1、一、选择题1(2018合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作 周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度) 二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸) ，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A五寸 B二尺五寸C三尺五寸 D四尺五寸解析：选 B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列 an，公差为d，a 115，a 13135，则 1512d135，解得 d10.所以 a2151025，所以小暑的晷长是 25 寸故选 B.2(
2、2018益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的 数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v的值为( )A15 B16C47 D 48解析：选 D.执行程序框图，n3，x3，v 1，i20 ，v1325，i10， v53116，i 00，v163048，i10.05，不满足条件，则 n20，b2.939，a 20sin 3.090，此时12 36020|a b| 0.1510.05，不满足条件，则 n40，b3.090，a 40s
3、in 3.128，此时12 36040|a b| 0.0380.05，满足条件，故输出的 n40.故选 B.9我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，则ABC 的面积 S.若 a2sin C4sin A，(ac) 212 b 2，则用“三斜求积”公式求得14c2a2 (c2 a2 b22 )2ABC 的面积为( )A. B23C3 D. 6解析：选 A.根据正弦定理，由 a2sin C4sin A，得 ac4.再结合(ac) 212b 2，得a2c 2b 24，则 S ，故选 A.14c2a2
4、 (c2 a2 b22 )216 44 310中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述， 九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一 ”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A. B.392 752C39 D.6018解析：选 B.设下底面的长为 x ，则下底面的宽为
5、 9x.由题可知上(92 x9) 18 2x2底面矩形的长为 3，宽为 2， “刍童”的高为 3，所以其体积 V 3(32x )162(2 x3)(9x )x 2 ，故当 x 时，体积取得最大值，最大值为17x2 392 92 .故选 B.(92)292 172 392 75211(2018昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理) ：“幂势既同，则积不容异 ” “幂”是截面面积， “势”是几何体的高意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现在一旋转体 D(如图 1 所示 )，它是由抛物线
6、yx 2(x0)，直线 y4 及 y 轴围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体 D 的参照体的三视图如图 2 所示，利用祖暅原理，则旋转体 D 的体积是( )A. B6163C8 D 16解析：选 C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积 V 448 ，故旋转12体 D 的体积为 8，故选 C.12(2018郑州第一次质量预测) 刍甍，中国古代算数中的一种几何形体， 九章算术中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也” 翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶” 如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形
7、，则该茅草屋顶的面积为( )A24 B32 5C64 D 32 6解析：选 B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中 S 四边形 ABEDS 四边形ACFD，SABCS DEF.过点 A 向平面 BCFE 作垂线，垂足为 A，作 AMCF 于点 M，作 ANBC 于点 N，连接 AN，易知 AA 4，A NCM 2，CN BC2.在 RtAAN 中，AN8 42 12 2 ，在 RtANC 中，AC 2 ，AA2 AN2 42 22 5 CN2 AN2 22 （25）2 6在 Rt AMC 中，AM 2 .AC2 CM2 （26）2 22 5所以 S 四边形 ACFD (48) 2 12
8、 ，S ABC BCAN 42 4 .所以12 5 5 12 12 5 5该茅草屋顶的面积为 212 24 32 ，故选 B.5 5 5二、填空题13我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1 天长高 3 尺，莞草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2 倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0)解析：由题意得，蒲草的长度
9、组成首项为 a13，公比为 的等比数列a n，设其前 n12项和为 An；莞草的长度组成首项为 b11，公比为 2 的等比数列b n，设其前 n 项和为 Bn.则 An ，B n ，令 ，化简得 2n 7( nN *)，解得3(1 12n)1 12 2n 12 13(1 12n)1 12 2n 12 1 62n2n6，所以 n 1 3，即第 3 天时蒲草和莞草长度相等lg 6lg 2 lg 3lg 2答案：314我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 n_解析
10、：第一次循环，得 S2，否；第二次循环，得 n2，a ，A2，S ，否；12 92第三次循环，得 n3，a ，A4，S ，否；第四次循环，得14 354n4，a ，A8，S 10，是，输出的 n4.18 1358答案：415(2018广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的 详解九章算法中，用图的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角” 现将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到图所示的由数字 0 和 1 组成的三角形数表，由上往下数，记第 n 行各数字的和为 Sn，如 S11，S 22，S 32，S 44，则 S126_解析：题图中的三角形数表，从上往下数，第 1 次全行的数都为
11、1 的是第 1 行，有1 个 1，第 2 次全行的数都为 1 的是第 2 行，有 2 个 1，第 3 次全行的数都为 1 的是第 4 行，有 4 个 1，依此类推，第 n 次全行的数都为 1 的是第 2n1 行，有 2n1 个 1.第 1 行，1 个1，第 2 行，2 个 1，第 3 行，2 个 1，第 4 行，4 个 1；第 1 行 1 的个数是第 2 行 1 的个数的 ，第 2 行与第 3 行 1 的个数相同，第 3 行 1 的个数是第 4 行 1 的个数的 ；第 5 行，212 12个 1，第 6 行，4 个 1，第 7 行，4 个 1，第 8 行，8 个 1；第 5 行 1 的个数是第
12、 6 行 1 的个数的 ，第 6 行与第 7 行 1 的个数相同，第 7 行 1 的个数是第 8 行 1 的个数的 .根据以上规12 12律，当 n8 时，第 281 行有 128 个 1，即 S128128，第 127 行有 64 个 1，即 S12764，第 126 行有 64 个 1，即 S12664.答案：6416我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理) ：“幂势既同，则积不容异 ” “势”是几何体的高， “幂”是截面积意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等现有下题：在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x1) 2y 21(x1)和( x3)2y 21( x3)、两条直线 y1 和 y1 围成的封闭图形记为 D，如图所示阴影部分记D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ，过(0，y)(|y|1)作 的水平截面，所得截面面积为4 8，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为1 y2_解析：根据提示，一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱平放，一个高为 2，底面积为 8的长方体，这两个几何体与 放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即 的体积为 122282 216.答案：2 216
