1、 湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市）湖北省江汉油田（仙桃市、潜江市、天门市）2021 年中考数学真题年中考数学真题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分 ）分 ） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 3.14 B. 9 C. 3 D. 1 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得 【详解】A、3.14是有限小数，属于有理数，此项不符题意； B、93，是有理数，此项不符题意； C、3是无理数，此项符合题意； D、 1 7 是分数，属于有理数，此项不符题意； 故选：C 【点睛】本题考查了
2、算术平方根、无理数，熟记定义是解题关键 2. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图的定义即可得 【详解】解：左视图是指从左面看物体所得到的视图，则这个几何体的左视图是由两个大小不一的同心圆 组成， 观察四个选项可知，只有选项 A符合， 故选：A 【点睛】本题考查了左视图，熟记定义是解题关键 3. “大国点名没你不行”，第七次全国人口普查口号深入人心，统计数据真实可信，全国大约 1411780000 人数“1411780000”用科学记数法表示为（ ） A. 8 14.1178 10 B. 9 1.41178 10 C. 10 1.4
3、1178 10 D. 11 1.41178 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得 【详解】解：科学记数法：将一个数表示成10na的形式，其中110a，n为整数，这种记数的方法 叫做科学记数法， 则 9 14117800001.41178 10， 故选：B 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记定义是解题关键 4. 如图， 在ABC中，90C， 点 D在AC上，/DEAB， 若160CDE， 则 B的度数为 （ ） A. 40 B. 50 C. 60 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平角的定义可得20ADE，再根据平行线的性质可得20AADE ，然后根据 直
4、角三角形的两锐角互余即可得 【详解】解：160CDEQ， 18020ADECDE， /DE AB， 20AADE ， 在ABC中，90C， 9070BA ， 故选：D 【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题关键 5. 下列运算正确的是（ ） A. 23 a aa B. 3 25 aa C. 33 (2 )6aa D. 1234 aaa 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方法则逐项判断即可得 【详解】A、 23 a aa ，此项正确，符合题意； B、 3 26 aa，此项错误，不符题意； C、 33 (2 )8aa，此
5、项错误，不符题意； D、 1239 aaa，此项错误，不符题意； 故选：A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键 6. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放新闻联播”是必然事件 B. “明天下雨概率为 0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨 C. 一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是 7，众数也是 7 D. 甲乙两人在相同的条件下各射击 10 次，他们成绩的平均数相同方差分别是 2 0.2s 甲 ， 2 0.4s 乙 ，则 甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的定义、概率的定义、中位数和众数的定义、方差的
6、意义逐项判断即可得 【详解】A、“打开电视机，正在播放新闻联播”是随机事件，此项说法错误； B、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性有50%，此项说法错误； C、一组数据“6，6，7，7，8”的中位数是 7，众数是 6和 7，此项说法错误； D、因为 22 ss 乙甲 ，所以甲的成绩更稳定，此项说法正确； 故选：D 【点睛】本题考查了必然事件、概率、中位数和众数、方差，掌握理解各定义是解题关键 7. 下列说法正确的是（ ） A. 函数2yx的图象是过原点的射线 B. 直线2yx 经过第一二三象限 C 函数 2 0yx x ，y 随 x 增大而增大 D. 函数23yx，y 随 x 增大
