1、2017-2018 学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷一、每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D2若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx0 Cx0 Dx 0 且 x13下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）A3，5，7 B5，7，8 C4，6，7 D1， ，24一个直角三角形的两条直角边分别为 5、12，则斜边上的中线为（ ）A B C D5若平行四边形中两个内角的度数比为 1：3，则其中较小的内角是（ ）A30 B45 C60 D756如图，矩形 ABCD
2、 的对角线 AC8cm ，AOD120，则 AB 的长为（ ）A cm B2cm C2 cm D4cm7如图，在菱形 ABCD 中，AB5，B：BCD1：2，则对角线 AC 等于（ ）A5 B10 C15 D208已知 x +1，y 1，则 x2+xy+y2 的值为（ ）A10 B8 C6 D49如图矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F处，折痕为 AE，且 EF3则 AB 的长为（ ）A3 B4 C5 D610将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1，A 2，An 分别是正方形对角线的交点，则 n 个正方形
3、重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）A cm2 B cm2 C cm2 D（ ） ncm2二、填空题（每小题 3 分，共 15 分；只要求填写最后结果）11比较大小：4 （填“”或“”）12如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CEBD，连结 AE，如果ADB30，则E 度13ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 ACBD，请添加一个条件： ，使得ABCD 为正方形14如图，等边BCP 在正方形 ABCD 内，则APD 度15如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD4，ABC60，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H
4、，则DEF 的面积是 三、解答题16（8 分）计算：（1）（ + ）（ ）；（2）（ + ） +17（6 分）如图，在ABCD 中，已知 AB8，周长等于 24，求其余三边的长18（7 分）如图，已知 CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m；求图中阴影部分的面积19（8 分）如图，已知菱形 ABCD 的边 AB 长 5cm，一条对角线 AC 长 6cm，求这个菱形的周长和它的面积20（8 分）已知：如图，在ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点F，连接 BF（1）求证：ABEFCE ；（2）若 AFAD，求证：四边形 ABFC 是矩形2
5、1（8 分）阅读下面材料，回答问题：（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由（2）请你利用上面所学的方法化简 22（10 分）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由（2）性质探究：试探索垂美四边形 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）（3）问题解决：如图 3，分
6、别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG ，GE，已知 AC4，AB5 ，求 GE 长2017-2018 学年山东省济宁市曲阜市八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D【分析】根据最简二次根式的定义即可判断【解答】解：A、原式3，故 A 不是最简二次根式，B、原式2 ，故 B 不是最简二次根式，C、原式 ，故 C 不是最简二次根式，故选：D【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解
7、最简二次根式，本题属于基础题型2若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）Ax1 Bx0 Cx0 Dx 0 且 x1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出x 的范围【解答】解：根据题意得： ，解得：x0 且 x1故选：D【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数3下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（ ）A3，5，7 B5，7，8 C4，6，7 D1， ，2【分析】分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形【解答】解：A、因为 32+
8、527 2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为 52+728 2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为 42+627 2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为 12+（ ） 22 2，能构成直角三角形，此选项正确故选：D【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断4一个直角三角形的两条直角边分别为 5、12，则斜边上的中线为（ ）A B C D【分析】由勾股定理可以求出斜边，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可以求出斜边中线的长【解答】解：由勾股定
9、理知，斜边 c 13，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，斜边中线的长 ，故选：C【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半5若平行四边形中两个内角的度数比为 1：3，则其中较小的内角是（ ）A30 B45 C60 D75【分析】首先设平行四边形中两个内角分别为 x，3x，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x180，继而求得答案【解答】解：设平行四边形中两个内角分别为 x，3x，则 x+3x180，解得：x45，其中较小的内角是 45故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质注意平行四边形的邻角互补6如图，矩形 ABCD 的对角线 AC8cm ，AOD12
