1、2019 届高三模拟考试试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)2019.1 参考公式：样本数据 x1，x 2，x n的方差一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知集合 A0，1，2，3，Bx|00)的焦点与双曲线 x2 1 的右焦点重合，则实数 p 的值为 y23.7. 在等差数列a n中，若 a5 ，8a 62a 4a 2，则a n的前 6 项和 S6 的值为 .128. 已知正四棱锥的底面边长为 2 ，高为 1，则该正四棱锥的侧面积为 .39. 已知 a，bR，函数 f(x)(x2)( axb) 为偶函数，且在 (0，)上是减函数，则关于
2、 x 的不等式 f(2x)0 的解集为 .10. 已知 a0，b0 ，且 a3b ，则 b 的最大值为 .1b 1a11. 将函数 f(x)sin 2x 的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x)的图象，则以函数 f(x)与 g(x) 6的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 . 12. 在 ABC 中，AB2，AC3，BAC 60 ，P 为ABC 所在平面内一点，满足 2 ，则 的值为 .CP 32PB PA CP AB 13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x 2y 22mx(4 m6)y40( mR)与以C2(2，3) 为圆心的圆相交于 A(x1，y 1)，B(x 2
3、，y 2)两点，且满足 x x y y ，则实数 m 的值为 21 2 2 21.14. 已知 x0，y 0，z0，且 x yz6，则 x3y 23z 的最小值为 .3二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分) 在ABC 中，sin A ，A( ，).23 2(1) 求 sin 2A 的值；(2) 若 sin B ，求 cos C 的值.1316. (本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E，F 分别是 B1C1，AB，AA 1 的中点.(1) 求证：EF平面 A1BD；(2)
4、 若 A1B1A 1C1，求证：平面 A1BD平面 BB1C1C.17. (本小题满分 14 分)如图，某公园内有两条道路 AB，AP，现计划在 AP 上选择一点 C，新建道路 BC，并把ABC所在的区域改造成绿化区域.已知BAC ，AB2 km. 6(1) 若绿化区域ABC 的面积为 1 km2，求道路 BC 的长度；(2) 若绿化区域ABC 改造成本为 10 万元/km 2，新建道路 BC 成本为 10 万元/km.设ABC (0b0)的离心率为 ，且右焦点到x2a2 y2b2 22右准线 l 的距离为 1.过 x 轴上一点 M(m，0)(m 为常数，且 m(0，2)的直线与椭圆 C 交于
5、 A，B 两点，与 l 交于点 P，D 是弦 AB 的中点，直线 OD 与 l 交于点 Q.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 试判断以 PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)(xa)ln x(a R).(1) 若 a1，求曲线 yf(x )在点(1，f(1)处的切线的方程；(2) 若对于任意的正数 x，f(x)0 恒成立，求实数 a 的值；(3) 若函数 f(x)存在两个极值点，求实数 a 的取值范围.20. (本小题满分 16 分)已知数列a n满足对任意的 nN *，都有 an(qnan1)2q nan
6、an1 a n1 (1q nan1 )，且an1 a n0，其中 a12，q0.记 Tna 1qa 2q 2a3q n1 an.(1) 若 q1，求 T2 019 的值；(2) 设数列b n满足 bn(1q)T nq nan.求数列b n的通项公式；若数列c n满足 c11，且当 n2 时，c n2b n1 1，是否存在正整数 k，t，使c1，c k c1，c tc k成等比数列？若存在，求出所有 k，t 的值；若不存在，请说明理由. 2019 届高三模拟考试试卷数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共
7、 20 分.若多做，则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. (选修 42：矩阵与变换)已知矩阵 A ，B ，求 A1 B.0123 2018B. (选修 44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，曲线 C：2cos .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系 xOy，设过点 A(3，0) 的直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求直线 l 的斜率.C. (选修 45：不等式选讲)已知函数 f(x)|x 1|.(1) 解不等式 f(x1)f( x3)6；(2) 若|a|a|f ( ).ba【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共
8、20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图， 在三棱锥 DABC 中，DA平面 ABC，CAB90，且 ACAD1，AB2，E为 BD 的中点.(1) 求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；(2) 求二面角 ACEB 的余弦值.23. 已知数列a n满足 a1 ，a n1 2a 2a n，nN *.13 2n(1) 用数学归纳法证明：a n(0 ， )；12(2) 令 bn a n，求证：122019 届高三模拟考试试卷(五 )(苏北三市)数学参考答案及评分标准1. 1，2 2. 5 3. 2 4. 21 5. 6. 4 7. 8. 8 9. (0，4) 10
9、. 11. 12. 13 152 3 13 321 13. 6 14. 37415. 解：(1) 由 sin A ，A ( ，)，则 cos A ，(2 分)23 2 1 sin 2A 1 （ 23） 2 53所以 sin 2A2sin Acos A2 ( ) .(6 分)23 53 459(2) 由 A( ，)，则 B 为锐角. 2又 sin B ，所以 cos B ， (8 分)13 1 sin 2B 1 （ 13） 2 223所以 cos Ccos (A B)(cos Acos Bsin Asin B )(12 分)( ) .(14 分)53 223 23 13 210 2916. 证明
