAB cm，故点 B 所经过的路程为 cm故选：C【点评】本题的主要是将点 B 所走的路程转化为求弧长，使问题简化7已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa0 有两
17、个相等的实数根，则 a 的值是（ ）A4 B4 C1 D1【分析】根据根的判别式的意义得到2 24（a）0，然后解方程即可【解答】解：根据题意得2 24（a）0，解得 a1故选：D【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根8如图，已知O 圆心是数轴原点，半径为 1，AOB 45，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与O 有公共点，设 OPx，则 x 的取值范围是（ ）A1x1 B x C0x Dx 【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的 P 的
18、取值，再结合图象可得出 P 的取值范围，即可得出答案【解答】解：半径为 1 的圆，AOB45，过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点，当 PC 与圆相切时，切点为 C，OCPC，CO1，POC45，OP ，过点 P 且与 OA 平行的直线与 O 有公共点，即 0x ，同理点 P 在点 O 左侧时，00x 故选：C【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键9如图，均匀地向此容器注水，直到把容器注满在注水的过程中，下列图象能大致反映水面高度 h 随时间 t 变化规律的是（ ）A BC D【分析】由于三个容器的高度相同，粗细不同，那么水面高
19、度 h 随时间 t 变化而分三个阶段【解答】解：最下面的容器较粗，第二个容器最粗，那么第二个阶段的函数图象水面高度 h 随时间 t 的增大而增长缓慢，用时较长，最上面容器最小，那么用时最短，故选：A【点评】解决本题的关键是根据三个容器的高度相同，粗细不同得到用时的不同10小轩从如图所示的二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：abc0；a+b+ c0；b+2c0；4acb 20；a b你认为其中正确信息的个数有（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用函数图象分别求出 a，b，c 的符号，进而得出 x1 或1 时 y 的符号，进而判断得出答案【解答】解：图象开口向
20、下，a0，对称轴 x ，3b2a，则 a b，b0，图象与 x 轴交与 y 轴正半轴，c0，abc0，故选项 错误；选项正确；由图象可得出：当 x1 时，y0，a+b+c0，故选项正确；当 x1 时，yab+c0， bb+c0，b+2c0，故选项正确；抛物线与 x 轴有两个交点，则 b24ac0，则 4acb 20，故选项 错误故正确的有 3 个故选：B【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用二、填空题（每小题 3 分,共 18 分)11分解因式：2a 38a 2+8a 2a（a2） 2 【分析
21、】先提取公因式 2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：2a 38a 2+8a，2a（a 24a+4），2a（a2） 2故答案为：2a（a2） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止12在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5 瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料的概率为 （结果用分数表示）【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从这 5
22、瓶饮料中任取 1 瓶，取到已过保质期饮料的概率为 ；故答案为： 【点评】此题考查了概率公式：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 13已知正比例函数 y4x 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，若点 A 的坐标为（x，4），则点 B 的坐标为 （1，4） 【分析】首先求出 A 点坐标，进而将两函数联立得出 B 点坐标即可【解答】解：正比例函数 y4x 与反比例函数 的图象交于 A、B 两点，点 A 的坐标为（x，4），44x，解得：x1，xyk4，y ，则 4x，解得：x 11，x 21，当 x1 时，y4，点
23、 B 的坐标为：（1，4）故答案为：（1，4）【点评】此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据已知得出 A 点坐标是解题关键14如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成75角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为 750 米【分析】作 ADBC 于 D，根据速度和时间先求得 AC 的长，在 RtACD 中，求得ACD 的度数，再求得 AD 的长度，然后根据 B30求出 AB 的长【解答】解：如图，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 Rt AC
24、D 中， ACD75 3045，AC3025750（米），ADACsin45375 （米）在 Rt ABD 中，B30，AB2AD 750 （米）故答案为：750 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中15如图，AOB 中，AOB90，AO3，BO6，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB 处，此时线段 AB与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 BE 的长度为 【分析】利用勾股定理列式求出 AB，根据旋转的性质可得 AOAO ，ABAB，再求出OE，从而得到 OEA O，过点 O 作 OFAB于 F，利用三角形的面积
25、求出 OF，利用勾股定理列式求出 EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AE2EF，然后根据BEAB AE 代入数据计算即可得解【解答】解：AOB90，AO3，BO 6，AB 3 ，AOB 绕顶点 O 逆时针旋转到AOB 处，AOA O3，A B AB3 ，点 E 为 BO 的中点，OE BO 63，OEA O，过点 O 作 OFAB 于 F，SA OB 3 OF 36，解得 OF ，在 Rt EOF 中，EF ，OEA O，OF AB，AE2EF2 （等腰三角形三线合一），BEABAE3 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，
