1、一、选择题1设 为平面，a、b 为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A若 a，b ，则 abB若 a，ab，则 bC若 a，ab，则 bD若 a，ab，则 b解析：选 B.若 a，b ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；易知 B 正确；若a ，a b，则 b 或 b，故 C 错误；若 a ，ab，则 b 或 b 或 b 与 相交，故 D 错误故选 B.2设 l 是直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A若 l，l ，则 B若 l，l ，则 C若 ，l ，则 lD若 ，l ，则 l解析：选 B.对于 A，若 l ，l ，则 或 与 相交，故 A 错；易知 B
2、正确；对于 C，若 ，l ，则 l 或 l，故 C 错；对于 D，若 ，l ，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 错故选 B.3.如图，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC的中点，则下列命题中正确的是( )A平面 ABC平面 ABDB平面 ABD 平面 BCDC平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDED平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE解析：选 C.因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE AC，同理，DEAC，由于DEBEE ，于是 AC平面 BDE.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又 AC平面 ACD
3、，所以平面 ACD平面 BDE.故选 C.4已知 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m，n ，nm，则 ；若 m，m ，则 ；若 m，n ，mn，则 ；若 m，n ，mn，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：选 B.两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确5(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC1，AA 1 ，则异
4、面3直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( )A. B.15 56C. D.55 22解析：选 C.如图，连接 BD1，交 DB1 于 O，取 AB 的中点 M，连接DM，OM，易知 O 为 BD1 的中点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1 与 DB1 所成角因为在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB BC1，AA 1 ，AD 1 2，DM ，DB 13AD2 (12AB)2 52 ，所以 OM AD11，OD DB1 ，于是在DMO 中，由余弦定理，得512 12 52cosMOD ，即异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 ，故选 C.12 ( 52)2
5、( 52)2 2152 55 556.如图，在矩形 ABCD 中，AB ，BC1，将ACD 沿 AC 折3起，使得 D 折起后的位置为 D1，且 D1 在平面 ABC 上的射影恰好落在 AB 上，在四面体 D1ABC 的四个面中，有 n 对平面相互垂直，则n 等于( )A2 B3C4 D5解析：选 B.如图，设 D1 在平面 ABC 上的射影为 E，连接D1E，则 D1E平面 ABC，因为 D1E平面 ABD1，所以平面 ABD1平面 ABC.因为 D1E平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 D1EBC，又 ABBC，D 1EABE，所以 BC平面 ABD1，又 BC平面 BCD1，所以平面
6、 BCD1平面 ABD1，因为 BC平面 ABD1，AD 1平面 ABD1，所以 BCAD 1，又 CD1AD1，BC CD1C ，所以 AD1平面 BCD1，又 AD1平面 ACD1，所以平面 ACD1平面 BCD1.所以共有 3 对平面互相垂直故选 B.二、填空题7(2018广州调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 为 CC1 的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平面 BMN 交 AA1 于点 Q，则线段 AQ 的长为_解析：如图所示，在线段 DD1 上靠近点 D 处取一点 T，使得DT ，因为 N 是线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，故
