1、8.4 因式分解,第8章 整式乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,2.公式法,1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想（重点） 2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解（难点）,导入新课,情境引入,如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？,a2- b2=(a+b)(a-b),讲授新课,想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？,是a,b两数的平方差的形式,两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.,平方差公式：,辨一辨：下列多项
2、式能否用平方差公式来分解因式，为什么？,两数是平方， 减号在中央,（1）x2+y2,（2）x2-y2,（3）-x2-y2,-(x2+y2),y2-x2,（4）-x2+y2,（5）x2-25y2,(x+5y)(x-5y),（6）m2-1,(m+1)(m-1),例1 分解因式：,a,a,b,b,a2 - b2 =,解:(1)原式=,2x,3,2x,2x,3,3,(2)原式,整体思想,a,b,典例精析,方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.,分解因式： (1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2.,针对训
3、练,(2m4n)(4m2n),解：(1)原式(ab2a)(ab2a),(ba)(3ab)；,(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn),4(m2n)(2mn),当场编题，考考你！,例2 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值,xy2.,解：x2y2(xy)(xy)2，,xy1，,联立组成二元一次方程组，,解得,方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.,例3 计算下列各题： (1)1012992； (2)53.524-46.524.,解：(1)原式(10199)(10199)400；,(2)原式4(53.5246.52
4、),=4(53.546.5)(53.546.5),41007=2800.,方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.,例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除,即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除,证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n，,n为整数，,8n被8整除，,方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除,你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？,同学们拼出图形为：,这个大正方形的面积可以怎么求？,（a+b
5、）2,a2+2ab+b2,=,将上面的等式倒过来看，能得到：,a2+2ab+b2,a22ab+b2,我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全平方式.,观察这两个式子：,（1）每个多项式有几项？,（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？,（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？,三项,这两项都是数或式的平方，并且符号相同,是第一项和第三项底数的积的2倍,完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的2倍.,完全平方式:,简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.,凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平
6、方形式，便实现了因式分解.,+b2,=(a b),a2,首2,+尾2,2首尾,(首尾)2,两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.,3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ),2.m-6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ),1. x+4x+4= ( ) +2( )( )+( ) =( ),x,2,x + 2,a,a 2b,a + 2b,2b,对照 a2ab+b=(ab)，填空：,m,m - 3,3,x,2,m,3,下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4; （2）1+4a;（3）4b2+4b-1; （4）a2
7、+ab+b2;（5）x2+x+0.25.,是,（2）因为它只有两项；,不是,（3）4b与-1的符号不统一；,不是,分析：,不是,是,（4）因为ab不是a与b的积的2倍.,例5 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9,B,解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.,变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为_.,解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.,8,典例精析,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关
8、系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解,例6 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.,分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3,24x=24x3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 24x3 + (3)2.,+b2,a2,(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy +4y2),然后再利用公式分解因式.,解： (1)16x2+ 24x +9,= (4x + 3)2；,= (4x)2 + 24x3 + (3)2,(2)-x2+ 4xy-4y2,=-(
9、x2-4xy+4y2),=-(x-2y)2.,例7 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002210099+99； (2)3423432162.,解：(1)原式=（10099),(2)原式(3416)2,=1.,2500.,例8 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值,112121.,解：x24xy210y290，,(x2)2(y5)20.,(x2)20，(y5)20，,x20，y50，,x2，y5，,x2y22xy1(xy1)2,方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答问题,1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) Aa
10、2(b)2 B5m220mn Cx2y2 Dx29,当堂练习,D,2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（ ） A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3) C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3),D,3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）,A-21 B21 C-10 D10,A,4.把下列各式分解因式： (1) 16a2-9b2=_; (2) (a+b)2-(a-b)2=_; (3) -a4+16=_.,(4a+3b)(4a-3b),4ab,(4+a2)(2+a)(2-a),5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_.
11、,4,6.把下列多项式因式分解.（1）x212x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3) y2+2y+1x2;,(2)原式=2(2a+b) 22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;,解：(1)原式 =x22x6+(6)2=(x6)2;,(3)原式=(y+1) x=(y+1+x)(y+1x).,7.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值,原式=-405=-200,解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n),=(4m+n)(3n-2m),=-(4m+n)（2m-3n)，,当4m+n=40，2m-3n=5时，,(2)原式,8.计算：(1)38.92238.948.948.92.,解：(1)原式(38.948.9)2,100.,课堂小结,公式法因式分解,公式,平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b),步骤,一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.,完全平方公式a22ab+b2=(ab)2,
