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江苏省宿迁市2019届高三第一次调研测试数学试卷(含答案)

1、数学学科参考答案及评分建议一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分1 已知集合 , ,则集合 = 13A, 01B, AB【答案】 0, ,2 已知复数 (i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 .231z=【答案】 53 某中学组织学生参加社会实践活动,高二(1)班 50 名学生参加活动的次数统计如下:次数 2 3 4 5人数 20 15 10 5则平均每人参加活动的次数为 .【答案】34 如图是一个算法流程图,则输出的 b 的值为 【答案】75 有数学、物理、化学三个兴趣小组,甲、乙两位同学各随机参加一个,则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 【答案】 236 已知

2、正四棱柱的底面边长是 3 cm,侧面的对角线长是cm,5则这个正四棱柱的体积为 cm3【答案】 47 若实数 满足 ,则 的最小值为 xy, 2+x y【答案】 68 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 的准线为 l,直线 l 与双曲线2(0)ypx214xy的两条渐近线分别交于 A,B 两点, ,则 的值为 6【答案】 269 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 与曲线 相切于3yxtsincosyaxbatR, ,点 ,则 的值为 01, abt【答案】 410已知数列 是等比数列,有下列四个命题:n(第 4 题)N 开 始 a FA上顶点为 B(1)已知椭圆的离心率为 ,线段

3、中点的横坐标为 ,求椭圆的标准方程;12AF2(2)已知 外接圆的圆心在直线 上,求椭圆的离心率 的值AFyx=e【解】 (1)因为椭圆 的离心率为 ,2xyab=(0)12所以 ,则 1cc因为线段 中点的横坐标为 ,AF2所以 2ac=所以 ,则 , 28226bac=所以椭圆的标准方程为 41xy分(2)因为 ,(0)()AaFc, , ,所以线段 的中垂线方程为: 2acx=又因为 外接圆的圆心 C 在直线 上,Byx所以 6 分()2acC,因为 ,0)(Ab, , ,所以线段 的中垂线方程为: B()2bayx=由 C 在线段 的中垂线上,得 ,)2cca整理得, , 102()b

4、ac分即 ()0因为 ,所以 12 分abcxOF AB(第 17 题)yPO2O1DCBA所以椭圆的离心率 14 分2ceab18 (本小题满分 16 分)如图 1,一艺术拱门由两部分组成,下部为矩形 , 的长分别为 和ABCD, 23m,上部是圆心为 的劣弧 , 4mOCD=3O(1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离;(2)现欲以 B 点为支点将拱门放倒,放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直,如图 2、图 3、图 4 所示设 与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地Bl面的最大距离为 ,试用 的函数表示 ,并求出 的最大值hh【解】 (1)如图,过 作与地面垂直的直线交 于点 ,交

5、劣弧 于点 , 的OABCD, 12O, 1长即为拱门最高点到地面的距离在 中, , ,2RtC 232所以 ,圆的半径 1RO所以 12=5P答:拱门最高点到地面的距离为 4 分m(2)在拱门放倒过程中,过点 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 当点 在劣弧 上时,拱门上的点到地面的最大距离 等于圆 的半径长与圆CDh心 到地面距离之和;O当点 在线段 上时,拱门上的点到地面的最大距离 等于点 到地面的距PA D离由(1)知,在 中, 1RtOB 213OB以 为坐标原点,直线 为 轴,建立如图所示Blx的坐标系(2.1)当点 在劣弧 上时, PCD62由 , ,6x23B由三角函

6、数定义,得 ,O23cos()sin()6,则 8 分ihODCBAxy OOODDDCCCBBBA AAABCDO图 1(第 18 题)图 2 图 3 图 4所以当 即 时,623取得最大值 10 分h(2.2)当点 在线段 上时, PAD06 设 ,在 中,=CBRtBC,27D31427sincos7,由 ,得Bx27cos()27sin()D,所以 14 分ih4i23cos又当 时, 06csin423sin06h所以 在 上递增4sin23oh06,所以当 时, 取得最大值 6h5因为 ,所以 的最大值为 23523答: ;艺术拱门在放倒的过程中,拱门上的点到4sincos0623

7、()62h, , 地面距离的最大值为( ) 16 分3m19 (本小题满分 16 分)已知函数 ()lnafxR(1)讨论 的单调性;f(2)设 的导函数为 ,若 有两个不相同的零点 ()fx()fx()f 12x, 求实数 的取值范围;a 证明: 12()()ln2ffa【解】 (1) 的定义域为 ,且 x0+, 2()xfODCBAyx(1.1)当 时, 成立,所以 在 为增函数; 2 分0a ()0fx()fx0+,(1.2)当 时,(i)当 时, ,所以 在 上为增函数;x()f()fa,(ii)当 时, ,所以 在 上为减函数4 分0a0fxfx0,(2)由(1)知,当 时, 至多一

8、个零点,不合题意; ()f当 时, 的最小值为 ,0a()fxfa依题意知 ,解得 6 分=1ln01e一方面,由于 , , 在 为增函数,且函数 的af()fxa, ()fx图象在 上不间断1,所以 在 上有唯一的一个零点()fxa,另一方面, 因为 ,所以 10e210ea,令 ,221()lnlfaalng当 时, ,0e22110ag所以 2()lnf gea又 , 在 为减函数,且函数 的图象在 上不间断0fa(fx0, ()fx2a,所以 在 有唯一的一个零点()f,综上,实数 的取值范围是 10 分a10e, 设 121212=+aapxffxxx又 则 12 分12ln0ax,

