1、普陀区 2019 届高三 3 月模拟练习（二模）数学试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分1已知集合 Ax|x1| 3，UR，则 UA 2已知复数 z （i 是虚数单位） ，则 Imz 133计算 2limnxC4行列式 中第 2 行第 1 列元素的代数余子式的值为10，则 k 550 2019+1 被 7 除后的余数为 6某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是 7已知 tan（+）1，tan（ ）7，则 tan2 8从 5 名同学中任选 3 人担任上海
2、进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是 9如果 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和21()nx是 10若关于 x、y 的二元一次方程组 至少有一组解，则实数 m 的取值范围是 11已知 （a 1，a 2，a 3） ， （b 1，b 2，b 3） ，且| | 3，| |4， 12，则 12已知函数 f（x ） ，若存在唯一的整数 x，使得不等式 0 成立，则实数 a 的取值范围是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13已知球
3、O 的半径为 1，A、B、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，则球心 O到平面 ABC 的距离为（ ）A B C D14在ABC 中，AB 2，BC 1.5，ABC120，若将 ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A B C D15将函数 ysin（x ）图象上的点 P（ ，t）向左平移 s（s0）个单位，得到点 P，若 P124位于函数 ysin2x 的图象上，则（ ）At ，s 的最小值为 Bt ，s 的最小值为12 6Ct ，s 的最小值为 Dt ，s 的最小值为6 1216已知 x，yR，且 ，则存在 R ，使得 xcos+ysin+10 成立的
4、P（x ，y）构成的区域面积为（ ）A4 B 4 C D +三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17 （14 分）已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，E、F 分别是棱 AB、D 1C1 的中点，联结EF、 FB1、FA 1、D 1E、A 1E、B 1E（1）求三棱锥 A1FB 1E 的体积；（2）求直线 D1E 与平面 B1EF 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18 （14 分）已知函数 f（x ）ax 22ax+2（a0）在区间1，4 上的最大值为 10（1）求 a 的值及 f（x ）的解析式；
5、（2）设 g（x） ，若不等式 g（3 x）t3 x0在 x0 ，2上有解，求实数 t 的取值范围19 （14 分）如图，某城市有一条从正西方 AO 通过市中心 O 后向东北 OB 的公路，现要修一条地铁 L，在 OA，OB 上各设一站 A，B，地铁在 AB 部分为直线段，现要求市中心 O 与 AB 的距离为 10（km ） ，设地铁在 AB 部分的总长度为 y（km） （1）按下列要求建立关系式：（i）设OAB ，将 y 表示成 的函数；（i）设 OAm，OBm 用 m，n 表示 y（2）把 A，B 两站分别设在公路上离中心 O 多远处，才能使 AB 最短？并求出最短距离20 （16 分）已
6、知动直线 l 与椭圆 C： 1 交于 P（x 1，y 1） ，Q（x 2，y 2）两个不同的点，O为坐标原点（1）若直线 l 过点（1，0） ，且原点到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程；（2）若OPQ 的面积 SOPQ ，求证：x 12+x22 和 y12+y22 均为定值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D、E、G ，使得 SODE S ODG S OEG ？若存在，判断DEG 的形状；若不存在，请说明理由21 （18 分）已知无穷数列a n的各项都不为零，其前 n 项和为 Sn，且满足 anan+1S n（nN *） ，数列b n满足 ，其中 t 为正整数nt（1）求 a2018；
7、（2）若不等式 对任意 nN *都成立，求首项 a1 的取值范围；（3）若首项 a1 是正整数，则数列b n中的任意一项是否总可以表示为数列 bn中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由参考答案一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分12，4 21 3 414 5 264 7 8 9 10 （ ，1）（1，+ ） 11 120，3 4，15二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案
