1、数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分1 已知集合 ， ，则集合 = 13A， 01B， AB【答案】 0， ，2 已知复数 （i 为虚数单位） ，则复数 z 的模为 .231z=【答案】 53 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5人数 20 15 10 5则平均每人参加活动的次数为 .【答案】34 如图是一个算法流程图，则输出的 b 的值为 【答案】75 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 【答案】 236 已知
2、正四棱柱的底面边长是 3 cm，侧面的对角线长是cm，5则这个正四棱柱的体积为 cm3【答案】 47 若实数 满足 ，则 的最小值为 xy， 2+x y【答案】 68 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 的准线为 l，直线 l 与双曲线2(0)ypx214xy的两条渐近线分别交于 A，B 两点， ，则 的值为 6【答案】 269 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 与曲线 相切于3yxtsincosyaxbatR， ，点 ，则 的值为 01， abt【答案】 410已知数列 是等比数列，有下列四个命题：n（第 4 题）N 开 始 a FA上顶点为 B（1）已知椭圆的离心率为 ，线段
3、中点的横坐标为 ，求椭圆的标准方程；12AF2（2）已知 外接圆的圆心在直线 上，求椭圆的离心率 的值AFyx=e【解】 （1）因为椭圆 的离心率为 ，2xyab=(0)12所以 ，则 1cc因为线段 中点的横坐标为 ，AF2所以 2ac=所以 ，则 ， 28226bac=所以椭圆的标准方程为 41xy分（2）因为 ，(0)()AaFc， ， ，所以线段 的中垂线方程为： 2acx=又因为 外接圆的圆心 C 在直线 上，Byx所以 6 分()2acC，因为 ，0)(Ab， ， ，所以线段 的中垂线方程为： B()2bayx=由 C 在线段 的中垂线上，得 ，)2cca整理得， ， 102()b
4、ac分即 ()0因为 ，所以 12 分abcxOF AB（第 17 题）yPO2O1DCBA所以椭圆的离心率 14 分2ceab18 （本小题满分 16 分）如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ， 的长分别为 和ABCD， 23m，上部是圆心为 的劣弧 ， 4mOCD=3O（1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示设 与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地Bl面的最大距离为 ，试用 的函数表示 ，并求出 的最大值hh【解】 （1）如图，过 作与地面垂直的直线交 于点 ，交
5、劣弧 于点 ， 的OABCD， 12O， 1长即为拱门最高点到地面的距离在 中， ， ，2RtC 232所以 ，圆的半径 1RO所以 12=5P答：拱门最高点到地面的距离为 4 分m（2）在拱门放倒过程中，过点 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 当点 在劣弧 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于圆 的半径长与圆CDh心 到地面距离之和；O当点 在线段 上时，拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距PA D离由（1）知，在 中， 1RtOB 213OB以 为坐标原点，直线 为 轴，建立如图所示Blx的坐标系（2.1）当点 在劣弧 上时， PCD62由 ， ，6x23B由三角函
6、数定义，得 ，O23cos()sin()6，则 8 分ihODCBAxy OOODDDCCCBBBA AAABCDO图 1（第 18 题）图 2 图 3 图 4所以当 即 时，623取得最大值 10 分h（2.2）当点 在线段 上时， PAD06 设 ，在 中，=CBRtBC，27D31427sincos7，由 ，得Bx27cos()27sin()D，所以 14 分ih4i23cos又当 时， 06csin423sin06h所以 在 上递增4sin23oh06，所以当 时， 取得最大值 6h5因为 ，所以 的最大值为 23523答： ；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到4sincos0623
7、()62h， ， 地面距离的最大值为（ ） 16 分3m19 （本小题满分 16 分）已知函数 ()lnafxR（1）讨论 的单调性；f（2）设 的导函数为 ，若 有两个不相同的零点 ()fx()fx()f 12x， 求实数 的取值范围；a 证明： 12()()ln2ffa【解】 （1） 的定义域为 ，且 x0+， 2()xfODCBAyx（1.1）当 时， 成立，所以 在 为增函数； 2 分0a ()0fx()fx0+，（1.2）当 时，（i）当 时， ，所以 在 上为增函数；x()f()fa，（ii）当 时， ，所以 在 上为减函数4 分0a0fxfx0，（2）由（1）知，当 时， 至多一
8、个零点，不合题意； ()f当 时， 的最小值为 ，0a()fxfa依题意知 ，解得 6 分=1ln01e一方面，由于 ， ， 在 为增函数，且函数 的af()fxa， ()fx图象在 上不间断1，所以 在 上有唯一的一个零点()fxa，另一方面， 因为 ，所以 10e210ea，令 ，221()lnlfaalng当 时， ，0e22110ag所以 2()lnf gea又 ， 在 为减函数，且函数 的图象在 上不间断0fa(fx0， ()fx2a，所以 在 有唯一的一个零点()f，综上，实数 的取值范围是 10 分a10e， 设 121212=+aapxffxxx又 则 12 分12ln0ax，
9、 12lnp下面证明 21a不妨设 ，由知 2x120xa要证 ，即证 21xa21ax因为 ， 在 上为减函数，20， ， ()f0，所以只要证 1affx又 ，即证 14 分12=0fx22affx设函数 lnlFffxax所以 ，所以 在 为增函数 .20xaF+，所以 ，所以 成立2F22affx从而 成立 .1xa所以 ，即 成立. 16 分12lnlpxa12ln2xffxa20 （本小题满分 16 分）已知等差数列 满足 ，前 8 项和 na4836S（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 nb211(21)nknka N， 证明： 为等比数列； 求集合 *3()=pmb，
