1、2019 年高考数学仿真模拟卷 三文科数学（本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 ，则 （ ）2|1,|ln(1)MxNxyxMNA. B. C. D. (,)(0),2(0,22. 已知复数 z满足 ，则复数 的共轭复数为（ ）2izA. B. C. D. 1ii12i12i3. 已知点 P 在函数 的图象上，则 的值为（ ）(,)2axyaA. B. C. D.132324. “直
2、线（ m2）x +（m+2） y30 与直线（m +2）x+3 my+10 相互垂直”是“ ”21m的什么条件（ ）A. 充分必要 B. 充分而不必要C. 必要而不充分 D. 既不充分也不必要5. 若变量 满足约束条件 则 的最大值是（ ）,xy1,20,xyzxyA. B. C. D. 015246. 下列函数中在（，0）上单调递减的是（ ）A. B. 2()fx1()fxC. D. x 12log()x7. 已知 为等差数列，满足 ，则 （ ）na194021a122019aA. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 20208. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总
3、额：（1）如果不超过 200 元，则不给予优惠；（2）如果超过 200 元但不超过 500 元，则按标价给予 9 折优惠；（3）如果超过 500 元，其 500 元内的按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给予7 折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元和 423 元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款是（ ）A. 413.7 元 B. 513.7 元 C. 546.6 元 D. 548.7 元9. 已知自然数 执行如图所示的流程图，则输出的 不小于 55 的概率为（ ）10,x xA. B. C. D. 124952310. 已知函数 的部分图象如图所示，且()sin()
4、0,)fxAx， ，则 （ ）()1f0,3co26A. B. C. D. 3232323111. 设函数 ，若对于任意 都有 ，则实数 a()1()fxaxR1,x()0fx的取值范围为（ ）A. （，2 B. 0+） C. 0，2 D. 2,12. 已知点 坐标为 ，点 、 分别为双曲线 ： 的左、右焦点。2,11F2C2145xy当点 （ ， ）在双曲线 上且满足 ，则0,xy00y121FF（ ）12FSA. B. C. D. 41第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知 为等比数列， 是其前 n 项和， ， ，则 _。na
5、nS32S649S14. 一个三棱锥的三视图是三个直 角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为_。15. 已知圆 C 的方程为 ，过 轴正半轴上一点 且斜率为 的直线2(1)xy(0,2)Pk交圆 C 于 两点，当 的面积最大时，直线 的斜率 _。lAB、 AC lk16. 已知点 在函数 的图象上运动，点 A 坐标为 ，00(,)Py2()4fx(0,1)点 B 坐标为 ，点 C 坐标为 ，点 O 为坐标原点，当 时，则1(2,1CBO的最小值为_。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为
6、选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. （本小题满分 12 分 ）ABC 的内角 的对边分别是 ，且满足 。,ABC,abc22+3acacb（1）求 的值。sinB（2）如图，点 D 在线段 AC 上，且 AD=2DC，若 AC=2，求DBC 面积的最大值。18. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，ABCDPABC， ， 是 的中点。AB底 面,/, 24DPCEB（）求证：平面 平面 ；EP（）求三棱锥 的体积。-A19. （本小题满分 12 分）古有造纸术、指南针、火药、印刷术“四大发明”，今有高铁、移动支付、共享单车、网购“新四大发明
7、 ”，中国古代的 “四大发明”影响了世界，中国现代的“ 新四大发明”改变了中国。其中作为“ 共享经济” 的代表，共享单车已经成为第三大城市出行方式，实实在在地改变了我们的生活。以往出行除了开车之外，就只能乘坐公交、 地铁等公共交通工具，而现在我们可以选择共享单车这种绿色低碳，节能环保的出行方式。而且，共享单车不仅遍布中国各大城市，也已经成功走向了海外。在美国、英国、德国、意大利等国家的街头都可以见到中国共享单车的身影。某运营公司 M 的市场研究人员为了了解本公司共享单车在海外的经营状况，对该公司在海外的最近六个月内的市场占有率进行了统计，得到如下数据：来源:学科网月份代码 1 2 3 4 5
