1、第三单元 函数,课时 14 二次函数的图像和性质,二次函数的定义及解析式 二次函数的图象和性质 二次函数解析式的确定及函数图象的平移 二次函数与方程的关系,考点自查,考点自查,1.二次项系数a 二次函数y=ax2+bx+c中,a作为二次项系数,显然a0. (1)当a0时,抛物线的开口 ; (2)当a0时,抛物线与y轴的交点在y轴 半轴上; (2)当c=0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点; (3)当c0时,抛物线与x轴有 个交点; 当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有 个交点; 当b2-4ac0时为例,揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系:,对点自评,1.对于二次函数y=-(x-1)2+2的
2、图象与性质,下列说法正确的是( ) A.对称轴是直线x=1,最小值是2 B.对称轴是直线x=1,最大值是2 C.对称轴是直线x=-1,最小值是2 D.对称轴是直线x=-1,最大值是2,2.抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得新抛物线的解析式为( ) A.y=(x+2)2+3 B.y=(x-2)2+3 C.y=(x+2)2-3 D.y=(x-2)2-3,B,B,3.若抛物线y=(x-m)2+m+1的顶点在第一象限,则m的取值范围为( ) A.m1 B.m0 C.m-1 D.-1m0,b2-4ac0 C.abc0,b2-4ac0,图16-1,5.已知二次函数y=(x-2)2+
3、3,当x 时,y随x的增大而减小.,答案 B,ax2+bx+c的解集是 .,图16-2,6.若二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n= .,答案 4,解析 二次函数y=x2-4x+n的图象与x轴只有一个公共点,说明“=b2-4ac=0”,即(-4)2-41n=0.所以n=4.,答案 x4,解析 由函数图象可知,在点A的左侧和点B的右侧,一次函数的函数值都大于二次函数的函数值. A(-1,p),B(4,q),关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是x4.,8.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),对称轴是直线x=-1,则a+b+c= .,答案 0,解析 点
4、A(-3,0)关于直线x=-1的对称点是点(1,0),故当x=1时,a+b+c=0.,【失分点】二次函数图象的顶点坐标公式中横坐标的符号选取记忆混乱;二次函数求最值忽视自变量取值范围对结果的影响.,9.将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,则h= ,k= .,10.在-2x4这个范围内,二次函数y=x2的最大值是 ,最小值是 .,1,2,16,0,解: (2)当x=-1时,y有最小值-3.,解: (3)抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,当x-1时,y随x的增大而减小.,拓展1 2018成都 关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是 ( ) A.图象与y轴的交
5、点坐标为(0,1) B.图象的对称轴在y轴的右侧 C.当xy2y1 B.y3y1= y2 C.y1y2y3 D.y1=y2y3,D,D,图16-3,图16-4,答案 A,拓展4 已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a0),下列结论正确的是( ) A.当a=1时,函数图象经过点(-1,0) B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点 C.若a0,则当x1时,y随x的增大而增大,答案 D,解析 A.当a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,当x=-1时,y=1+2-1=2, 当a=1时,函数图象经过点(-1,2),A选项不符合题意; B.当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1, 令
6、y=-2x2+4x-1=0,则=42-4(-2)(-1)=80,当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,B选项不符合题意; C.y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a, 二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当-1-a-1,C选项不符合题意; D.y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,二次函数图象的对称轴为直线x=1.若a0,则当x1时,y随x的增大而增大,D选项符合题意.故选D.,【方法模型】 (1)当已知抛物线上三点坐标求二次函数的解析式时,一般采用一般式y=ax2+bx+c. (2)当已知抛物线的顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求二次函数的解析式时,一般采用
7、顶点式y=a(x-h)2+k. (3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时,一般采用交点式y=a(x-x1)(x-x2).,解: (2)由顶点A(-1,4),可设二次函数关系式为y=a(x+1)2+4(a0).二次函数的图象过点B(2,-5), -5=a(2+1)2+4,解得a=-1.二次函数的关系式是y=-(x+1)2+4.,解: (3)方法一:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把C(0,-3)代入得a1(-3)=-3,解得a=1, 所以这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.,拓展 如图16-5,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴
8、交于点A(2,0). (1)求此抛物线的解析式; (2)写出顶点坐标及对称轴; (3)若抛物线上有一点B,且SOAB=3,求点B的坐标.,图16-5,解：(2)y=x2-2x=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1.,例3 2018哈尔滨 将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为( ) A.y=-5(x+1)2-1 B.y=-5(x-1)2-1 C.y=-5(x+1)2+3 D.y=-5(x-1)2+3,答案 A,解析 给的抛物线解析式可以看作顶点式,顶点为(0,1),平移可以看作是顶点移动到(-1,-1),所以选A.,拓展2
9、 2016柳州 将抛物线y=2x2向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为 .,B,y=2x2+1,例4 已知y=ax2+bx+c的图象如图16-6,则:a 0,b 0,c 0,a+b+c 0, a-b+c 0,b2-4ac 0.(用“”或“,0;2a-b=0;c-a=3.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,图16-7,答案 B,例5 若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为 ( ) A.x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1,答案 C,解析 二次函数y=ax2
10、-2ax+c的图象经过点(-1,0), 方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1. 抛物线的对称轴为直线x=1, 二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0). 方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3. 故选C.,拓展1 2015柳州 如图16-8,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y0时,自变量x的取值范围是( ) A.x0 D.x4,图16-8,B,拓展2 2014柳州 小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图16-9,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( ) A.无解 B.x=1 C.x
11、=-4 D.x=-1或x=4,图16-9,答案 D,解析 函数y=x2+ax+b的图象与x轴交点的坐标分别是(-1,0),(4,0), 关于x的方程x2+ax+b=0的解是x=-1或x=4.故选D.,拓展3 若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为 ( ) A.x1=1,x2=-7 B.x1=-1,x2=-7 C.x1=1,x2=7 D.x1=-1,x2=7,D,【方法点析】 本题的已知条件简洁,结论明了,似乎没有什么可挖掘或拓广的,其实此题目乃平中见奇,内涵丰富,不但解法多样,而且数形结合思想、函数与方程思想贯穿其中,若要画图,还需分情况讨论.适当
12、改变条件,可得出许多新颖的题目.,教材母题人教版九上P47习题T4 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.,教材母题人教版九上P47习题T4 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),求这条抛物线的对称轴.,解：方法二:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点坐标是(-1,0),(3,0),抛物线的解析式可设为y=a(x+1)(x-3)(a0),即y=a(x2-2x-3)=a(x-1)2-4a(a0).抛物线的对称轴为直线x=1.,解：方法三:抛物线是关于对称轴对称的,且其对称轴与x轴垂直,对称轴必过点(-1,0),
13、(3,0)的中点.抛物线的对称轴为直线x=1.,拓展 2017南京 已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (1)该函数的图象与x轴公共点的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 (2)求证:不论m为何值,该函数图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上. (3)当-2m3时,求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围.,D,【思路提示】 当y=0时,-x2+(m-1)x+m=0, 则b2-4ac=(m-1)2+4m=(m+1)20, 所以一元二次方程有两个相等或两个不相等的实数根, 即对应的二次函数图象与x轴有1个或2个交点.,拓展 2017南京 已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数). (3)当-2m3时,求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围.,
