1、 2019 届九年级上第一次月考数学试题一填空题（满分 30 分，每小题 3 分）1一元二次方程 x2+2 x60 的根是 2方程 x（ x5）2 x 的根是 3若二次函数 y ax2+2x+1 的图象与 x 轴有两个不相同的交点，则 a 的取值范围是 4已知二次函数的解析式为 y x2+1，那么这个二次函数的图象在对称轴右侧部分是 的 （填“上升”或“下降” ）5如图，抛物线 y x22 x+k（ k0）与 x 轴相交于 A（ x1，0） 、 B（ x2，0）两点，其中x10 x2，当 x x1+2 时， y 0（填“” “”或“”号） 6两抛物线 y x2+1， y x21 与两条和 y
2、轴平行的直线 x2， x2 围成的封闭图形的面积为 7若关于 x 的一元二次方程 x22 mx4 m+10 有两个相等的实数根，则（ m2）22 m（ m1）的值为 8某快递公司十月份快递件数是 10 万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为 x（ x0） ，十二月份的快递件数为 y 万件，那么 y 关于 x 的函数解析式是 9设 a， b 是方程 x2+x20110 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为 10为响应“足球进校园”的号召，我县教体局在今年 11 月份组织了“县长杯”校园足球比赛在某场比赛中，一个球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（ m）可用公式h5 t2+v0
3、t 表示，其中 t（ s）表示足球被踢出后经过的时间， v0（ m/s）是足球被踢出时的速度，如果足球的最大高度到 20m，那么足球被踢出时的速度应达到 m/s二选择题（满分 30 分，每小题 3 分）11下列方程是一元二次方程的是（ ）A x2 y1 B x2+2x3 0 C x2+ 3 D x5 y612抛物线 y（ x2） 2+3 的顶点坐标是（ ）A （2，3） B （2，3） C （2，3） D （2，3）13二次函数 y2 x2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A b0， c0 B b0， c0 C b0， c0 D b0， c014若一元二次方程 x2 x60
4、的两根为 x1， x2，则 x1+x2的值为（ ）A1 B1 C0 D615已知 x a 是方程 x23 x50 的根，代数式 a23 a+4 的值为（ ）A6 B9 C14 D616如图， A1、 A2、 A3是抛物线 y ax2（ a0）上的三点， A1B1、 A2B2、 A3B3分别垂直于x 轴，垂足为 B1、 B2、 B3，直线 A2B2交线段 A1A3于点 C A1、 A2、 A3三点的横坐标为连续整数 n1、 n、 n+1，则线段 CA2的长为（ ）A a B2 a C n D n117某商品的进价为每件 40 元，当售价为每件 80 元时，每星期可卖出 200 件，现需降价处理，
5、且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 8 件，店里每周利润要达到 8450元若设店主把该商品每件售价降低 x 元，则可列方程为（ ）A （80 x） （200+8 x）8450 B （40 x） （200+8 x）8450C （40 x） （200+40 x）8450 D （40 x） （200+ x）845018如图，已知一商场自动扶梯的长 l 为 13 米，高度 h 为 5 米，自动扶梯与地面所成的夹角为 ，则 tan 的值等于（ ）A B C D19某商店现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为
6、每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6080 元利润，应将销售单价定为（ ）A56 元 B57 元 C59 元 D57 元或 59 元20用配方法解方程 x2+2x30，下列配方结果正确的是（ ）A （ x1） 22 B （ x1） 24 C （ x+1） 22 D （ x+1） 24三解答题（满分 60 分，每小题 10 分）21 （10 分）解方程：（1） x2+2x1； （2） （ x3） 2+2（ x3）022 （10 分）如图 1，抛物线 y ax2+b 的顶点坐标为（0，1） ，且经过点 A（2，0） （1）求抛物线的解析式；（2）若将抛物线 y ax2+b 中在