8、6市场占有率（%）来源:Zxxk.Com 11 13 16 15 20 21（1）若月份代码 x 与市场占有率 y 具有线性相关性，用最小二乘法求得回归方程为，则写出回归直线方程并预测第 7 个月的市场占有率；ybxa（2）由（1）可知，M 公司在海外的市场占有率有可能进一步提升，为满足市场需求，公司拟再采购一批单车。考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先任意选取 100 辆单车进行使用寿命的统计调查，假设每辆单车的使用寿命都是整数年且最多可使用 4 年，得到这 100 辆单车使用寿命频数分布图。现从这 100 辆单车中用分层抽样的方法抽取 20 辆单车。为分析单车的最小使用寿命和最大使用寿命
9、，现在这 20 辆单车中寿命为 1 年和 4 年的单车中任选 2 辆单车进行分析，求选出的 2 辆单车中至少有 1 辆使用寿命为 4 年的概率。附：回归直线的方程是 ，其中 ， ，ybxa12()niiiiixyaybx。61()35iiixy20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的方程为 ，其离心率 ，且点 在椭圆C21(0)xyab12e3(,)2P上。（1）求椭圆 C 的标准方程。（2）如图椭圆 C 的左顶点是 A，点 M、N 是椭圆 C 上的两动点且满足，求证：M，N ，O 三点共线。34Ak21. （本小题满分 12 分）已知函数 。1()ln(0)2fxaxa（1）讨论函数 的
10、单调性。f（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围。()0x1,)xa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。来源:学*科*网 Z*X*X*K22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数， 为倾斜角） ，1cosinxyt以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为。2cos1（1）写出直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）已知直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求当 时直线 l 的倾斜角 。47|3AB23. 选修 4-5
11、：不等式选讲 （10 分）已知函数 ，函数 。()|2|1fxx()|1gxxm（1）当 时，求实数 的取值范围；0（2）当 与 的图象有公共点，求实数 m 的取值范围。()yg()f答案与解析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B D A C D C C C A B C A1. B【解析】： ， ，则 。(0,2M(,1)NMN(0,1)【命题依据】本题主要考查集合的 交运算、分式不等式的解法，考查考生的运算求解能力。2. D【解析】：由题， ，则 的共轭复数为12ziz12i【命题依据】本题主要考查复数的运算、共轭复数，考查考生的数学运算能力。3. A【解析】：因为点 P
12、在函数 的图象上，则 ，所以 。(,)2a2xy2a12a【命题依据】本题主要考查指数的运算、特殊三角函数值，考查考生的指、对数运算能力。4. C【解析】：当 m 时直线（ m+2）x+3my+1 0 的斜率是 直线（m2）2135x+（ m+2）y30 的斜率是 ，满足 k1k2153“直线（m+2）x +3my+10 与直线（m2）x +（m +2） y30 相互垂直”是“m ”的必要条件，而当两直线垂直时， （m+2 ） （m2）+3m（m+2）0 得：m 或21 21m2“直线（m+2）x+3 my+10 与直线（m2）x+（m+2）y30 相互垂直”是“m ”必要而不充分条件。故选：
13、C。1【解题技巧】判断充要条件的方法是：若 pq为真命题且 qp 为假命题，则命题p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件。判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，可以根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题 q 的关系。【命题依据】本题主要考查命题的充分、必要条件的判断以及直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查考生的数学运算、逻辑推理能力。5. D
