1、1(2018高考全国卷)设椭圆 C： y 21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于x22A，B 两点，点 M 的坐标为(2 ，0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.解：(1)由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .(1，22) (1， 22)所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)证明：当 l 与 x 轴重合时， OMAOMB0 .当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l
2、 的方程为 yk (x1)(k0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1b0)上动点 P 到两焦点 F1，F 2 的距离x2a2 y2b2之和为 4，当点 P 运动到椭圆 C 的一个顶点时，直线 PF1 恰与以原点 O 为圆心，以椭圆 C的离心率 e 为半径的圆相切(1)求椭圆 C 的方程(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，若 PA，PB 交直线 x6 于不同的两点 M，N .问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由椭圆的定义可知 2a4，a2，若点 P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线 PF1 与圆一定相交，故点
3、P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点 P 为上顶点(0 ，b) ，F 1 为左焦点(c，0) ，则直线 PF1：bxcybc 0，由题意得原点 O 到直线 PF1 的距离等于椭圆 C 的离心率e，所以 ，bcb2 c2 ca解得 b1，故椭圆 C 的方程为 y 21.x24(2)由题意知直线 PA，PB 的斜率存在且都不为 0.设 kPA k，点 P(x0，y 0)，x 02，又 A(2，0) ，B (2，0)，所以 kPAkPB ，得 kPB ，y0x0 2 y0x0 2 14 14k直线 PA 的方程为 yk (x2)，令 x6，得 y8k，故 M(6，8k)；直线 PB 的方程为 y (
4、x2) ，令 x6，得 y ，故 N .14k 1k (6， 1k)因为 yMyN8k 80)(1)证明：k ；12(2)设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且 0.证明：| |，| |，| |成等差FP FA FB FA FP FB 数列，并求该数列的公差解：(1)证明：设 A(x1，y 1)， B(x2，y 2)，则 1， 1.两式相减，并由 k 得 k0.y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y23由题设知 1， m，于是 k .x1 x22 y1 y22 34m由题设得 0m ，故 k .32 12(2)由题意得 F(1，0)设 P(x3，y 3)，则( x31，y 3)
5、( x11，y 1)(x 21，y 2)(0，0)由(1)及题设得 x33(x 1x 2)1，y 3(y 1y 2)2m0.又点 P 在 C 上，所以 m ，从而 P ，| | .34 (1， 32) FP 32于是| | 2 .FA x12同理| |2 .FB x22所以| | |4 (x1x 2)3.FA FB 12故 2| | | | |，即| |，| |，| |成等差数列FP FA FB FA FP FB 设该数列的公差为 d，则2|d| | | |x1x 2|FB FA 12 .12（x1 x2）2 4x1x2将 m 代入得 k1.34所以 l 的方程为 yx ，代入 C 的方程，并整理得 7x214x 0.74 14故 x1x 22，x 1x2 ，代入解得|d| .128 32128所以该数列的公差为 或 .32128 32128