7、x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方， x 轴上方的图象保持不变，就得到了函数 y| ax2+b|图象上的任意一点 P，直线 l 是经过（0，1）且平行与 x 轴的直线，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 D，猜想并探究： PO 与 PD 的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由（注：在解题过程中，如果你觉得有困难，可以阅读下面的材料）附阅读材料：1在平面直角坐标系中，若 A、 B 两点的坐标分别为 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 A， B 两点间的距离为| AB| ，这个公式叫两点间距离公式例如：已知 A， B 两点的坐标分别为（1，2） ，
8、 （2，2） ，则 A， B 两点间的距离为| AB|52因式分解： x4+2x2y2+y4（ x2+y2） 223 （10 分）如图，直线 AB 和抛物线的交点是 A（0，3） ， B（5，9） ，已知抛物线的顶点D 的横坐标是 2（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在 x 轴上是否存在一点 C，与 A， B 组成等腰三角形？若存在，求出点 C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线 AB 的下方抛物线上找一点 P，连接 PA， PB 使得 PAB 的面积最大，并求出这个最大值24 （10 分）水果店张阿姨以每斤 2 元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤 4 元的价格出售，每天可售出
9、 100 斤通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低 0.1 元，每天可多售出 20 斤为了保证每天至少售出 260 斤，张阿姨决定降价销售（1）若将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是 斤（用含 x 的代数式表示） ；（2）销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？（3）当每斤的售价定为多少元时，每天获利最大？最大值为多少？25 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 的 A、 B 两个顶点在 x 轴上，顶点 C在 y 轴的负半轴上已知 OA： OB1：5， OB OC， ABC 的面积 S ABC15，抛物线y ax2+bx+c（ a
10、0）经过 A、 B、 C 三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）点 P（2，3）是抛物线对称轴上的一点，在线段 OC 上有一动点 M，以每秒 2 个单位的速度从 O 向 C 运动， （不与点 O， C 重合） ，过点 M 作 MH BC，交 X 轴于点 H，设点 M的运动时间为 t 秒，试把 PMH 的面积 S 表示成 t 的函数，当 t 为何值时， S 有最大值，并求出最大值；（3）设点 E 是抛物线上异于点 A， B 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F以 EF 为直径画 Q，则在点 E 的运动过程中，是否存在与 x 轴相切的 Q？若存在，求出此时点 E 的坐标；
11、若不存在，请说明理由26 （10 分）用配方法证明：代数 式 x2+6x10 恒小于零参考答案一填空题1解：这里 a1， b2 ， c6，8+2432， x ，即 x1 ， x23 故答案为： x1 ， x23 2解：将方程 x（ x5）2 x 整理成一般式得： x27 x0，则 x（ x7）0， x0 或 x70，解得： x10， x27，故答案为： x10， x273解：二次函数 y ax2+2x+1 的图象与 x 轴有两个不相同的交点， a0，2 24 a10，解得， a1 且 a0，故答案为： a1 且 a04解： y x2+1，抛物线开口向下，对称轴为 y 轴，当 x0 时， y 随
12、 x 的增大而增大，故答案为：下降5解：抛物线 y x22 x+k（ k0）的对称轴方程是 x1，又 x10， x1与对称轴 x1 距离大于 1， x1+2 x2，当 x x1+2 时，抛物线图象在 x 轴下方，即 y0故答案是：6解：抛物线 y x2+1当 x0 时， y1抛物线 y x21，当 x0 时， y1， HQ1+12， EF2（2）4，过 H 作 X 轴的平行线分别交直线 x2 和 x2 于 F、 E，过 Q 作 X 轴的平行线分别交直线x2 和 x2 于 N、 M，四边形 EFNM 是矩形，两抛物线 y x2+1 和 y x21 的 a ，抛物线的形状相同，设图中由 E、 A、