7、而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得 【详解】A、函数2yx的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意； B、直线 2yx 经过第一二四象限，则此项说法错误，不符题意； C、函数 2 0yx x ，y随x增大而增大，则此项说法正确，符合题意； D、函数 23yx ，y随x增大而增大，则此项说法错误，不符题意； 故选：C 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质， 熟练掌握一次函数的图象与性质、 反比例函数的图象与性质是解题关键 8. 用半径为30cm， 圆心角为120的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，
8、 则这个圆锥底面半径为 （ ） A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得 【详解】解：设这个圆锥底面半径为cm r ， 由题意得： 12030 2 180 r， 解得10(cm)r ， 即这个圆锥底面半径为10cm， 故选：B 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键 9. 若抛物线 2 yxbxc与 x 轴两个交点间的距离为 4对称轴为2x，P 为这条抛物线的顶点，则点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是（ ） A. 2,4 B. 2,4
9、 C. 2, 4 D. 2, 4 【答案】A 【解析】 【分析】 设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为 12 ( ,0),(,0)xx， 且 21 xx， 根据“两个交点间的距离为 4， 对称轴为2x”建立方程可求出 12 ,x x的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P的 坐标，然后根据关于x轴的对称点的坐标变换规律即可得 【详解】解：设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为 12 ( ,0),(,0)xx，且 21 xx， 由题意得： 21 12 4 2 2 xx xx ，解得 1 2 0 4 x x ， 则抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)， 将点(0,0),
10、(4,0)代入 2 yxbxc得： 0 1640 c bc ，解得 4 0 b c ， 则抛物线的解析式为 22 4(2)4yxxx， 顶点P的坐标为(2, 4)， 则点P关于x轴的对称点的坐标是(2,4)， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数性质、关于x轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解 题关键 10. 如图， 在正方形ABCD中，4AB ， E为对角线AC上与 A， C不重合的一个动点， 过点 E作EFAB 于点 F，EGBC于点 G，连接,DE FG下列结论： DEFG；DEFG；BFGADE；FG的最小值为 3其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C.
11、 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】延长DE，交FG于点N，交AB于点M，连接BE，交FG于点O，先根据正方形的性质、三 角形全等的判定定理与性质得出DEBE，再根据矩形的判定与性质可得BEFG，由此可判断；先 根据三角形全等的性质可得ABEADE ，再根据矩形的性质可得OBOF，然后根据等腰三角形的 性质可得BFGABE，由此可判断；根据直角三角形的性质可得90ADEAMD，从而可 得90BFGAMD，由此可判断；先根据垂线段最短可得当DEAC时，DE取得最小值，再 解直角三角形可得DE的最小值，从而可得FG的最小值，由此可判断 【详解】解：如图，延长DE，交FG于点N，交AB
12、于点M，连接BE，交FG于点O， 四边形ABCD是正方形，4AB ， 4,90 ,45ADABABCBADBAEDAE ， ABE和ADE中， ABAD BAEDAE AEAE ， ()ABEADE SAS ， ,BEDEABEADE ， 90 ,ABCEFAB EGBC ， 四边形BFEG是矩形， ,BEFG OBOF ， DEFG，即结论正确； OBOF， BFGABE， BFGADE，即结论正确； 90BADQ， 90ADEAMD， 90BFGAMD， 90FNM，即DEFG，结论正确； 由垂线段最短可知，当DEAC时，DE取得最小值， 此时在RtADE中， 2 sin42 2 2 DE