26、熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键16如图，AOB45，过 OA 上到点 O 的距离分别为 1，3，5，7，9，11的点作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4则第一个黑色梯形的面积 S1 4 ；观察图中的规律，第 n（n 为正整数）个黑色梯形的面积 Sn 8n4 【分析】观察图形，发现：黑色梯形的高总是 2；根据等腰直角三角形的性质，分别求得黑色梯形的两底和依次是 4，12，20，即依次多 8再进一步根据梯形的面积公式进行计算【解答】解：AOB45，图形中三角形都是等腰直角三角形，S 1 （1+3）
27、24；Sn 24+8（n1） 8n4【点评】解决此题的关键是能够结合图形，根据等腰直角三角形的性质，找到梯形的上下底的和的规律三、解答题（共 72 分）17（5 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a2sin60tan45【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得 a 的值，代入即可【解答】解：原式 （a 1） （a1）当 a2sin60tan45 2 1 1 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值18（6 分）关于 x 的方程，kx 2+（k+1）x
28、+ k0 有两个不等实根求 k 的取值范围；是否存在实数 k，使方程的两实根的倒数和为 0？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由【分析】 因为方程有两个不等实根，所以判别式大于 0，可以求出 k 的取值范围根据根与系数的关系，用 k 的式子表示两根之和与两根之积，然后代入两根的倒数和为 0 的等式中，求出 k 的值对不在取值范围内的值要舍去【解答】解：（k+1 ） 24k k，k 2+2k+1k 2，2k+10，k ，k0，故 k 且 k0设方程的两根分别是 x1 和 x2，则：x1+x2 ，x 1x2 ，+ 0，k+10，即 k1，k ，k1（舍去）所以不存在【点评】本题考查的是一
29、元二次方程根的判别式和根与系数的关系，题用根的判别式求出 k的取值范围，因为是一元二次方程，二次项系数不为 0，所以 k0题根据根与系数的关系，把两根和与两根积代入等式求出 k 的值，对不在取值范围内的值要舍去19（7 分）已知：如图，BACDAM ，AB AN，ADAM，求证：BANM 【分析】由BACDAM 可得出BAD NAM，结合 ABAN、ADAM 即可证出BADNAM （ SAS），再根据全等三角形的性质可得出BANM【解答】证明：BACDAM ，BACBAD+DAC，DAMDAC+NAM，BADNAM在BAD 和NAM 中， ，BADNAM（SAS），BANM【点评】本题考查了全
30、等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理 SAS 证出BADNAM 是解题的关键20（7 分）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球 B乒乓球C羽毛球 D足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 200 人；（2）请你将条形统计图（2）补充完整；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）【分析】（1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数
31、；（2）由总人数减去喜欢 A，B 及 D 的人数求出喜欢 C 的人数，补全统计图即可；（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：（1）根据题意得：20 200（人），则这次被调查的学生共有 200 人；（2）补全图形，如图所示：（3）列表如下：甲 乙 丙 丁甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 所有等可能的结果为 12 种，其中符合要求的只有 2 种，则 P 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，
32、弄清题意是解本题的关键21（8 分）如图，已知正比例函数 y2x 和反比例函数的图象交于点 A（m ，2）（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）若双曲线上点 C（2，n ）沿 OA 方向平移 个单位长度得到点 B，判断四边形 OABC 的形状并证明你的结论【分析】（1）设反比例函数的解析式为 y （k0），然后根据条件求出 A 点坐标，再求出k 的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围；（3）首先求出 OA 的长度，结合题意 CBOA 且 CB ，判断出四
33、边形 OABC 是平行四边形，再证明 OAOC 即可判定出四边形 OABC 的形状【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为 y （k 0），A（m，2）在 y2x 上，22m，m1，A（1，2），又点 A 在 y 上，k2，反比例函数的解析式为 y ；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围为1x0 或x1；（3）四边形 OABC 是菱形证明：A（1，2），OA ，由题意知：CBOA 且 CB ，CBOA，四边形 OABC 是平行四边形，C（2，n）在 y 上，n1，C（2，1），OC ，OCOA，四边形 OABC 是菱形【点评】本题主要考查了反比例函数的综合题的
34、知识点，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理，此题难度不大，是一道不错的中考试题22（8 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD 、 BD 是半圆的弦，且PDAPBD（1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由；（2）如果BDE60，PD ，求 PA 的长【分析】（1）要证是直线 PD 是为O 的切线，需证PDO90因为 AB 为直径，所以ADO +ODB90，由PDAPBD ODB 可得ODA+PDA90，即PDO 90（2）根据已知可证AOD 为等边三角形， P30在 RtPOD 中运用三角函数可求解【解答】解：（1）PD 是O 的切线理由如下：AB 为
35、直径，ADB90，ADO +ODB90PDAPBDODB，ODA +PDA 90即 PDO 90PD 是 O 的切线（2）BDE60，ADB90，PDA180906030，又 PD 为半圆的切线，所以 PDO90，ADO 60 ，又 OAOD，ADO 为等边三角形， AOD60在 Rt POD 中，PD ，OD1，OP2，PAPO OA211【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可23（9 分）某店因为经营不善欠下 38400 元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金“中国梦想秀