13、 H 围成的图形的面积是 s，则由 H、 F、 D 围成的图形的面积是 s，由B、 M、 Q 围成的图形的面积是 s，由 C、 N、 Q 围成的图形的面积是 s，两抛物线 y x2+1， y x21 与两条和 y 轴平行的直线 x2， x2 围成的封闭图形的面积等于矩形 EFNM 的面积，是 428故答案为：87解：由 题意可知：4 m22（14 m）4 m2+8m20， m2+2m（ m2） 22 m（ m1） m22 m+4 +4故答案为：8解：根据题意得： y10（ x+1） 2，故答案为： y10（ x+1） 29解： a 是方程 x2+x20110 的实数根， a2+a20110，即
14、 a2 a+2011， a2+2a+b a+2011+2a+b a+b+2011， a， b 是方程 x2+x20110 的两个实数根， a+b1， a2+2a+b1+20112010故答案为 201010解： h5 t2+v0t，其对称轴为 t ，当 t 时， h 最大 5（ ） 2+v0 20，解得： v020， v020（不合题意舍去） ，答：足球被踢出时的速度应达到 20m/s二选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11解： A、 x2 y1 是二元二次方程，不合题意；B、 x2+2x30 是一元二次方程，符合题意；C、 x2+ 3 不是整式方程，不合题意；D、 x5
15、 y6 是二元一次方程，不合题意，故选： B12解： y（ x2） 2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3） 故选： A13解：如图，抛物线的开口方向向下，则 a0如图，抛物线的对称轴 x 0，则 a、 b 同号，即 b0如图，抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0综上所述， b0， c0故选： A14解：方程 x2 x60 的两根为 x1， x2， x1+x21，故选： A15解： x a 是方程 x23 x50 的根， a23 a50， a23 a5， a23 a+45+49故选： B16解：根据题意知： A1B1 A2B2 A3B3， B1B2 B2B3
16、， A1C CA3， B2C （ A1B1+A3B3） ， a（ n1） 2+a（ n+1） 2， an2+a， A2B2 an2，CA2 B2C A2B2 a故选： A17解：原来售价为每件 80 元，进价为每件 40 元，利润为为每件 40 元，又每件售价降价x 元后，利润为每件（40 x）元每降价 1 元，每星期可多卖出 8 件，所以每件售价降低 x 元，每星期可多卖出 8x 件，现在的销量为（200+8 x） 根据题意 得：（40 x）（200+8 x）8450，故选： B18解：商场自动扶梯的长 l13 米，高度 h5 米， m 12 米，tan ；故选： A19解：将销售单价定为
17、x 元/件，则每星期可卖出20（60 x）+300件，根据题意得：（ x40）20（60 x）+3006080，整理得： x2115 x+33040，解得： x156， x259要使顾客获得实惠， x56故选： A20解： x2+2x30 x2+2x3 x2+2x+11+3（ x+1） 24故选： D三解答题（共 6 小题，满分 60 分，每小题 10 分）21解：（1）方程配方得： x2+2x+12，即（ x+1） 22，开方得： x+1 ，解得： x1 1+ ， x21 ；（2）分解因式得：（ x3） （ x3+2）0，解得： x13， x2122解：（1）根据题意设抛物线解析式为 y a
18、x21，将点 A（2，0）代入，得：4 a1 0，解得： a ，抛物线的解析式为 y x21；（2）如图，根据题意，当2 x2 时， y x2+1；当 x2 或 x2 时， y x21；由 可得点 M（2 ，1） 、点 N（2 ，1） ，当2 x2 时，设点 P 坐标为（ a， a2+1） ，则 PO PD 1（ a2+1） a2+1 a21；当2 x2 或 2 时，设点 P 的坐标为（ a， a21） ，则 PO PD 1（ a21） a2+12+ a2 a21；当 x2 或 x2 时，设点 P 的坐标为（ a， a21） ，则 PO PD （ a21）1 a2+1 a2+23；综上，当 x