13、ADDAE， 又DEFG， FG的最小值与DE的最小值相等，即为2 2，结论错误； 综上，正确的结论为，共有 3 个， 故选：C 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助 线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键 二二 填空题（本大题共填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分 ）分 ） 11. 分解因式： 42 55xx_ 【答案】 2 5(1)(1)xxx 【解析】 【分析】先提取公因式 2 5x，再利用平方差公式进行因式分解即可得 【详解】解：原式 22 5(1)xx ， 2 5(1)(1)xxx
14、， 故答案为： 2 5(1)(1)xxx 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键 12. 我国明代数学读本算法统宗一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来 量竿，却比竿子短一托如果 1 托为 5 尺，那么索长为_尺 （其大意为：现有一根竿和一条绳索，如 果用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短 5 尺，则绳索长几尺 ） 【答案】20 【解析】 【分析】设绳索长x尺，根据两种量竿的方法建立方程，解方程即可得 【详解】解：设绳索长x尺， 由题意得：55 2 x x， 解得20 x=， 即绳索长
15、20尺， 故答案为：20 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键 13. 不透明的布袋中有红黄蓝 3种只是颜色不同的钢笔各 1支，先从中摸出 1 支，记录下它的颜色，将它 放回布袋并搅匀，再从中随机摸出 1 支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色黄色各一支的概率为 _ 【答案】 2 9 【解析】 【分析】先画出树状图，从而可得这两次摸出的钢笔的所有可能的结果，再找出这两次摸出的钢笔为红色 黄色各一支的结果，然后利用概率公式即可得 【详解】解：将红黄蓝 3 种只是颜色不同的钢笔分别记为A、B、C， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，这两次摸出的钢笔的所有可能的结果共有
16、 9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，这两 次摸出的钢笔为红色黄色各一支的结果有 2种， 则所求的概率为 2 9 P ， 故答案为： 2 9 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键 14. 关于 x的方程 22 20 xmxmm 有两个实数根, 且 11 1 则m_ 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得 2 2 ,mmm，再根据 11 1 可得一 个关于m的方程，解方程即可得m的值 【详解】解：由题意得： 2 2 ,mmm， 11 1 ， 2 2 1 m mm ， 化成整式方程为 2 30mm， 解得0m或3m， 经检验，0m是所列分
17、式方程的增根，3m是所列分式方程的根， 故答案为：3 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的 关系是解题关键 15. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从 A 处沿水平方向飞行至 B 处需10s，同时在地面 C 处分别测得 A 处的仰角为75，B处的仰角为30则这架无人机的飞行高度大约 是_m（31.732，结果保留整数） 【答案】20 【解析】 【分析】过点A作ADBC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E，先解直角三角形求出,BD CD 的长，从而可得BC，再根据直角三角形的性质求出BE的长即可得 【
18、详解】解：如图，过点A作ADBC于点D，过点B作水平线的垂线，垂足为点E， 由题意得：3 1030(m)AB ，75 ,30 ,/ACEBCEAB CE ， 45 ,30ACBACEBCEABCBCE ， 在RtABD中， 1 15m 2 ADAB， cos15 3mBDABABC ， 在RtACD中，15m tan AD CD ACB ， 15 315 mBCBDCD， 在Rt BCEV中， 115 315 20(m) 22 BEBC ， 即这架无人机的飞行高度大约是20m， 故答案为：20 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键 16. 如图，在平面直
