1、江苏省常州市 2017 年中考数学试题(解析版) 一、选择题(每小题 3 分，共 10 小题，合计 30 分)1.-2 的相反数是( ).A- B1212C2 D2答案：D.解析：数 a 的相反数是-a,所以 -2 的相反数是 2，故选 D2.下列运算正确的是( ).Amm=2m B(mn )3=mn3C(m 2)3=m6 Dm 6a3=a3答案：C.解析：mm =2m2, (mn)3=m3n3, (m2)3=m6, m6a3=a4,故正确的是 C，故选 C3.右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ). A圆锥 B三棱柱C圆柱 D三棱锥答案：B.解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此
2、几何体为三棱柱，故选 B4.计算: + 的结果是( ).1xA B22xC D11答案：D.解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式= =1，故选 D1x5.若 3x-3y,则下列不等式中一定成立的是( ).Ax+ y0 Bx-y0Cx+y-y,移项得 x+y0,故选 A6.如图，已知直线 AB、CD 被直线 AE 所截，AB CD, 160,则2 的度数是( ). A100 B110C120 D130答案：C.解析：ABCD, 160, 3 160, 所以 2180-60=120,故选 C 7.如图，已知矩形 ABCD 的顶点 A、D 分别落在 x 轴、y 轴上， OD=2OA
3、=6, AD：AB=3:1, 则点 C 的坐标是( ). A(2,7) B(3,7)C(3,8) D(4,8)答案：A.解析：作 BEx 轴于 E，由题意知ABE DAO，因为 OD=2OA=6,所以 OA=3,由勾股定理得 AD=3,因为 AD：AB=3：1,所以 AB= ，所以 BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点 D 向上平移一个单55位，向右平移 2 个单位得到点 C，所以点 C 的坐标为(2,7),故选 A8.如图，已知ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E、F、G 、H，连接AC，若 EF=2,FG=GC=5,则 AC 的长是( ). A12 B13C6 D853答案：B
4、.解析：作 AMCH 交 CH 的延长线于 H，因为四条内角平分线围成的四边形 EFGH 为矩形，所以AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以 CM=12,由勾股定理得 AC=13，故选 B二、填空题：(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)9.计算：|-2|+(-2) 0= .答案：3.解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0,非零数的零次方都等于 1,依此规则原式=2+1=310.若二次根式 有意义，则实数 x 的取值范围是 .2x答案：x2.解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以 x-20,解得 x211.肥皂泡的泡壁厚度大约是
5、 0.0007mm,则数据 0.0007 用科学计数法表示为 .答案：710 -4.解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=710 -412.分解因式：ax 2-ay2= .答案：a(x+ y)(x-y).解析：原式=a(x 2-y2)=a(x+y)(x-y)13.已知 x=1 是关于 x 的方程 ax2-2x+3=0 的一个根，则 a= .答案：-1.解析：将 x=1 代入方程 ax2-2x+3=0 得 a-2+3=0,解得 a=-114.已知圆锥的底面圆半径是 1,母线长是 3,则圆锥的侧面积是 .答案：3.解析：圆锥的侧面积= 扇形半径扇形弧长= l(2r)=rl=13=3设圆锥的
6、母线长为 l，设2121圆锥的底面半径为 r，则展开后的扇形半径为 l，弧长为圆锥底面周长(2R) 我们已经知道，扇形的面积公式为：S= 扇形半径扇形弧长= l(2r)=rl即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和 的乘积 .13=3.15(2017 常州，15，2 分)如图，已知在 ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，垂足为 E，交 AC 于点 D，若 AB=6,AC=9,则ABD 的周长是 . 答案：15.解析：因为 DE 垂直平分 BC，所以 DB=DC，所以 ABD 的周长=AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=1516.如图，四边形 ABCD 内接于O ，AB 为O