9、 12lnp下面证明 21a不妨设 ,由知 2x120xa要证 ,即证 21xa21ax因为 , 在 上为减函数,20, , ()f0,所以只要证 1affx又 ,即证 14 分12=0fx22affx设函数 lnlFffxax所以 ,所以 在 为增函数 .20xaF+,所以 ,所以 成立2F22affx从而 成立 .1xa所以 ,即 成立. 16 分12lnlpxa12ln2xffxa20 (本小题满分 16 分)已知等差数列 满足 ,前 8 项和 na4836S(1)求数列 的通项公式;(2)若数列 满足 nb211(21)nknka N, 证明: 为等比数列; 求集合 *3()=pmb,

10、 , ,【解】 (1)设等差数列 的公差为 dna因为等差数列 满足 ,前 8 项和 ,4836S所以 ,解得138762da, 1ad,所以数列 的通项公式为 3 分nn(2)设数列 前 项的和为 bB由(1)及 得,2113(21)nknkaN,1121322nkknknkban, , 由-得 112231313 +2nnnnnnbaab5 1232511()()+(2)nnnnbababa 1121+nnnB所以 ,132nnB N ,又 ,所以 ,满足上式ba1b所以 632nn分当 时,2 21nnB由-得, 8 分b,121nnb 10nb所以 , ,所以数列 是首项为 1,公比为

11、 2 的等比数列 10 分n由 ,得 ,即 3=pmab32mp3pm记 ,由得, ,nc12nacb所以 ,所以 (当且仅当 时等号成立) 12n n 1n由 ,得 ,3=pmab3mpc所以 12 分设 ,由 ,得 t*tN, , 32pm32t当 时, ,不合题意;13当 时, ,此时 符合题意;2t68当 时, ,不合题意;95m当 时, ,不合题意4t13下面证明当 时, tN , 312t不妨设 ,xf4,2ln0xf所以 在 上单调增函数,4+),所以 ,()1ff所以当 时, ,不合题意tN , 312tm综上,所求集合 16 分*()=pabN, , , =68,21 【选做

12、题】本题包括 A、 B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)已知矩阵 , ,且 ,求矩阵 =abcdM102N1042MNM【解】由题意, ,则 4 分14010因为 ,则 6 分=12N1=2所以矩阵 10 分40401MB选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 ( 为参数) 以原点 O 为极点,2xty,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程是 sin()24求:(

13、1)直线 l 的直角坐标方程;(2)直线 被曲线 C 截得的线段长【解】 (1)直线 l 的极坐标方程可化为 ,即(sincosi)4 sincos又 ,cosixy,所以直线 l 的直角坐标方程为 4 分20xy(2)曲线 C: ( 为参数)的普通方程为 2t, 2xy由 ,得 ,20xy, 20x所以直线 l 与曲线 C 的交点 , 8 分1A, 24B,所以直线 被曲线 C 截得的线段长为 10 分22=1+=3C选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分)已知实数 满足 ,求证: abc, , 22bc 22294abc【证明】由柯西不等式,得222222111+c,52222

14、911ab分所以 10 分222221934+abcabc 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22(本小题满分 10 分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个:11,22,33,99 现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4,其结果记为 X;从 9 个不同 2 位“回文数” 中任取 2 个相加,其结果记为 Y(1)求 X 为“回文数 ”的概率; (2)设随机变量 表示 X,Y 两数 中“ 回文数”的个数,求 的

15、概率分布和数学期望 ()E【解】 (1)记“X 是回文数 ”为事件 A9 个不同 2 位“回文数”乘以 4 的值依次为:44,88,132,176,220,264,308,352,396其中“回文数”有:44,88所以,事件 A 的概率 3 分2()9P(2)根据条件知,随机变量 的所有可能取值为 0,1,2由(1)得 5 分2()9设“Y 是回文数 ”为事件 B,则事件 A,B 相互独立根据已知条件得, 2905=PC;8=011PA;25431981B8 分2502981所以,随机变量 的概率分布为0 1 2P 281438108所以,随机变量 的数学期望为 10 分437()029E23

16、(本小题满分 10 分)设集合 是集合 , 的子集记 中所有元素的B123nA, , , 231nnN, , , B和为 (规定: 为空集时, =0) 若 为 3 的整数倍,则称 为 的“和谐子集” SS nA求:(1)集合 的“和谐子集”的个数;1(2)集合 的 “和谐子集” 的个数nA【解】 (1)集合 的子集有: , , , , , , ,1=23A, , 12312, 3, 2,23, ,其中所有元素和为 3 的整数倍的集合有: , , , 312, 3, ,所以 的“和谐子集”的个数等于 4 3 分1A(2)记 的“和谐子集 ”的个数等于 ,即 有 个所有元素和为 3 的整数倍的子n

17、 nanAa集;另记 有 个所有元素和为 3 的整数倍余 1 的子集,有 个所有元素和为 3 的整数nAb nc倍余 2 的子集由(1)知, 11=42ac, ,集合 的“和谐子集”+331321nAnnn, , , , , , , , ,有以下四类(考察新增元素 ):12, ,第一类 集合 , 的“和谐子集” ,共 个;23n, , , 31nn, , na第二类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;1na同时含两个元素 的“和谐子集” ,共 个;32n, n同时含三个元素 的“和谐子集” ,共 个;131n, , na第三类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;3nnc同时含两个元素 的“和谐子集” ,共 个;1+, n第四类 仅含一个元素 的“和谐子集” ,共 个;32nnb同时含有两个元素 的“和谐子集” ,共 个,1n, nb所以集合 的“和谐子集”共有 个 +1nA142nnabc同理得 , 7 分42nbcc所以 , ,+1()naab12所以数列 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列n所以 同理得 =2nnab=2nnac又 ,所以 10 分3c31nN,