19、角坐标系中，动点 P从原点 O出发，水平向左平移 1个单位长度，再竖直向下平移 1 个单位长度得到点 1 1, 1P ； 接着水平向右平移 2个单位长度， 再竖直向上平移 2个单位长度得到点 2 P； 接着水平向左平移 3 个单位长度，再竖直向下平移 3 个单位长度得到点 3 P；接着水平向右平移 4个单位长 度，再竖直向上平移 4个单位长度得到点 4 P，按此作法进行下去，则点 2021 P的坐标为_ 【答案】( 1011, 1011) 【解析】 【分析】先根据点坐标的平移变换规律求出点 2345 ,P P P P的坐标，再归纳类推出一般规律即可得 【详解】解：由题意得： 2( 1 2, 1
20、 2) P ，即 2(1,1) P， 3(1 3,1 3) P，即 3( 2, 2) P ， 4( 2 4, 24)P ，即 4(2,2) P ， 5(2 5,25)P，即 5( 3, 3) P ， 观察可知，点 1 P的坐标为( 1, 1) ，其中12 1 1 ， 点 3 P的坐标为( 2, 2)，其中32 2 1 ， 点 5 P的坐标为( 3, 3)，其中52 3 1 ， 归纳类推得：点 21n P 的坐标为( ,)nn ，其中n为正整数， 20212 1011 1 ， 点 2021 P的坐标为( 1011, 1011)， 故答案为：( 1011, 1011) 【点睛】本题考查了点坐标的平
21、移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键 三三 解答题（本大题共解答题（本大题共 8 个题，满分个题，满分 72 分）分） 17. （1）计算： 0 3 (32)4(2 36)812 ； （2）解分式方程： 2 1 2112 x xx 【答案】 （1）8； （2）1x 【解析】 【分析】 （1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得； （2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得 【详解】解： （1）原式1 42 3622 3 ， 44， 8； （2） 2 1 2112 x xx ， 方程两边同乘以21x得：221xx， 移项、
22、合并同类项得：33x， 系数化为 1 得：1x ， 经检验，1x 是原分式方程的解， 故方程的解为1x 【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法 是解题关键 18. 已知ABC和CDE都为正三角形， 点 B， C， D 在同一直线上， 请仅用无刻度 的直尺完成下列作图， 不写作法，保留作图痕迹 （1）如图 1，当BCCD时，作ABC的中线BF； （2）如图 2，当BCCD时，作ABC的中线BG 【答案】 （1）图见解析； （2）图见解析 【解析】 【分析】 （1）连接BE，交AC于点F即可； （2）先延长,BA DE，相交于点M，再连接,AD
23、 CM，相交于点O，然后连接BO，交AC于点G即可 【详解】解： （1）如图，连接BE，交AC于点F，则BF即为所求 （2）分以下三步： 延长,BA DE，相交于点M， 连接,AD CM，相交于点O， 连接BO，交AC于点G， 则BG即为所求 【点睛】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练 掌握等边三角形的性质是解题关键 19. 为迎接中国共产党建党 100 周年，某校举行“知党史，感党恩，童心的党”系列活动，现决定组建四个 活动小组，包括 A（党在我心中演讲） ，B（党史知识竞赛） ，C（讲党史故事） ，D（大合唱） 该校随机抽取 了本校部分学生
24、进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统 计图，在扇形统计图中，“B”的圆心角为36，请结合下面两幅图中的信息解答下列问题： （1）本次共调查了_名学生，扇形统计图中“C”的圆心角度数为_； （2）请将条形统计图补充完整； （3）该校共有 1500 名学生，根据调查数据估计该校约有多少人喜欢参加“C”活动小组 【答案】 （1）50，108； （2）图见解析； （3）约有 450人 【解析】 【分析】 （1）根据“A”的条形统计图和扇形统计图的信息可得本次调查的学生总人数，根据“B”的圆 心角可得“B”所占百分比，从而可得“C”所占百分比，再将其乘以360即
25、可得； （2）根据“B”、“C”所占百分比求出它们的人数，由此补全条形统计图即可； （3）利用 1500 乘以“C”所占百分比即可得 【详解】解： （1）本次调查的学生总人数为1020%50（名） ， “B”所占百分比为 36 100%10% 360 ， 则“C”的圆心角度数为360(120% 10%40%)108， 故答案为：50，108； （2）喜欢参加“B”的人数为50 10%5（名） ， 喜欢参加“C”的人数为50 (1 20% 10%40%)15（名） ， 则补全条形统计图如下所示： （3）(120% 10%40%)4105050（人） ， 答：估计该校约有 450人喜欢参加“C”活
