1、四 川 省 内 江 市 资 中 县 2018-2019 学 年 九 年 级 （ 上 ） 期 中 数 学 试 卷一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 ）1 计 算 的 结 果 是 （ ）A 3 B 3 C 3 D【 分 析 】 直 接 根 据 |a|化 简 即 可 解 ： |3| 3故 选 ： A【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 性 质 与 化 简 ： |a|2 下 列 代 数 式 能 作 为 二 次 根 式 被 开 方 数 的 是 （ ）A 3 B a C a2+1 D 2x+4【 分 析 】 直 接 利 用 二
2、次 根 式 的 定 义 分 别 分 析 得 出 答 案 解 ： A、 3 0， 则 3 a 不 能 作 为 二 次 根 式 被 开 方 数 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 a 的 符 号 不 能 确 定 ， 则 a 不 能 作 为 二 次 根 式 被 开 方 数 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 a2+1 一 定 大 于 0， 能 作 为 二 次 根 式 被 开 方 数 ， 故 此 选 项 错 正 确 ；D、 2x+4 的 符 号 不 能 确 定 ， 则 a 不 能 作 为 二 次 根 式 被 开 方 数 ， 故 此 选 项 错 误 ；故 选 ： C【 点 评 】 此 题 主 要 考 查
3、 了 二 次 根 式 的 定 义 ， 正 确 把 握 二 次 根 式 的 定 义 是 解 题 关 键 3 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 3x2+4x 5 0， 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ）A 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根B 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根C 没 有 实 数 根D 无 法 确 定【 分 析 】 先 求 出 的 值 ， 再 判 断 出 其 符 号 即 可 解 ： 42 4 3 （ 5） 76 0， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 故 选 ： B【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 根 的 判 别 式 ， 熟
4、 知 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 的根 与 的 关 系 是 解 答 此 题 的 关 键 4 计 算 的 结 果 为 （ ）A 4 B 3 C 2 D 16【 分 析 】 二 次 根 式 加 减 时 ， 可 以 先 将 二 次 根 式 化 成 最 简 二 次 根 式 ， 再 将 被 开 方 数相 同 的 二 次 根 式 进 行 合 并 注 意 解 ： 故 选 C【 点 评 】 考 查 二 次 根 式 的 加 减 运 算 ， 注 意 只 有 被 开 方 数 相 同 的 二 次 根 式 才 能 合 并 5 在 比 例 尺 是 1： 40000 的 地 图 上 ， 若 某
5、 条 道 路 长 约 为 5cm， 则 它 的 实 际 长 度 约为 （ ）A 0.2km B 2km C 20km D 200km【 分 析 】 根 据 比 例 尺 图 上 距 离 ： 实 际 距 离 ， 依 题 意 列 比 例 式 直 接 求 解 即 可 解 ： 设 这 条 道 路 的 实 际 长 度 为 x， 则 ： ，解 得 x 200000cm 2km 这 条 道 路 的 实 际 长 度 为 2km故 选 ： B【 点 评 】 本 题 考 查 比 例 线 段 问 题 ， 解 题 的 关 键 是 能 够 根 据 比 例 尺 的 定 义 构 建 方 程 ，注 意 单 位 的 转 换 6
6、若 矩 形 的 长 和 宽 是 方 程 x2 7x+12 0 的 两 根 ， 则 矩 形 的 对 角 线 长 度 为 （ ）A 5 B 7 C 8 D 10【 分 析 】 设 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 a、 b， 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 a+b 7， ab12， 利 用 勾 股 定 理 得 到 矩 形 的 对 角 线 长 ， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 和 整体 代 入 的 方 法 可 计 算 出 矩 形 的 对 角 线 长 为 5解 ： 设 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 a、 b，则 a+b 7， ab 12，所 以 矩 形 的 对 角 线 长 5
7、，故 选 ： A【 点 评 】 本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 ： 若 x1， x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 的 两 根 时 ， x1+x2 ， x1x2 也 考 查 了 矩 形 的 性 质 7 如 果 x2+ax+1 是 一 个 完 全 平 方 式 ， 那 么 a 的 值 是 （ ）A 2 B 2 C 2 D 1【 分 析 】 完 全 平 方 式 有 两 个 ： a2+2ab+b2和 a2 2ab+b2， 根 据 以 上 内 容 得 出 ax 2x， 求 出 即 可 解 ： x2+ax+1 是 一 个 完 全 平 方 式 ， ax 2x1，
8、解 得 ： a 2，故 选 ： C【 点 评 】 本 题 考 查 了 对 完 全 平 方 公 式 的 应 用 ， 能 根 据 题 意 得 出 ax 2x1 是 解此 题 的 关 键 ， 注 意 ： 完 全 平 方 式 有 两 个 ： a2+2ab+b2和 a2 2ab+b28 若 2 是 方 程 x2 4x+c 0 的 一 个 根 ， 则 c 的 值 是 （ ）A 1 B C D【 分 析 】 把 2 代 入 方 程 x2 4x+c 0 就 得 到 关 于 c 的 方 程 ， 就 可 以 解 得 c 的值 解 ： 把 2 代 入 方 程 x2 4x+c 0， 得 （ 2 ） 2 4（ 2 ）