7、 的直径，点 C 为弧 BD 的中点.若DAB40, 则ABC . 答案：70.解析：连接 AC，OC，因为 C 是弧 BD 的中点，DAB40,所以 CAB20, 所以COB40,由三角形内角和得B 70. 17.已知二次函数 y= ax2+bx-3 自变量 x 的部分取值和对应函数值 y 如下表：X -2 -1 0 1 2 3 y 5 0 -3 -4 -3 0 则在实数范围内能使得 y-50 成立的 x 的取值范围是 .答案：x4 或 x5,则 x2-2x-35, x2-2x-80,解一元二次方程 x2-2x-8=0，得 x=4 或 x=-2.根据函数图象判断 y-50 成立的 x 的取值
8、范围是 x4 或 x-218.如图，已知点 A 是一次函数 y= x(x0)图像上一点，过点 A 作 x 轴的垂线 l，B 是 l 上一点(B 在1A 上方)，在 AB 的右侧以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABC，反比例函数 (k)0)的图像过点yB、C，若OAB 的面积为 6,则 ABC 的面积是 . 答案：18.析：设点 A(4a,2a),B(4a,2b),则 C 点的横坐标为 4a+ (2b-2a) , C 点的坐标为(3a+b, a+b)所以124a2b=(3a+b)(a+b), (3a-b)(a-b)=0,解得：a=b( 舍去) 或 b=3a.SABC= (2b-2a)4a=8a
9、2=6,k=4a2b =24a2=18.12三、解答题：(本大题共 6 个小题，满分 60 分)19.(6 分) 先化简，再求值：( x+2) (x-2)-x (x-1),其中 x=-2.思路分析：先化简，再代入求值.解：原式=x 2-4-x2+x=x-4,当 x=-2 时，原式=-2-4=-6.20.(8 分) 解方程和不等式组：(1) = -352x3(2) 641思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根；(2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集.解：(1)去分母得 2x-5=3x-3-3(x-2),去括号移项合并同类项得，2x=-8,解得 x=-4,经检验 x=4 是原方程的
10、根，所以原方程的根是 x=4；(2)解不等式得 x-3，解不等式 得 x1，所以不等式组的解集是-3x 1.21.(8 分) 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“ 书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图：根据统计图所提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查中的样本容量是 .(2)补全条形统计图；(3)该校共有 2000 名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为 “打球” 的学生人数.思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算， 3030%
11、=100；(2)其他 10010%=10 人，打球 100-30-20-10=40 人；(3)利用样本中的数据估计总体数据.解：(1)100；(2)其他 10 人，打球 40 人；(3)2000 =800,所以估计该校课余兴趣爱好为 “打球”的学生为数为 800 人.40122.(8 分) 一只不透明的袋子中装有 4 个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4.(1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，求摸出的乒乓球球面上数字为 1 的概率；(2)搅匀后先从中任意摸出 1 个球( 不放回)，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，求 2 次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率.
12、思路分析：(1)列举法求概率；(2)画树状图法求概率.解：(1)从 4 个球中摸出一个球，摸出的球面数字为 1 的概率是 ；4(2)用画树状图法求解，画树状图如下： 574653765123142231一一 424从树状图分析两次摸球共出现 12 种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为： = 12323.(8 分) 如图，已知在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，BCE=ACD=90， BAC=D，BC=CE. (1)求证：AC=CD；(2)若 AC=AE，求 DEC 的度数.思路分析：(1)证明 ABCDEC；(2)由EAC=45通过等腰三角形的性质求解.解：(
13、1)证明： BCE=ACD=90，ACB= DCE，又BAC= D，BC=CE， ABCDEC，AC=CD.(2)ACD=90，AC= CD，EAC=45，AE=ACAEC=ACE= (180-45)=67.5，12DEC=180-67.5=112.5.24.(8 分) 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320 元，购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元.(1)求每个篮球和每个足球的售价；(2)如果学校计划购买这两种共 50 个，总费用不超过 5500 元，那么最多可购买多少个足球？思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解；(2)根据不等关系列不等式求