26、动小组 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题 关键 20. 如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点 D 在 y 轴上，A，C 两点的坐标分别为 2,0 , 2,m， 直线 1 :CD yaxb与双曲线： 2 k y x 交于 C，( 4, 1)P 两点 （1）求双曲线 2 y的函数关系式及 m的值； （2）判断点 B 是否在双曲线上，并说明理由； （3）当 12 yy时，请直接写出 x的取值范围 【答案】 （1） 2 4 y x ，2m； （2）点B在双曲线上，理由见解析； （3）40 x 或2x 【解析】 【分析】 （1）根据点(
27、 4, 1)P ，利用待定系数法可求出双曲线 2 y的函数关系式，再将点2,Cm代入双 曲线 2 y的解析式即可求出m的值； （2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，从而可得点D的坐标，再利用菱形的性质、点坐标的平移 变换规律求出点B的坐标，由此即可得出结论； （3）根据点,C P的坐标，利用函数图象法即可得 【详解】解： （1）由题意，将点( 4, 1)P 代入 2 k y x 得：4 ( 1)4k ， 则双曲线 2 y的函数关系式为 2 4 y x ， 将点2,Cm代入得： 2 2 4 m ； （2）点B双曲线上，理由如下： 由（1）可知，点C的坐标为2,2C， 将点, (,2 21)
28、,4CP 代入 1 yaxb=+得： 22 41 ab ab ，解得 1 2 1 a b ， 则 1 1 1 2 yx， 当0 x时， 1 1y ，即(0,1)D， 先将点D向右平移 2个单位，再向上平移 1 个单位可得到点C， 四边形ABCD是菱形， 点A平移至点B的方式与点D平移至点C的方式相同， 2,0A， 22,0 1B，即4,1B， 对于双曲线 2 4 y x ， 当4x 时， 2 4 1 4 y ， 即点B在双曲线上； （3） 12 yy表示的是直线 1 yaxb=+的图象位于双曲线 2 k y x 的图象的上方， 则结合函数图象得：40 x 或2x 【点睛】本题考查了反比例函数与
29、一次函数的综合、菱形的性质、点坐标的平移变换规律，熟练掌握待定 系数法是解题关键 21. 如图，AB为O直径，D 为O上一点，BCCD于点 C，交 O于点 E，CD与BA的延长线交 于点 F，BD平分ABC （1）求证：CD是O的切线； （2）若10,1ABCE，求CD和DF的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）3CD， 15 4 DF 【解析】 【分析】 （1）连接OD，先根据等腰三角形的性质可得OBDODB，再根据角平分线的定义可得 OBDCBD，从而可得ODBCBD，然后根据平行线的判定与性质可得ODCD，最后根据 圆的切线的判定即可得证； （2）连接,OD OE DE，过点D作DG
30、OE于点G，先根据等腰三角形的性质、平行线的性质可得 OEDCED，再根据角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质可得 ,1CDGD GECE ，从而可得4OG，然后在Rt ODG中，利用勾股定理可得GD的长，从而可 得CD的长；先根据圆周角定理可得2FOEABC ，再根据平行线的性质可得FODABC，从 而可得FODDOE，然后在Rt ODG中，可得 3 tan 4 GD DOE OG ，最后在RtDOF中，解直 角三角形即可得DF的长 【详解】证明： （1）如图，连接OD，则OBOD， OBDODB， BDQ平分ABC， OBDCBD， ODBCBD， /OD BC， BCCD， O
31、DCD， 又OD是O的半径， CD是O的切线； （2）如图，连接,OD OE DE，过点D作DGOE于点G， 10AB ， 1 5 2 ODOEAB， ODEOED， /OD BC， ODECED， OEDCED， ,DGOE BCCD ， CDGD（角平分线的性质） ， 在RtDEG和DECRt中， GDCD DEDE ， ()Rt DEGRt DEC HL ， 1GECE， 4OGOEGE， 在Rt ODG中， 2222 543GDODOG ， 3CDGD， 由圆周角定理得：2FOEABC ，即2FODDOEABC ， /OD BC， FODABC， 2FODDOEFOD ， 解得FODD