14、【解析】：如图可行区域为：则， 在点（2，0）处取得最大值 4。zxy【命题依据】本题主要考查线性规划，考查考生的运算求解能力、数形结合能力，考查考生的直观想象、数学运算能力。6. C【解析】：根据题意，依次分析选项：对于 A， ，为二次函数，在（，1）上单调递减， （1，+）上2()fx递增，不符合题意， 对于 B， ，设 t1x，则 y ，设（，0）上，t 1x 为减函数，()f1y 为减函数，则 f（x）在（，0）上单调递增，不符合题意；t1对于 C， ，在（ ，0）上单调递减，符合题意；()2对于 D， ，设 tx，y ，在 tx 在（ ，0）上为减1log()f21log函数，y 在
15、（0，+）上为减函数，则 f（x ） （x）在（，0）上为增t21l函数，不符合题意；【命题依据】本题主要考查函数的单调性的判断，涉及简单复合函数的单调性，应用化归与转化的思想。7. C【解析】： 1940219402152015014=aaaa所以 ，所以09201()29【解题技巧】单一条件下求等差数列前 n 项和，不可能分别求出公差和首项，只能利用等差数列的对称性进行求 解。【命题依据】本题主要考查等差数列的对称性，考查考生的运算求解能力。8. C【解析】：某人两次去购物，分别付款 168 元与 423 元，由于商场的优惠规定，168元的商品未优惠，而 423 元的商品是按九折优惠后的，
16、则实际商品价格为 4230.9470 元，如果他只去一次购买同样的商品即价值 168+470638 元的商品时，应付款为：5000.9+（638 500）0.7450+96.6546.6（元） 。【解题技巧】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解。【命题依据】本题主要考查函数模型及其应用，考查考生的分析问题的能力以及建立简单的函数模型的能力。9. A【解析】：根据程序框图可知，共循环 3 次，则输出的，当 ，则 。所以，输出的 不小于 55 的2(1)87xx56xx概率 。50p【关键点拨】识图，并判断循环次数以及判断是几何概型还是古典概型。【命题
17、依据】本题主要考查循环结构的程序框图、几何概型，考查考生的逻辑分析能力、读图识图的能力。10. B【解析】：由图象可得 A3，T= 4（ ） ，解得 2，2173故 f（x）3sin（2x +） ，代入点（ ，3）可得 3sin（ +）3，故 sin（ +）1， +2k ， 2k ，kZ367结合 0 可得当 k1 时， ，故 f（x）3sin（2x+ ） ，655f（ ）3sin（2 + ） 1，sin（2 + ） ，31 （0， ） ，2 + （ ， ） ，3653 。cos()21sin()2【解题技巧】根据三角函数部分图象求 A， ， 。其中 ，maxin2yA；求 ，一般代入函数图象
18、上最高点或最低点，特别注意题干中 的范围。2T 【命题依据】本题主要考查正弦函数的图象，涉及整体法和同角三角函数基本关系等知识，应用化归与转化、数形结合的思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。11. C【解析】：若 x0，则不论 a 取何值， 都成立；()0fx当 x0 即 x（0，1 时， 可化为： ，3()1fx321ax设 ，显然 在（0，1上单调递减，321()gg因此 ，从而 ；min()x2a当 x0 即 x1，0）时， 可化为： ，3()10fx321ax在区间1， 0）上也单调递减，32()g因此 ，从而 ，max()ga则 0a2。即有实数 a 的取值范围为0，2 。【解题
19、技巧】恒成立主要问题主要处理办法是参变分离，也可以数形结合分析。【命题依据】本题主要考查三次函数的单调性、带参不等式恒成立等知识，应用化归与转化的数形结合的思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。12. A【解析】：法一：由题， ， ， ，则有12(3,0)(,F10(3,)PFxy1(5,)MF21(6,0)F02045(,)(,(6,),3xy得 ，所以 轴，052xy2PFx所以， 12PF1251|62S，2PMF2115|()24PMSx 12MF12|613MSy11221 3FS 所以 。12F354法二：双曲线方程为 ， =421xy2PF由 ，可得 ，121F121cos,c
20、os,MF得 平分 ，又结合平面几何知识可得， 的内心在直线 上；1M12P12P2x所以点 M（2，1）就是 的内心。12F故 12()4PFS【解题技巧】法一直接利用向量的坐标运算，计算难度较大，通常在圆锥曲线与向量运算的综合问题中利用向量的几何性质进行分析，可将繁杂的代数运算转化成几何分析。（双曲线焦点三角形的内心在双曲线对应顶点的正上方） 。【命题依据】本题主要考查圆锥曲线与向量运算的综合问题，考查考生逻辑分析能力、向量的运算能力。13. 6【解析】：法一：设等比数列 公比为 ，q当 时， ， ，所以 ，则 。1q312Sa614Sa12391263Sa当 时， ， ，所以 ， ，即3