10、：(1) 因为 E，F 分别是 AB，AA 1 的中点，所以 EFA 1B.(3 分)因为 EF平面 A1BD，A 1B平面 A1BD，所以 EF平面 A1BD.(6 分)(2) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BB 1平面 A1B1C1.因为 A1D平面 A1B1C1，所以 BB1A 1D. (8 分)因为 A1B1A 1C1，且 D 是 B1C1 的中点，所以 A1DB 1C1.(10 分)因为 BB1B 1C1B 1，B 1C1， BB1平面 BB1C1C，所以 A1D平面 BB1C1C.(12 分)因为 A1D平面 A1BD，所以平面 A1BD平面 BB1C1C. (14 分)17
11、. 解：(1) 在ABC 中，已知BAC ，AB2 km， 6所以ABC 的面积 S ABACsin 1，解得 AC2.(2 分)12 6在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB 2AC 22ABACcos 62 22 2222cos 84 ，(4 分) 6 3所以 BC (km).(5 分)8 43 6 2(2) 由ABC ，则ACB( )， 00，f()单调递增.(12 分) 6 23所以当 时，该计划所需费用最小. 6答：当 时，该计划所需总费用最小.(14 分) 618. 解：(1) 设椭圆的右焦点为( c，0) ，由题意，得 解得ca 22，a2c c 1， ) a 2，c 1， )所
12、以 a22，b 21，所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.(4 分)x22(2) 由题意，当直线 AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意 .设 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(xm).又准线方程为 x2，所以点 P 的坐标为 P(2，k(2m).(6 分)由 得 x22 k2(xm) 22，y k（ x m） ，x2 2y2 2， )即(12k 2)x2 4k2mx2k 2m2 20，所以 xD ，y Dk( m) ，(8 分)12 4k2m2k2 1 2k2m2k2 1 2k2m2k2 1 km2k2 1所以 kOD ，从而直线 OD 的方程为 y x，12k 12k所
13、以点 Q 的坐标为 Q(2， )，(10 分)1k所以以 PQ 为直径的圆的方程为 (x2) 2yk(2m)( y )0，1k即 x24x2my 2 k(2 m) y0.(14 分)1k因为该式对k 0 恒成立，所以 解得y 0，x2 4x 2 m y2 0， ) x 2 2 m，y 0. )所以以 PQ 为直径的圆经过定点 (2 ，0).(16 分)2 m19. 解：(1) 因为 f(x)( xa )ln x(aR)，所以当 a1 时，f(x) (x1)ln x，则 f(x)ln x1 .(1 分) 1x当 x1 时，f(1)0，f(1) 0，所以曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线的方
14、程为 y0.(3 分)(2) 因为对于任意的正数 x，f(x)0 恒成立，所以当 lnx0，即 x1 时，f(x)0，aR ；(5 分)当 ln x0，即 x1 时，xa 恒成立，所以 a1； (6 分)当 ln x0，所以 g(x)单调递增，至多一个零点.(9 分)当 a0，g(x)单调递增，所以 xa 时，g( x)ming( a)ln(a)2. (11 分)因为 g(x)存在两个不相等的零点，所以 ln(a) 2e2a.1a因为 g( )ln( )a 210，所以 g(x)在(a，) 上存在一个零点.(13 分)1a 1a因为e 2 2ln e 21e 230，1e2所以 g(a2)ln
15、 a2 10 ，所以在 (0，a)上存在一个零点.1a综上可知，e 2 |a|f( )，只要证|ab1| ba|，只需证 (ab1) 2(ba) 2.ba而(ab1) 2(ba) 2a 2b2a 2b 21(a 21)(b 21)0，从而原不等式成立. (10 分)22. 解：因为 DA平面 ABC，CAB 90 ，所以以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.因为 ACAD1，AB2，所以 A(0，0， 0)，C (1，0，0)，B(0，2，0) ，D(0 ，0，1).因为点 E 为线段 BD 的中点，所以 E(0，1， ).12(1) (0，1， )， (1 ，2，0)，
16、AE 12 BC 所以 cos ， ，AE BC AE BC |AE |BC | 2545 45所以异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为 .(5 分)45(2) 设平面 ACE 的法向量为 n1(x，y，z)，因为 (1，0，0)， (0 ，1， )，AC AE 12所以 n1 0，n 1 0，即 x0 且 y z0，取 y1，得 x0，z2，AC AE 12所以 n1(0 ，1 ，2)是平面 ACE 的一个法向量.设平面 BCE 的法向量为 n2 (x，y，z)，因为 (1，2，0)， (0，1， )，BC BE 12所以 n2 0，n 2 0，即 x2y 0 且y z0，取 y1，得
17、 x2，z2，BC BE 12所以 n2(2 ，1 ，2)是平面 BCE 的一个法向量.所以 cosn 1， n2 . (8 分)n1n2|n1|n2| 359 55所以二面角 ACEB 的余弦值为 . (10 分)5523. 证明：(1) 当 n1 时，a 1 (0 ， )，结论显然成立；13 12假设当 nk(k1，k N *)时，a k(0， )，12则当 nk1 时，a k1 2a 2a k2( ak )2 (0 ， ).2k12 12 12综上，a n(0， ).(4 分)12(2) 由(1)知，a n(0， )，所以 bn a n(0 ， ).12 12 12因为 an1 2a 2
18、a n，2n所以 a n1 (2a 2a n)2a 2a n 2(a n )2，即 bn1 2b .12 12 2n 2n 12 12 2n于是 log2bn1 2log 2bn1，所以(log 2bn1 1)2(log 2bn1) ，故log 2bn1构成以 2 为公比的等比数列，其首项为 log2b11log 2 1log 2 .16 13于是 log2bn1(log 2 )2n1 ，从而 log2(2bn)(log 2 )2n1 log 2( )2n1 ，13 13 13所以 2bn( )2n1 ，即 bn ，于是 232 n1 .(8 分)13 （ 13） 2n 12 1bn因为当 i1，2 时，2 i1 i，当 i3 时，2 i1 (11) i1 C C C C C i， 0i 1 1i 1 i 1 0i 1 1i 1所以对iN *，有 2i1 i，所以 32i1 3 i，所以 232 i1 23 i，1bi从而 2(3 13 23 n) 2 3 n1 3.(10 分)1b1 1b2 1bn 3（ 1 3n）1 3