32、OE， Rt ODG中， 3 tan 4 GD DOE OG ， 3 tantan 4 FODDOE， 在RtDOF中， 315 tan5 44 DFODFOD 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三 角形和全等三角形是解题关键 22. 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为 6元/件的简装消毒液低价销售为 此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按 a 元/件进行补贴，设某月销售价为 x元/件，a与 x之间满足关 系式：20% 10ax，下表是某 4 个月的销售记录每月销售量y（万件）与该月销售价 x（元/件） 之间成一次
33、函数关系(69)x 月份 二月 三月 四月 五月 销售价 x（元件） 6 7 7.6 8.5 该月销售量 y（万件） 30 20 14 5 （1）求 y与 x 的函数关系式； （2）当销售价为 8 元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？ （3）当销售价 x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴） 【答案】 （1）1090yx ； （2）4万元； （3）当销售价x定为 7元/件时，该月纯收入最大 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法即可得； （2）将8x 代入20% 10ax求出a的值，代入y与x的函数关系式求出该月的销售量，再利用a乘 以该月的销售量即可
34、得； （3）设该月纯收入为w万元，先根据纯收入的计算公式求出w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的 性质求解即可得 【详解】解： （1）设y与x的函数关系式为y kxb ， 将点(6,30),(7,20)代入得： 630 720 kb kb ，解得 10 90 k b ， 则y与x的函数关系式为1090yx ； （2）当8x 时，20%10 80.4a ， 10 89010y ， 则0.4 104（万元） ， 答：政府该月应付给厂家补贴 4 万元； （3）设该月纯收入为w万元， 由题意得：( 1090)6( 1090)(20% 1( 1090)0)wxxxxx， 整理得： 2 8(5)(9)
35、8(7)32wxxx ， 由二次函数的性质可知，在69x内，当7x 时，w取得最大值，最大值为 32， 答：当销售价x定为 7 元/件时，该月纯收入最大 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键 23. 已知ABC和DEC都为等腰三角形， ,ABAC DEDCBACEDCn （1）当60n时， 如图 1，当点 D在AC上时，请直接写出 BE 与AD的数量关系；_； 如图 2，当点 D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由； （2）当90n时， 如图 3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由； 当/ /,3 2,1BEAC ABAD时，请直
36、接写出 DC 的长 【答案】 （1）BEAD；BEAD，理由见解析； （2） 2BEAD ，理由见解析；5 【解析】 【分析】 （1）先根据等边三角形的判定与性质可得,ACBC ECDC，再根据线段的和差即可得； 先根据等边三角形的性质可得60ACBDCE，从而可得BCEACD，再根据三角形全等 的判定定理与性质即可得出结论； （2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得45 , BCAC ECDC ACBDCE ，从而可得 BCEACD，再根据相似三角形的判定可得BCEACD，然后根据相似三角形的性质即可得出 结论； 设AB与EC交于点O，先根据（2）的结论可得3 2,2ACBE，再根据相似三
37、角形的判定与性 质可得 OAAC OBBE ，从而可得 3 29 2 , 44 OBOA，然后利用勾股定理、线段的和差可得 5 2ECOCOE ，最后在DECRt中，解直角三角形即可得 【详解】解： （1）当60n时，60BACEDC， ABC和DEC都为等腰三角形， ABC和DEC都为等边三角形， ,ACBC ECDC ， ACDCBCEC，即BEAD， 故答案为：BEAD； BEAD，理由如下： ABC和DEC都为等边三角形， ,60ACBC ECDCACBDCE ， ACBBCDDCEBCD，即ACDBCE， 在BCE和ACD中， BCAC BCEACD ECDC ， ()BCEACD
38、SAS ， BEAD； （2）当90n时，90BACEDC， ABC和DEC都为等腰直角三角形， 45ACBDCE ， ACBACEDCEACE ，即BCEACD， 设(0),(0)ABACa aDEDCb b， 则 2222 2 ,2BCABACa ECDEDCb ， 2 2 BCaaAC ECbDCb ， 在BCE和ACD中， BCAC ECDC BCEACD ， BCEACD， 2 2 BEBCa ADACa ， 即 2BEAD ； 如图，设AB与EC交于点O， 3 2,1ABAD， 3 2,22ACABBEAD， 设(0)OBx x，则 3 2OAAB OBx ， /BE AC， AO