36、”栏目组决定借给该店 30000 元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的品牌服装的进价为每件 40 元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价 x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示该店应支付员工的工资为每人每天 82 元，每天还应支付其它费用为 106 元（不包含债务）（1）求日销售量 y（件）与销售价 x（元/ 件）之间的函数关系式；（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为 48 元/件时，当天正好收支平衡（收人支出），求该店员工的人数；（3）若该店只有 2 名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？【分
37、析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分类讨论 40x58，或 58x71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案【解答】解：（1）当 40x58 时，设 y 与 x 的函数解析式为 yk 1x+b1，由图象可得，解得 y2x+140 当 58x71 时，设 y 与 x 的函数解析式为 yk 2x+b2，由图象得，解得 ，yx+82，综上所述：y ；（2）设人数为 a，当 x48 时，y248+14044，（4840）44106+82a，解得 a3；（3）设需要 b 天，该店还清所有债
38、务，则：b（x 40）y82210668400，b ，当 40x58 时，b ，x 时，2x 2+220x5870 的最大值为 180，b ，即 b380；当 58x71 时，b ，当 x 61 时，x 2+122x3550 的最大值为 171，b ，即 b400综合两种情形得 b380，即该店最早需要 380 天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55 元【点评】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键24（10 分）某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰ABC 中，AB AC，分别
39、以 AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 1 所示，其中 DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正确的是 （填序号即可）AF AG AB；MDME；整个图形是轴对称图形；DABDMB数学思考：在任意ABC 中，分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图 2 所示，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则 MD 与 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意ABC 中，仍分别以 AB 和 AC 为斜边，向ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图 3 所示，M 是
40、 BC 的中点，连接 MD 和 ME，试判断MED 的形状答： 等腰直角三角形 【分析】操作发现：由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质，直角三角形的性质就可以得出结论；数学思考：作 AB、AC 的中点 F、G，连接 DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形 AFMG 是平行四边形，从而得出 DFM MGE，根据其性质就可以得出结论；类比探究：作 AB、AC 的中点 F、G，连接 DF，MF，EG，MG，DF 和 MG 相交于 H，根据三角形的中位线的性质可以得出DFMMGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；【解答】解：操作发现：ADB 和AEC
41、 是等腰直角三角形，ABDDABACEEAC45，ADBAEC90在ADB 和AEC 中，ADBAEC（AAS），BDCE，ADAE ，DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，AFBFDF AB，AGGC GE ACABAC，AFAG AB，故正确；M 是 BC 的中点，BMCMABAC，ABCACB，ABC+ ABD ACB+ACE，即DBMECM在DBM 和ECM 中，DBMECM（SAS），MD ME故正确；连接 AM，根据前面的证明可以得出将图形 1，沿 AM 对折左右两部分能完全重合，整个图形是轴对称图形，故正确ABAC，BMCM，AMBC，AMB AMC90，ADB90，四边形 A
42、DBM 四点共圆，ADMABM ，AHD BHM，DABDMB，故正确，故答案为：数学思考：MDME，MDME理由：作 AB、AC 的中点 F、G，连接 DF，MF，EG，MG，AF AB，AG ACABD 和AEC 是等腰直角三角形，DFAB，DF AB，EGAC，EG AC，AFDAGE90，DFAF，GEAG M 是 BC 的中点，MFAC，MGAB，四边形 AFMG 是平行四边形，AGMF，MGAF，AFMAGMMFGE ，DFMG，AFM+AFDAGM+AGE，DFMMGE 在DFM 和MGE 中，DFMMGE （SAS），DM ME，FDM GMEMG AB，GMH BHMBHM9
43、0+ FDM ，BHM90+ GME ，BHMDME +GME，DME+GME 90+ GME，即DME90，MD MEDM ME，MDME；类比探究：点 M、F 、G 分别是 BC、 AB、AC 的中点，MFAC，MF AC，MGAB，MG AB，四边形 MFAG 是平行四边形，MG AF，MFAGAFMAGMADB 和AEC 是等腰直角三角形，DFAF，GEAG，AFDBFDAGE 90MFEG ，DFMG，AFMAFD AGM AGE，即DFMMGE 在DFM 和MGE 中，DFMMGE （SAS），MD ME，MDF EMGMG AB，MHD BFD 90，HMD +MDF 90，HM
44、D +EMG 90，即DME90，DME 为等腰直角三角形【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，直角三角形的斜边上的中线的性质的运用，平行四边形的判定及性质的运用，解答时根据三角形的中位线的性质制造全等三角形是解答本题的关键25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线 yax 2+bx 过 A、C 两点（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒过点 P 作 PEAB 交 AC 于点 E过点 E 作 EFAD 于点 F，交抛物线于点 G当 t 为何值时，线段 EG 最长？连接 EQ在点 P、Q 运