8、的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13B14D15C16A三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17解：（1）正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，E、F 分别是棱 AB、D 1C1 的中点，连结 EF、FB 1、FA 1、D 1E、A 1E、B 1E三棱锥 A1FB 1E 的体积 （2）以 D 为原点，DA，DC，DD 1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4） ，E（4，2，0 ） ，B 1（4，4，4） ，F（0，2，4） ，（0，2，4） ， （4，0，4） ，
9、（4，2，4） ，设平面 B1EF 的法向量 （x ，y，z） ，则 ，取 x1，得 （1，2，1） ，设直线 D1E 与平面 B1EF 所成角的大小为 ，则 sin ，直线 D1E 与平面 B1EF 所成角的大小为 arcsin 18解：（1）f（x ）2ax2a2a（x1） ， （a0） ，令 f（x）0，解得：x1，令 f（x）0，解得：x1，故 f（x）在 1，1）递减，在（1，4递增，1（1）41，故 f（x） maxf（4）16a 8a+28a+210，解得：a 1，故 f（x）x 22x+2；（2）由（1）g（x）x + 2，若不等式 g（3 x）t3 x0在 x0 ，2上有解，
10、则 3x+ 2t3 x0在 x 0，2上有解，即 t2 2（ ）+12 + 在 x0，2上有解，令 u ，1，x0 ，2，则 t2 + 在 u ，1上有解，当 u ，1 时，2 + ，1 ，于是 t1，故实数 t 的范围是（，119解：（1） （i）过 O 作 OHAB 于 H由题意得，且即 AH10cot （2 分）即 （8 分）（ii） 由等面积原理得， 即 （10 分）（2）选择方案一：当 时 ，（12 分）此时 ，而所以 （14 分）选择方案二：因为 ，由余弦定理得 （12 分）即 （当且仅当 时取等号）（14 分）20解：（1）设直线方程为 xmy+1，原点到直线 l 的距离为 ，d
11、 ，解得 m1 时，此时直线方程为 xy10，（2）1当直线 l 的斜率不存在时，P，Q 两点关于 x 轴对称，所以 x1x 2，y 1y 2，P（x 1，y 1）在椭圆上， +y121 又S OPQ ，|x 1|y1| 由得|x 1|1，| y1| 此时 x12+x222，y 12+y221；2当直线 l 的斜率存在时，是直线 l 的方程为 ykx +m（m0） ，将其代入 +y21 得（2k 2+1）x 2+4kmx+2（m 21）0，16k 2m28（2k 2+1） （m 21）0即 2k2+1m 2，又 x1+x2 ，x 1x2 ，|PQ | ，点 O 到直线 l 的距离为 d ，S
12、OPQ |PQ|d |m|又 SOPQ ，即 |m|整理得 2k2+12m 2，此时 x12+x22（ x1+x2） 22 x1x2（ ） 22 2，y12+y22（1 x12）+（1 x22）2 （x 12+x22）1；综上所述 x12+x222，y 12+y221结论成立（3）椭圆 C 上不存在三点 D，E，G ，使得 SODE S ODG S OEG ，证明：假设存在 D（u，v） ，E（x 1，y 1） ，G（x 2，y 2） ，使得 SODE S ODG S OEG 由（2）得 u2+x122，u 2+x222，x 12+x222；v 2+y121，v 2+y221，y 12+y22
13、1解得 u2x 12x 221；v 2y 12y 22 因此 u，x 1，x 2 只能从1 中选取，v，y 1，y 2 只能从 中选取，因此点 D，E，G，只能在（1， ）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与 SODE S ODG S OEG 矛盾所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D，E，G 21解：（1）令 n1 时，a 1a2S 1，由于：无穷数列a n的各项都不为零，所以：a 21，由：a nan+1S n，所以：a n+1an+2S n+1，两式相减得：a n+2a n1，所以：数列a 2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列则： （2）由（1）知，数列a
14、 2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，数列a 2n1 的首项 a1，公差为 1 的等差数列故：a n ，所以： 当 n 为奇数时， ，即： ，即： 对任意的正奇数 n 都恒成立，所以： ，即：0a 12当 n 为偶数时， ，即： ，即： 对任意的正偶数恒成立，所以： ，即： ，综合得： （3）数列a 2n是首项为 1，公差为 1 的等差数列，数列 a2n1 的首项 a1，公差为 1 的等差数列得知：数列的各项都为正值设 bnb mbk则： 取 kn+2，则：a ka n1，故：a ma n（a n+2+t） ，当 n 为偶数时，方程 bnb mbk 的一组解是： ，当 n 为奇数时，方程 bnb mbk 的一组解是： ，故：数列 bn中的任意一项总可以表示为数列b n中的其他两项之积