7、 D1N ，13 23故 NT 2 1，因为 M 为 CC1 的中点，故 CM1，连接13 23TC，由 NTCM ，且 CMNT 1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CTMN，同理在AA1 上靠近 A 处取一点 Q，使得 AQ ，连接 BQ，TQ ，则有 BQCTMN，故 BQ与13MN 共面，即 Q与 Q 重合，故 AQ .13答案：138.如图，ACB90，DA平面 ABC，AEDB 交 DB 于点E，AFDC 交 DC 于点 F，且 ADAB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_解析：因为 DA平面 ABC，所以 DABC，又 BCAC，DAAC A，所以 BC平面 ADC，所
8、以 BCAF.又 AFCD，BC CDC，所以 AF平面 DCB，所以AF EF，AF DB.又 DBAE，AE AFA，所以 DB平面 AEF，所以 DE 为三棱锥DAEF 的高因为 AE 为等腰直角三角形 ABD 斜边上的高，所以 AE ，设2AF a，FEb，则AEF 的面积 S ab ，所以三棱锥 DAEF 的体12 12a2 b22 12 22 12积 V (当且仅当 ab1 时等号成立) 13 12 2 26答案：269(2018昆明调研)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAD4，AA 12.过点 A1 作平面 与 AB，AD 分别交于 M，N 两点，若 AA1 与平面
9、所成的角为 45，则截面 A1MN 面积的最小值是_解析：如图，过点 A 作 AEMN，连接 A1E，因为A1A平面 ABCD，所以 A1AMN，所以 MN平面 A1AE，所以 A1EMN，平面 A1AE平面 A1MN，所以AA 1E 为 AA1与平面 A1MN 所成的角，所以AA 1E45 ，在 RtA1AE 中，因为 AA12，所以AE 2，A 1E2 ，在 RtMAN 中，由射影定理得 MEENAE 24，由基本不等式得2MNMEEN 2 4，当且仅当 MEEN，即 E 为 MN 的中点时等号成立，所以MEEN截面 A1MN 面积的最小值为 42 4 .12 2 2答案：4 2三、解答题
10、10.如图，在三棱锥 ABCD 中， ABAD，BC BD，平面 ABD平面 BCD，点 E、F( E 与 A、D 不重合) 分别在棱 AD、BD 上，且EF AD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)AD AC.证明：(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以 EFAB .又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD ，BC平面 BCD 且 BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又因为 ABAD，BC ABB，AB平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 A
11、D平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.11.如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD，ACD 为等边三角形，ADDE2AB，F 为 CD 的中点求证：(1)AF平面 BCE；(2)平面 BCE 平面 CDE.证明：(1)如图，取 CE 的中点 G，连接 FG，BG .因为 F 为 CD 的中点，所以 GFDE 且 GF DE.12因为 AB平面 ACD，DE 平面 ACD，所以 ABDE，所以 GFAB.又因为 AB DE，所以 GF AB.12所以四边形 GFAB 为平行四边形，则 AFBG .因为 AF平面 BCE，BG平面 BCE，所以 AF平面 BCE.(
12、2)因为ACD 为等边三角形，F 为 CD 的中点，所以 AFCD.因为 DE平面 ACD，AF 平面 ACD，所以 DEAF.又 CDDED，所以 AF平面 CDE.因为 BGAF，所以 BG平面 CDE.又因为 BG平面 BCE，所以平面 BCE平面 CDE.12如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC ，DE ，得到如图 2所示的几何体(1)求证：AB平面 ADC；(2)若 AD1， AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成角的正切值为 ，求点 B 到平面6ADE
13、的距离解：(1)证明：因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，又 DCBD，DC平面 BCD，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DCAB .又因为折叠前后均有 ADAB，且 DCADD，所以 AB平面 ADC.(2)由(1)知 DC平面 ABD，所以 AC 在平面 ABD 内的正投影为 AD，即CAD 为 AC 与其在平面 ABD 内的正投影所成的角依题意知 tan CAD ，DCAD 6因为 AD1，所以 DC .6设 ABx(x0)，则 BD ，x2 1易知ABDDCB，所以 ，ABAD DCBD即 ，解得 x ，x1 6x2 1 2故 AB ，BD ，BC3.2 3由于 AB平面 ADC，所以 ABAC，又 E 为 BC 的中点，所以由平面几何知识得 AE ，BC2 32同理 DE ，BC2 32所以 SADE 1 .12 (32)2 (12)2 22因为 DC平面 ABD，所以 VABCD CDSABD .13 33设点 B 到平面 ADE 的距离为 d，则 dSADEV BADEV ABDE VABCD ，13 12 36所以 d ，即点 B 到平面 ADE 的距离为 .62 62