21、3()q66()q63q，这与 矛盾。1q综上， 。96S法二：由题， ，因为 成等比数列，3632,S3696,SS则 ，所以 。9696【解题技巧】解决数列的常规方法是基本量法，将已知转化为首项和公比的二元一次方程组，进而通过解方程组，来解决所要解决的问题。【命题依据】本题主要考查等比数列的前 n 项和的性质，考查考生运算求解能力。14. 【解析】：由三视图可知，该三棱锥可以补成长、宽、高分别为 3， 2，3 的长方体。所以外接球半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积2213R。24S【解题技巧】补成长、宽、高分别为 3，2，3 的长方体是本题的关键。【命题依据】本题主要考查三棱锥的三视图、三
22、棱锥的外接球表面积、补体求解三棱锥外接球半径等知识，考查考生空间想象能力。15. 1 或 7【解析】：设直线 的方程为 ，圆心 ，l2ykx(1,0)C点 C 到直线 的距离 ，2|1d又 ，2|ABr所以，22C11| dSd当且仅当 ，即 ，即 ，所以， 或2212|()kk7【解题技巧】本题是 圆与直线相交，求三角形面积最值问题，不能轻易按照圆锥曲线大题一样的做法。圆与直线相交求弦长，一般采用圆心距 （点到直线的距离）与圆的半d径 建立勾股关系解决。r【命题依据】本题主要考查直线与圆的位置关系、三角形面积最值问题，考查考生分析问题的能力以及运算求解的能力。16. 12【解析】 ， ， ，
23、(,1)OC(,1)AB 200(,)(,4)OPxyx因为 ，则 ，则P022(4)x02034x则 。令023+4x023()gxx2 000002 2()1(5)3(1) 44xgx，则 在 上单调递减，所以 ，y,2min1()gx所以 的最小值为 。12【解题技巧】设点 P 的坐标 ，用 分别表示出 、 ，200(,)(,4)Oxyx0进而建立 关于 的函数式 ，最后利用求导，求函数的最值。0x203g【命题依据】本题主要考查向量的坐标运算、单变元函数求最值，应用化归与转化的思想，考查考生的数学运算、逻辑推理能力。17. 解：（1） ，则 ，22+3acacb221os3acbB因为
24、 B（0， ）所以 2sincosB（2）由（1）知213abc可得 4=a2+c2 ac2ac ac= ac，34ac3， （当且仅当 a=c 时取等号） ，由 AD=2DC，可得 SBDC = SABC = acsinB ，12332213DBC 的面积最大值为 。 【解题 技巧】余弦定理、均值不等式是处理已知一边和对应角求三角形面积最大值的最优处理技巧。【命题依据】本题主要考查解三角形，包括正、余弦定理的应用以及三角形面积最值问题，考查考生的逻辑推理以及数学运算能力。18. 解：（）证明：过点 C 作 CQAB 于点 Q， PCABDABPC,平 面平 面ABAD ，ABCDADCD，即
25、ADC=90 来源:学科网 ZXXKAD= CD=2AC 2=AD2+CD2=8CQAB 四边形 ADCQ 为矩形AQ= CD=2，CQ=AD=2AB=4 BQ=2BC 2=CQ2+BQ2=8,BCABCA,又 来源:学科网 ZXXKPP ， ， 平 面 AC平面 PBC。E平 面平 面平 面（）取 BC 的中点 F，则 ，所以 ，AFACB平 面由题 ，PACEBCVV， ，又 ，1|3BS 1|3EABACBSE 12P所以， 。BC8|4223PACEP【命题依据】本题主要考查空间几何体的面面垂直的证明，考查考生空间想象能力、运算求解能力。19. 解：（1）由题意，计算 （1+2+3+4
26、+5+6）3.5，x61 （11+13+16+15+20+21）16， 17.5，y6621()iix 2， 1623.59，12()niiiiixyb 5.173ayb回归直线的方程是 2x+9；y当 x7 时， 27+9 23， 预测该企业 2017 年 7 月份的市场份额为 23%；（2）由使用寿命频率分布图可知，分层抽样比例为：，0.15:4.3:01:872则分层抽样出的 20 辆单车中使用寿命为 1 年和 4 年的单车分别有 3 辆、2 辆。设 使用寿命为 1 年的单车记为 ，使用寿命为 4 年的单车 。123,a1,b从中任意选取 2 辆，共有 ， ， ， ， ， ，()()1(