10、0，则 AB 的长为（ ）A cm B2cm C2 cm D4cm【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得 AOBO AC，再根据邻角互补求出AOB的度数，然后得到AOB 是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解【解答】解：在矩形 ABCD 中，AOBO AC4cm ，AOD 120 ，AOB18012060，AOB 是等边三角形，ABAO 4cm故选：D【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出AOB 是等边三角形是解题的关键7如图，在菱形 ABCD 中，AB5，B：BCD1：2，则对角线 AC 等于（ ）A5 B10 C15 D20【分析】根据题意可得出B60，结合
11、菱形的性质可得 BABC，判断出ABC 是等边三角形即可得到 AC 的长【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，B+BCD180，ABBC，B：BCD1：2，B60，ABC 是等边三角形，ABBCAC5故选：A【点评】此题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出ABC 是等边三角形是解答本题的关键，难度一般8已知 x +1，y 1，则 x2+xy+y2 的值为（ ）A10 B8 C6 D4【分析】根据 x +1，y 1，可以求得 x+y 和 xy 的值，从而可以求得所求式子的值【解答】解：x +1，y 1，x+y2 ，xy2，x 2+xy+y2（x+y） 2xy12210，
12、故选：A【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法9如图矩形纸片 ABCD 中，已知 AD8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F处，折痕为 AE，且 EF3则 AB 的长为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】先根据矩形的特点求出 BC 的长，再由翻折变换的性质得出CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出 CF 的长，再在 ABC 中利用勾股定理即可求出 AB 的长【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，AD8，BC8，AEF 是AEB 翻折而成，BEEF3，ABAF ，CEF 是直角三角形，CE835，在 Rt CEF 中，CF 4
13、，设 ABx，在 Rt ABC 中，AC 2AB 2+BC2，即（x+4） 2x 2+82，解得 x6，故选：D【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键10将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1，A 2，An 分别是正方形对角线的交点，则 n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（ ）A cm2 B cm2 C cm2 D（ ） ncm2【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部分
14、即为 n1 阴影部分的和【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 4，n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 （n1） 故选：B【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积二、填空题（每小题 3 分，共 15 分；只要求填写最后结果）11比较大小：4 （填“”或“”）【分析】根据二次根式的性质求出 4，比较 和 的值即可【解答】解：4 ， ，4 ，故答案为：【点评】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道
15、 4 ，题目较好，难度也不大12如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CEBD，连结 AE，如果ADB30，则E 15 度【分析】连接 AC，由矩形性质可得 E DAE、BD ACCE，知ECAE，而ADBCAD30，可得E 度数【解答】解：连接 AC，四边形 ABCD 是矩形，ADBE，AC BD，且ADBCAD30，EDAE ，又BDCE，CECA，ECAE，CADCAE+DAE ，E+E30，即E15，故答案为：15【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键13ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 ACBD，请添加一个
16、条件： BAD 90 ，使得ABCD 为正方形【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可【解答】解：ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 ACBD，ABCD 是菱形，当BAD90时，ABCD 为正方形故答案为：BAD90【点评】本题考查了正方形的判定：先判定平行四边形是菱形，判定这个菱形有一个角为直角14如图，等边BCP 在正方形 ABCD 内，则APD 150 度【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出 ABBPCPCD，ABPDCP30，由三角形内角和定理求出BAPBPACDPCPD75，再求出PADPDA15，然后由三角形内角和定理求出APD 即可【解答】解：四边形 A
17、BCD 是正方形，ABBCCDDA，BADABCBCDCDA90，BCP 是等边三角形，BPCPBC，PBC BCP BPC60，ABBPCPCD，ABPDCP906030，BAP BPACDPCPD （18030）75，PADPDA907515，APD1801515150；故答案为：150【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键15如图，在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD4，ABC60，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则DEF