39、CBOE，90OBEOAC， OAAC OBBE ，即 3 23 2 2 x x ， 解得 3 2 4 x ， 3 29 2 , 44 OBOA， 在RtAOC中， 22 15 2 4 OCACOA， 在RtBOE中， 22 5 2 4 OEBEOB， 5 2ECOCOE ， 则在DECRt中，s 2 5 25 2 coDDCECCE 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，较难 的是题（2） ，正确找出相似三角形是解题关键 24. 如图 1，已知 45RPQ， ABC中90ACB，动点 P 从点 A 出发，以2 5cm/s的速度在线段 AC上向
40、点 C 运动， ,PQ PR分别与射线AB交于 E，F 两点，且PE AB，当点 P 与点 C 重合时停止运 动，如图 2，设点 P 的运动时间为sx， RPQ 与ABC的重叠部分面积为 2 cmy，y 与 x 的函数关系由 1 5(0)Cx和 2( )5Cxn两段不同的图象组成 （1）填空：当5sx 时，EF _cm； sin A_； （2）求 y与 x 的函数关系式，并写出 x的取值范围； （3）当 2 36cmy 时，请直接写出 x的取值范围 【答案】 （1）10； 5 5 ； （2） 2 2 2(05) 34360900(56) xx y xxx ； （3）3 2 6x 【解析】 【分
41、析】 （1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EFPE，再根据5x 时，50y 即可得； 先根据运动速度和时间求出AP的长，再根据正弦三角函数的定义即可得； （2）先求出当点P与点C重合时，n的值，再分05x和5xn两种情况，解直角三角形求出PE的 长，然后利用三角形的面积公式即可得； （3）分05x和56x两种情况，分别利用二次函数的性质即可得 【详解】解： （1）,45PEABRPQ， Rt EFP是等腰直角三角形， EFPE， 由图可知，当5x 时， 2 11 50 22 yEF PEEF， 解得10EF 或10EF （不符题意，舍去） ， 故答案为：10； 由题意得：当5x 时，2
42、5 510 5AP ， 则 105 sin 510 5 PEEF A APAP ， 故答案为： 5 5 ； （2）由函数图象可知，当5x 时，点F与点B重合，如图所示： 10 5cm,10cmAPPEEF， 22 20cmAEAPPE ， 30cmABAEBEAEEF， 在Rt ABC中，sin6 5cmBCABA， 22 12 5cmACABBC ， 则当点P与点C重合时， 6( ) 2 5 AC ns ， 当05x时，2 5 cmAPx，sin2 cmEFPEAPAx， 则 22 11 2 22 Rt EFP ySEF PEEFx； 当56x时， 如图，设PR交BC于点N，过点F作FMAC
43、，交AC延长线于点M，连接BP， 2 5 cmAPx ，sin2 cmEFPEAPAx， 22 4 cmAEAPAEx ，(12 52 5 )cmCPACAPx， (304 )cmBEABAEx ，6 cmAFEFAEx， 在RtAFM中， 6 5 sincm 5 FMAFAx， 22 12 5 cm 5 AMAFFMx， 2 5 cm 5 PMAMAPx， ,90FMACACB ， /BC FM， PCNPMF， CNCP FMPM ，即 12 52 5 6 52 5 55 CNx xx ， 解得36 56 5 (cm)CNx， (6 530 5)cmBNBCCNx， 则 11 22 BNP
44、BEP ySSBN CPBE PE， 11 (6 530 5)(12 52 5 )(304 ) 2 22 xxxx， 2 34360900 xx ， 综上， 2 2 2(05) 34360900(56) xx y xxx ； （3）当05x时， 2 2yx， 令 2 236x ，解得3 2x 或3 2x （舍去） ， 在05x内，y随x的增大而增大， 当36y 时，3 2 5x ； 当56x时， 2 34360900 xxy ， 此二次函数的对称轴为 36090 34 217 x ， 则由二次函数的性质可知， 当 90 5 17 x时，y随x的增大而增大； 当 90 6 17 x时，y随x的增大而减小， 当5x 时， 2 34 5360 5 90050y ， 当6x时， 2 34 6360 69003650y ， 则当6x时，y取得最小值，最小值为 36， 即在56x内，都有36y ， 综上，当 2 36cmy 时，x的取值范围为3 2 6x 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的 是题（2） ，正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键