10、 ， ，【解】 （1）设等差数列 的公差为 dna因为等差数列 满足 ，前 8 项和 ，4836S所以 ，解得138762da， 1ad，所以数列 的通项公式为 3 分nn（2）设数列 前 项的和为 bB由（1）及 得，2113(21)nknkaN，1121322nkknknkban， ， 由-得 112231313 +2nnnnnnbaab5 1232511()()+(2)nnnnbababa 1121+nnnB所以 ，132nnB N ，又 ，所以 ，满足上式ba1b所以 632nn分当 时，2 21nnB由-得， 8 分b，121nnb 10nb所以 ， ，所以数列 是首项为 1，公比为
11、 2 的等比数列 10 分n由 ，得 ，即 3=pmab32mp3pm记 ，由得， ，nc12nacb所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立） 12n n 1n由 ，得 ，3=pmab3mpc所以 12 分设 ，由 ，得 t*tN， ， 32pm32t当 时， ，不合题意；13当 时， ，此时 符合题意；2t68当 时， ，不合题意；95m当 时， ，不合题意4t13下面证明当 时， tN ， 312t不妨设 ，xf4，2ln0xf所以 在 上单调增函数，4+)，所以 ，()1ff所以当 时， ，不合题意tN ， 312tm综上，所求集合 16 分*()=pabN， ， ， =68，21 【选做
12、题】本题包括 A、 B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）已知矩阵 ， ，且 ，求矩阵 =abcdM102N1042MNM【解】由题意， ，则 4 分14010因为 ，则 6 分=12N1=2所以矩阵 10 分40401MB选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 （ 为参数） 以原点 O 为极点，2xty，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是 sin()24求：（
13、1）直线 l 的直角坐标方程；（2）直线 被曲线 C 截得的线段长【解】 （1）直线 l 的极坐标方程可化为 ，即(sincosi)4 sincos又 ，cosixy，所以直线 l 的直角坐标方程为 4 分20xy（2）曲线 C: （ 为参数）的普通方程为 2t， 2xy由 ，得 ，20xy， 20x所以直线 l 与曲线 C 的交点 ， 8 分1A， 24B，所以直线 被曲线 C 截得的线段长为 10 分22=1+=3C选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知实数 满足 ，求证： abc， ， 22bc 22294abc【证明】由柯西不等式，得222222111+c，52222
14、911ab分所以 10 分222221934+abcabc 【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分 10 分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33，99 现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记为 X；从 9 个不同 2 位“回文数” 中任取 2 个相加，其结果记为 Y（1）求 X 为“回文数 ”的概率； （2）设随机变量 表示 X，Y 两数 中“ 回文数”的个数，求 的
15、概率分布和数学期望 ()E【解】 （1）记“X 是回文数 ”为事件 A9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396其中“回文数”有：44，88所以，事件 A 的概率 3 分2()9P（2）根据条件知，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2由（1）得 5 分2()9设“Y 是回文数 ”为事件 B，则事件 A，B 相互独立根据已知条件得， 2905=PC；8=011PA；25431981B8 分2502981所以，随机变量 的概率分布为0 1 2P 281438108所以，随机变量 的数学期望为 10 分437()029E23
16、(本小题满分 10 分)设集合 是集合 ， 的子集记 中所有元素的B123nA， ， ， 231nnN， ， ， B和为 （规定： 为空集时， =0） 若 为 3 的整数倍，则称 为 的“和谐子集” SS nA求：（1）集合 的“和谐子集”的个数；1（2）集合 的 “和谐子集” 的个数nA【解】 （1）集合 的子集有： ， ， ， ， ， ， ，1=23A， ， 12312， 3， 2，23， ，其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有： ， ， ， 312， 3， ，所以 的“和谐子集”的个数等于 4 3 分1A（2）记 的“和谐子集 ”的个数等于 ，即 有 个所有元素和为 3 的整数倍的子n
17、 nanAa集；另记 有 个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集，有 个所有元素和为 3 的整数nAb nc倍余 2 的子集由（1）知， 11=42ac， ，集合 的“和谐子集”+331321nAnnn， ， ， ， ， ， ， ， ，有以下四类（考察新增元素 ）：12， ，第一类 集合 ， 的“和谐子集” ，共 个；23n， ， ， 31nn， ， na第二类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；1na同时含两个元素 的“和谐子集” ，共 个；32n， n同时含三个元素 的“和谐子集” ，共 个；131n， ， na第三类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；3nnc同时含两个元素 的“和谐子集” ，共 个；1+， n第四类 仅含一个元素 的“和谐子集” ，共 个；32nnb同时含有两个元素 的“和谐子集” ，共 个，1n， nb所以集合 的“和谐子集”共有 个 +1nA142nnabc同理得 ， 7 分42nbcc所以 ， ，+1()naab12所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列n所以 同理得 =2nnab=2nnac又 ，所以 10 分3c31nN，