19、2 、2 x2 或 x2 时， PO 与 PD 的差为定值2 3解：（1）抛物线的顶点 D 的横坐标是 2，则 x 2，抛物线过是 A（0，3） ，则：函数的表达式为： y ax2+ bx3，把 B 点坐标代入上式得：925 a+5b3，联立、解得： a ， b ， c3，抛物线的解析式为： y x2 x3，当 x2 时， y ，即顶点 D 的坐标为（2， ） ；（2） A（0，3） ， B（5，9） ，则 AB13，当 AB AC 时，设点 C 坐标（ m，0） ，则：（ m） 2+（3） 213 2，解得： m4 ，即点 C 坐标为：（4 ，0）或（4 ，0） ；当 AB BC 时，设点
20、C 坐标（ m，0） ，则：（5 m） 2+9213 2，解得： m5 ，即：点 C 坐标为（5 ，0）或（52 ，0） ，当 AC BC 时，设点 C 坐标（ m，0） ，则：点 C 为 AB 的垂直平分线于 x 轴的交点，则点 C 坐标为（ ，0） ，故：存在，点 C 的坐标为：（4 ，0）或（4 ，0）或（5 ，0）或（52 ，0）或（ ，0） ；（3）过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，设： AB 所在的直线过点 A（0，3） ，则设直线 AB 的表达式为 y kx3，把点 B 坐标代入上式，95 k3，则 k ，故函数的表达式为： y x3，设：点 P 坐标为（ m， m
21、2 m3） ，则点 H 坐标为（ m， m3） ，S PAB PHxB （ m2+12m） ，当 m2.5 时， S PAB取得最大值为： ，答： PAB 的面积最大值为 24解：（1）将这种水果每斤的售价降低 x 元，则每天的销售量是100+ 20100+200 x（斤） ；故答案为：100+200 x；（2）根据题意得：（42 x） （100+200 x）300，解得： x 或 x1，当 x 时，销售量是 100+200 200260；当 x1 时，销售量是 100+200300（斤） 每天至少售出 260 斤， x1答：张阿姨需将每斤的售价降低 1 元；（3）设每斤的售价降低 x 元，每
22、天获利为 y 元，根据题意得： y（42 x） （100+200 x）200 x2+300x+200200（ x ） 2+ ，当 x 时，100+200 x250260，当 x0.8 时，最大值为 312 元，40.83.2（元） 答：当每斤的售价定为 3.2 元时，每天获利最大，最大值为 312 元25解：（1）| OA|：| OB|1：5，| OB| OC|，设 OA m，则 OB OC5 m， AB6 m，由 S ABC ABOC15，得 6m5m15，解得 m1（舍去负值） ， A（1，0） ， B（5，0） ， C（0，5） ，设抛物线解析式为 y a（ x+1） （ x5） ，将
23、C 点坐标代入，得 a1，抛物线解析式为 y（ x+1） （ x5） ，即 y x24 x5；（2） B（5，0） ， C（0，5） ，直线 BC 的解析式为： y x5，点 M 的运动时间为 t， M（0，2 t） ，直线 MH 平行于直线 BC，直线 MH 为 y x2 t，设直线 MH 与对称轴交于点 D，点 D 的坐标为（2，22 t） ， DP（22 t）（3）52 t， S PMH 2t（52 t）2 t2+5t2（ t ） 2+ ， （0 t ） ，当 t 时， S 有最大值是 ；（3）抛物线的解析式为 y x24 x5，设点 E 的坐标为（ x， x24 x5） ，又抛物线的对
24、称轴为 x2，点 E 到对 称轴的距离为 EF| x2|，以 EF 为直径的 Q 与 x 轴相切，| x2| x24 x5|， x20， x24 x50 时，即 x5 时， x2 x24 x5，整理得， x25 x30，解得 x ， x （舍去） ， x2 ，此时点 E 的坐标为（ ， ） ， x20， x24 x50 时，即 2 x5 时， x2（ x24 x5） ，整理得， x23 x70，解得 x ， x （舍去） ，（ x2）（ 2） ，此时点 E 的坐标为（ ， ） ， x20， x24 x50 时，即 x1 时，（ x2） x24 x5，整理得， x23 x70，解得 x ， x （舍去） ，（ x2）（ 2） ，此时点 E 的坐标为（ ， ） ， x20， x24 x50 时，即1 x2 时，（ x2）（ x24 x5） ，整理得， x25 x30，解得 x ， x （舍去） ， x2 2 ，此时点 E 的坐标为（ ， ） ，综上所述，存在点 E：（ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ，（ ， ）使得以 EF 为直径的 Q 与 x 轴相切26证明： x2+6x10（ x26 x）10（ x26 x+99）10（ x3） 2+910（ x3） 21，（ x3） 20，（ x3） 20，（ x3） 211，即代数式 x2+6x10 恒小于零