18、 的面积是 【分析】根据平行四边形的性质得到 ABCD3，ADBC4，求出 BE、BF、EF，根据相似得出 CH1，EH ，根据三角形的面积公式求 DFH 的面积，即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC4，AB CD ，ABCD3，E 为 BC 中点，BECE2，B60，EF AB，FEB 30，BF1，由勾股定理得：EF ，ABCD，BFE CHE， 1，EFEH ，CHBF1，S DHF DHFH （1+3）2 4 ，S DEF SDHF 2 ，故答案为：2 【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形，三角形的面积，
19、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键三、解答题16（8 分）计算：（1）（ + ）（ ）；（2）（ + ） +【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）先计算除法、化简二次根式，再计算乘法和加法可得【解答】解：（1）原式3 +3 2 +5 8 + ；（2）原式 + +2 + +2 + 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则17（6 分）如图，在ABCD 中，已知 AB8，周长等于 24，求其余三边的长【分析】由在ABCD 中，AB8，ABCD 的周长等于 24，根据平行四边形
20、的对边相等，即可求得 CDAB 8，AB +BC12，继而求得答案【解答】解：ABCD 的周长等于 24，ABCD，ADBC，AB+BC12，AB8，CDAB 8，ADBC4【点评】此题考查了平行四边形的性质注意平行四边形的对边相等，即可求得 AB+BC1218（7 分）如图，已知 CD6m，AD8m，ADC90，BC24m，AB26m；求图中阴影部分的面积【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出ACB 为直角三角形，再根据 S 阴影 ACBC ADCD 即可得出结论【解答】解：在 RtADC 中，CD6 米，AD8 米，BC24 米，AB26 米，AC 2AD 2
21、+CD28 2+62100，AC10 米（取正值）在ABC 中，AC 2+BC210 2+242676，AB 226 2676AC 2+BC2AB 2，ACB 为直角三角形，ACB90S 阴影 ACBC ADCD 1024 8696（米 2）答：图中阴影部分的面积为 96 米 2【点评】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出 ACB 为直角三角形19（8 分）如图，已知菱形 ABCD 的边 AB 长 5cm，一条对角线 AC 长 6cm，求这个菱形的周长和它的面积【分析】根据菱形的性质和勾股定理可以求得 BD 的
22、长，从而可以求得这个菱形的周长和它的面积【解答】解：设 BD 与 AC 交于点 O，四边形 ABCD 是菱形，AB5cm，AC 6cm ，AO3cm，ACBD，AOB90，BO ，BD8，这个菱形的周长是：5420cm，面积是： 24cm 2，即这个菱形的周长是 20cm，面积是 24cm2【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答20（8 分）已知：如图，在ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点F，连接 BF（1）求证：ABEFCE ；（2）若 AFAD，求证：四边形 ABFC 是矩
23、形【分析】（1）根据平行四边形性质得出 ABDC，推出12，根据 AAS 证两三角形全等即可；（2）根据全等得出 ABCF，根据 ABCF 得出平行四边形 ABFC，推出 BCAF，根据矩形的判定推出即可【解答】证明：（1）如图四边形 ABCD 是平行四边形，ABDC 即 ABDF，12，点 E 是 BC 的中点，BECE在ABE 和FCE 中，ABE FCE（AAS ）（2）ABEFCE，ABFC，ABFC，四边形 ABFC 是平行四边形，ADBC，AFAD ，AFBC，四边形 ABFC 是矩形【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题主
24、要考查学生运用定理进行推理的能力21（8 分）阅读下面材料，回答问题：（1）在化简 的过程中，小张和小李的化简结果不同；小张的化简如下： 小李的化简如下： 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由（2）请你利用上面所学的方法化简 【分析】（1）利用二次根式的性质对他们的化简结果进行判断；（2）利用完全平方公式把原式变形为 ，然后根据二次根式的性质化简即可【解答】解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误因为 | | ；（2）原式 1【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特
25、点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍22（10 分）如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由（2）性质探究：试探索垂美四边形 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）（3）问题解决：如图 3，分别以 RtACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE，连接 CE，BG ，GE，
26、已知 AC4，AB5 ，求 GE 长【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算【解答】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形证明：ABAD ，点 A 在线段 BD 的垂直平分线上，CBCD，点 C 在线段 BD 的垂直平分线上，直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线，ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等如图 2，已知四边形 ABCD 中，ACBD ，垂足为 E，求证：AD 2+BC2AB 2+CD2证明：ACBD，AEDAEBBECC
27、ED90，由勾股定理得，AD 2+BC2AE 2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2AE 2+BE2+CE2+DE2，AD 2+BC2AB 2+CD2；（3）连接 CG、BE，CAGBAE90，CAG+BACBAE +BAC，即GABCAE ，在GAB 和CAE 中，GABCAE，ABGAEC，又AEC +AME 90，ABG+AME90，即 CEBG ，四边形 CGEB 是垂美四边形，由（2）得，CG 2+BE2CB 2+GE2，AC4，AB 5，BC3，CG4 ，BE 5 ，GE 2CG 2+BE2CB 273，GE 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键