27、,)ab2(,)3()a21(,)b， ， ， 10 种，至少有 1 辆使用寿命为 4 年包括 ，2(,)ab31(,)3(,)b12,， ， ， ， ， 7 种，所以122a3()32(,)2(,)设“选出的 2 辆单车中至少有 1 辆使用寿命为 4 年”为事件 A，则 。7()0PA【命题依据】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程、分层抽样、古典概型等知识，考查考生数据处理能力、运算求解能力。20. 解：（1）由题 ，则12cea234b又点 在椭圆上，则 ，所以， ，3(,)2P2124,3ab所以，椭圆 C 的标准方程为 。243xy（2）由题意， ，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率
28、为 ，(,0)AAMkAN34k直线 的方程为 ，l2ykx由 ，得2()143x22(43)1610kx其中 42256()4k设 ，则 ，则1(,)Mxy123Akx21683kx所以， ，即点 M 的坐标为124kk21(,)43k同理， 可得点 N 的坐标 ，即 。22861(,)3k,NMNxy所以，M，N，O 三点共线。【解题技巧】圆锥曲线中证明三点共线问题，如证明 M，N，O 三点共线，一般等价证明 。0k此题中 O 为坐标原点，求得点 M、N 坐标后就能直接判断 ，进,NNMxy而证明 M，N，O 三点共线。【命题依据】本题主要考查椭圆几何意义，椭圆的方程，椭圆与直线的位置关系
29、以及三点共线等知识，应用数形结合、化归与转化等数学思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。21. 解：（1）函数定义域为（0，+） ，因为 1()ln(0)2fxaxa则 当 时，由 ，得 ，即 ；由 ，得0()fxln1xa1axe()0fx，即 。1lnxa10axe所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增。()f1,)1(,)ae当 时，由 ，得 ，即 ；由 ，得00xlnx10ax()0fx，即 。1lnxa1ae所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减。()fx10,)1(,)ae综上，当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；(fx1,)a1(,)ae当 时，函数 在 上单
30、调递增，在 上单调递减。0a)10,e1,（2）解：设 g（x）= ，易知 g（x）与 f（x）有相同的单调区间.(2f1当 a0 且（1，+ ） ，即 时，由（1）可知，g（x）在1ae（ ， ） a（1，+ ）上单调递增，此时 gmin（x）=g（1）=0，可见对 ,)都有 即 恒成立.gx（ ） （ ） 02f（ ）2当 a0 时， ，即（1，+） ，由（1）可知，此10ae1-ae（ ， ）时 g（x）在（ 1，+）上单调递减，不存在最小值，从而无法满足题意。综上所述， 。,)【解题技巧】求函数单调性关键是转化成解不等式，而含参不等式多数需要对参数进行讨论。关于含参不等式恒成立问题，转
31、化成函数的最值问题。【命题依据】本题主要考查函数的单调性、导数的应用、以及不等式恒成立等知识，应用化归与转化以及分类讨论思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。22. 解：（1）直线 l 的参数方程可化为 （t 为参数， 为倾斜角） ，1cosinxyt当 时，直线 l 的方程为 ，2当 时，直线 l 的方程为 。tan(1)yx由 可得 2（1 cos2）=2cos，即2cos1 2(sin)cos曲线 C 的直角坐标方程为 。2(0)yx（2）当 时，直线 l 的方程为 ，此时 ，不满足题意，1|2AB当 时，将直线 l 的参数方程 （t 为参数， 为倾斜角）代入cosinxyt2yx得：
32、 （ ）2sincos20tt设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1t2= ，t 1+t2= ，sisin所以 AB|=|t1t 2|= ，24co8i47=3所以 ，48sin9i0所以 或 （舍）232s7所以 或 。【命题依据】本题主要考查直线的参数方程、抛物线的极坐标方程以及直线与抛物线的位置关系等知识，应用数形结合、化归与转化等思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。23. 解：（1）当 时，即 。()0fx|2|1x即有 或 ，即 x或 x ，2x故不等式的解集为（， ） ；21（2）因为函数 与函数 的图象有公共点，()|3|gxxm()yfx则 有解。|3|即 有解，|m，所以， 。|2|1x1所以当 与 的图象有公共点时，m 的范围为 。()ygx()f1,)【命题依据】本题主要考查含绝对值符号的不等式、求参数取值范围等知识，应用数形结合、化归与转化等思想，考查考生的逻辑推理、数学运算能力。