14、解.解：(1)解设每个篮球售价 x 元，每个足球售价 y 元，根据题意得：，解得：23054xy102y答：每个篮球售价 100 元，每个足球售价 120 元.(2)设学校最多可购买 a 个足球，根据题意得100(50-a)+120a5500,解得： a25.答：学校最多可购买 25 个足球.25.(8 分) 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图像与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y= (x0)的图像交于m点 B(-2,n)，过点 B 作 BCx 轴于点 C，点 D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点 .(1)求 m 的值；(2)若DBC=ABC，求一次函数 y=kx+b 的表达式.思
15、路分析：(1)将点 B、D 坐标代入反比例函数解析式求解 m 的值；(2)先求 BD 的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点 A 坐标，最后求 AB 的解析式.解：(1)把 B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数 y= 得, x解得： ，所以 m 的值为-6.32m36(2)由(1)知 B、D 两点坐标分别为 B(-2,3),D(-6,1)，设 BD 的解析式为 y=px+q,所以 ，解得6312pq412pq所以一次函数的解析式为 y= x+4,与 x 轴的交点为 E(-8,0)1延长 BD 交 x 轴于 E，DBC=ABC，BCAC，BC 垂直平分 AC，CE=6, 点 A(4
16、,0),将 A、B 点坐标代入 y=kx+b 得，解得 ，所以一次函数的表达式为 y=- x+2.2340kb2kb1226.(10 分) 如图 1,在四边形 ABCD 中，如果对角线 AC 和 BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形 (填写图形名称)；若 M、N、P 、Q 分别是等角线四边形 ABCD 四边 AB、BC、CD、DA 的中点，当对角线AC、BD 还需要满足 时，四边形 MNPQ 是正方形；如图 2,已知ABC 中， ABC=90，AB =4,BC=3,D 为平面内一点. 若四边形 ABCD 是等角线
17、四边形，且 AD=BD，则四边形 ABCD 的面积是 ；设点 E 是以 C 为圆心，1 为半径的圆上的动点，若四边形 ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由. 思路分析：(1)矩形是对角线相等的四边形；四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线 AC、BD 互相垂直时四边形 MNPQ 是正方形；根据题意画出图形，根据图形分析确定 DF 垂直平分 AB，从而计算面积 SABED=SABD+SBCD；如图四边形 ABED 面积的最大值时点 E 在直线 AC 上，点 D 是以 AE 为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形 ABE
18、D 面积的最大值.解：(1)矩形；ACBD； ABC=90，AB=4,BC=3，BD= AC=5, 作 DFAB 于 F，AD =BD，DF 垂直平分 AB，BF=2,由勾股定理得 DF= ，21由题意知 SABED=SABD+SBCD= ABDF+ BCBF= 4 + 32=2 +3；21221如图四边形 ABED 面积的最大值时点 E 在直线 AC 上，点 D 是以 AE 为斜边的直角三角形的直角顶点，所以 AE=6,DO=3,在ABC 中，由面积公式得点 B 到 AC 的距离为 ，所以四边形 ABED 面125积的最大值= S AED+SABE= 63+ 6 =16.2.1212527.
19、(10 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y=- x2+bx 的图像过点 A(4,0),顶点为1B，连接 AB、BO.(1)求二次函数的表达式；(2)若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CP 的对称点为 B，当OCB为等边三角形时，求 BQ 的长度；(3)若点 D 在线段 BO 上，OD=2BD ，点 E、F 在OAB 的边上，且满足 DOF 与 DEF 全等，求点E 的坐标. 思路分析：(1)将 A 点坐标代入 y=- x2+bx 求得二次函数的表达式；1(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若OCB为等边三角形，则OCB= QCB=
20、QCB=60，由B=90,根据特殊三角函数值求得 BQ 的长；(3)按点 F 在 OB 上和点 B 在 OA 上进行讨论确定点 E 的位置，当点 F 在 BA 上，点 E 与点 A 重合时DOF 与 DEF 全等；当 F 在 OA 上，DE AB 时 DOF 与DEF 全等，点 O 关于 DF 的对称点落在 AB 上时DOF 与DEF 全等.解：(1)将 A(4,0)代入 y=- x2+bx 得，- 42+b4=0,解得 b=2,1所以二次函数的表达式为 y=- x2+2x；(2)根据题意画出图形，二次函数 y=- x2+2x 的顶点坐标为 B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为 O(0,0)、
21、1A(4,0).此时 OB=2 ,BC= ，若 OCB为等边三角形，则 OCB=QCB=QCB=60，因为2B=90,所以 tanQCB=QB:CB= ,所以 QB= ；36(3) 当点 F 在 OB 上时，如图，当且仅当 DEOA，即点 E 与点 A 重合时DOFFED，此时点E 的坐标为 E(4,0)；点 F 在 OA 时，如图 DFOA，当 OF=EF 时DOFDEF，由于 OD=2BD，所以点 D 坐标为(， )，点 F 坐标为( ，0) ，点 E 坐标为( ，0)；434383点 F 在 OA 时，如图 ,点 O 关于 DF 的对称点落在 AB 上时，DOFDEF，此时 OD=DE=
22、2BD= 43，BE= ，作 BHOA 于 H，EG OA 于 G，由相似三角形的性质求得 HG= ，所以点236 2E 坐标为(2+ ，2- ) 23综上满足条件的点 E 的坐标为(4,0)、( ，0) 、(2+ ，2- )832328.(10 分) 如图，已知一次函数 y=- x+4 的图像是直线 l，设直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B.4(1)求线段 AB 的长度；(2)设点 M 在射线 AB 上，将点 M 绕点 A 按逆时针方向旋转 90到点 N，以点 N 为圆心，NA 的长为半径作N.当N 与 x 轴相切时，求点 M 的坐标；在的条件下，设直线 AN 与 x 轴交于点
23、C，与N的另一个交点为 D，连接 MD 交 x 轴于点 E.直线 m 过点 N 分别与 y 轴、直线 l 交于点 P、Q，当APQ 与CDE 相似时，求点 P 的坐标. 思路分析：(1) 求 A、B 两点坐标，由勾股定理求得 AB 的长度；(2)根据题意画出图形，根据 AOBNHA， HANFMA 计算出线段 FM 与 OF 的长；分点 P 位于 y 轴负半轴上和点 P 位于 y 轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点 Q 坐标，再将点 Q 坐标代入 AB 及 NP 解析式求得交点 P 的坐标.解：(1)函数 y=- x+4 中，令 x=0 得 y=4
24、,令 y=0 得，x=3, 所以 A(0,4),B(3,0).AB= =5.43 234(2)由图 1 知,当 N 与 x 轴相切于点 E 时，作 NHy 轴于 H，则四边形 NHOE 为矩形，HO=EN=AM=AN，HAN+OAB=90，HNA+ HAN=90,OAB=HAN，因为 AMAN，所以AOBNHA，图 1 = = ，设 AH=3x，则 HN=4x,AN=NE=OH=5x, OH=OA+AH,3x+4=5x, x=2, AHOBNAH=6,HN=8,AN=AM=10. AM=AN， OAB=HAN，RtHANRt FMA, FM=6,AF=8,OF=4, M(6,-4).当点 P
25、位于 y 轴负半轴上时，设直线 AN 的解析式为 y=kx+b，将 A(0,4),N(8,10)代入得，解得 ，所以直线 AN 的解析式为 y= x+4.所以点 C 坐标为(- ，0),过 D1048kb341kb34163作 x 轴的垂线可得点 D(16， 16).设点 P 坐标为(0,-p), N(8，10)则直线 NP 解析式为 y= x-p,作108EFCD 于 F，CE= +8= ,AC= ，CD= +20= ,由相似三角形性质可得 EF=8,CDE1634032083APQ，则 ，解得点 Q 的横坐标绝对值为 ，将点 Q 横坐标绝4808p点 Q横 坐 标 绝 对 值 410p（
26、）对值代入 AB 及 NP 解析式得 -p= (- )+4，解得 p1=-4(舍去), p2=6,所以104（ ） 10（ ） 3P(0,-6).当点 P 位于 y 轴正半轴上时，设点 P 坐标为(0,4+p),N(8，10) ，D(16，16) 则直线 NP 解析式为 y=x+4+p,CDEAQP，则 ，解得点 Q 的横坐标绝对值为，将点 Q6840163点 Q横 坐 标 绝 对 值横坐标绝对值代入 AB 及 NP 解析式得 (- )+4+p=(- )(- )+4，解得 p=10，所以 P(0,14).685643法二：把 M（6,-4）,D（16,16）代入 y=kx+b 得 ，解得 ,直
27、线 MD 的解析1kb162kb式为 y=2x-16,当 x=8 时，y=0，点 E（8,0）在直线 DE 上。当 P 位于 y 轴负半轴上时， CDEAPQ，则7=5, 4=6, ND=NE=r， 1=6,OANE，2= 4, 2=1, NPND，3=6, 3=4, AN=NP=10, OA=4, OP=6, 点 P 坐标为（0,-6）当 P 位于 y 轴正半轴上时， CDEAQP，则1=2= 3, APQ=CED, 5=6, ND=NE=r， 4=7, 8=Q=90, 8=9, E=Q9+4=90, NQDE，9=6, 5=8,AN=NP=10, OA=4, OP=14, 点 P 坐标为（0,14 ）