9、+c 0，解 得 c 1；故 选 ： A【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 一 元 二 次 方 程 的 根 即 方 程 的 解 的 定 义 能 使 一 元 二 次 方 程左 右 两 边 相 等 的 未 知 数 的 值 是 一 元 二 次 方 程 的 解 又 因 为 只 含 有 一 个 未 知 数的 方 程 的 解 也 叫 做 这 个 方 程 的 根 ， 所 以 ， 一 元 二 次 方 程 的 解 也 称 为 一 元 二 次方 程 的 根 9 已 知 ， 则 的 值 为 （ ）A 1 B C D【 分 析 】 根 据 ， 可 以 求 得 a、 b 的 值 ， 从 而 可 以 求 得 所 求
10、式 子 的 值 ，本 题 得 以 解 决 解 ： ， a 3 0， 2 b 0，解 得 ， a 3， b 2， ，故 选 ： D【 点 评 】 本 题 考 查 二 次 根 式 的 化 简 求 值 、 非 负 数 的 性 质 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 明 确题 意 ， 求 出 a、 b 的 值 10 如 图 ， 有 一 张 矩 形 纸 片 ， 长 10cm， 宽 6cm， 在 它 的 四 角 各 剪 去 一 个 同 样 的小 正 方 形 ， 然 后 折 叠 成 一 个 无 盖 的 长 方 体 纸 盒 若 纸 盒 的 底 面 （ 图 中 阴 影 部分 ） 面 积 是 32cm2， 求 剪
11、 去 的 小 正 方 形 的 边 长 设 剪 去 的 小 正 方 形 边 长 是 xcm，根 据 题 意 可 列 方 程 为 （ ）A 10 6 4 6x 32 B （ 10 2x） （ 6 2x） 32C （ 10 x） （ 6 x） 32 D 10 6 4x2 32【 分 析 】 设 剪 去 的 小 正 方 形 边 长 是 xcm， 则 纸 盒 底 面 的 长 为 （ 10 2x） cm， 宽 为（ 6 2x） cm， 根 据 长 方 形 的 面 积 公 式 结 合 纸 盒 的 底 面 （ 图 中 阴 影 部 分 ） 面 积是 32cm2， 即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 二 次
12、方 程 ， 此 题 得 解 解 ： 设 剪 去 的 小 正 方 形 边 长 是 xcm， 则 纸 盒 底 面 的 长 为 （ 10 2x） cm， 宽 为 （ 6 2x） cm，根 据 题 意 得 ： （ 10 2x） （ 6 2x） 32故 选 ： B【 点 评 】 本 题 考 查 由 实 际 问 题 抽 象 出 一 元 二 次 方 程 ， 找 准 等 量 关 系 ， 正 确 列 出 一元 二 次 方 程 是 解 题 的 关 键 11 定 义 ： 如 果 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c o（ a 0） 满 足 a b+c 0， 那 么 我 们称 这 个 方 程 为 “ 蝴 蝶 ”
13、方 程 已 知 关 于 x 的 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 是 “ 蝴蝶 ” 方 程 ， 且 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ ）A b c B a b C a c D a b c【 分 析 】 根 据 已 知 得 出 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 有 x 1， 再 判 断 即 可 把 x 1 代 入 方 程 ax2+bx+c 0 得 出 a b+c 0， b a+c， 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， b2 4ac （ a+c） 2 4ac （ a c） 2 0， a c，故 选 ： C【 点 评 】
14、本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 解 ， 根 的 判 别 式 ， 根 与 系 数 的 关 系 的 应 用 ，主 要 考 查 学 生 的 理 解 能 力 和 计 算 能 力 12 欧 几 里 得 的 原 本 记 载 ， 形 如 x2+ax b2的 方 程 的 图 解 法 是 ： 画 Rt ABC，使 ACB 90 ， BC ， AC b， 再 在 斜 边 AB 上 截 取 BD 则 该 方 程的 一 个 正 根 是 （ ）A AC 的 长 B AD 的 长 C BC 的 长 D CD 的 长【 分 析 】 表 示 出 AD 的 长 ， 利 用 勾 股 定 理 求 出 即 可 解 ：
15、 欧 几 里 得 的 原 本 记 载 ， 形 如 x2+ax b2的 方 程 的 图 解 法 是 ： 画 Rt ABC，使 ACB 90 ， BC ， AC b， 再 在 斜 边 AB 上 截 取 BD ，设 AD x， 根 据 勾 股 定 理 得 ： （ x+ ） 2 b2+（ ） 2，整 理 得 ： x2+ax b2，则 该 方 程 的 一 个 正 根 是 AD 的 长 ，故 选 ： B【 点 评 】 此 题 考 查 了 解 一 元 二 次 方 程 配 方 法 ， 熟 练 掌 握 完 全 平 方 公 式 是 解 本 题的 关 键 二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每
16、小 题 5 分 ， 共 20 分 请 将 最 后 答 案 直 接 写 在答 题 卷 的 相 应 题 中 的 横 线 上 ）13 （ 5 分 ） 若 ， 则 【 分 析 】 设 a 2x， 则 b 9x， 代 入 代 数 式 即 可 求 解 解 ： 设 a 2x， 则 b 9x，故 原 式 故 答 案 是 ： 【 点 评 】 本 题 考 查 了 比 例 的 性 质 ， 正 确 进 行 设 未 知 数 是 关 键 14 （ 5 分 ） 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2x+m 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 值是 1 【 分 析 】 由 于 关 于 x 的 一
17、 元 二 次 方 程 x2+2x+m 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 可 知 其判 别 式 为 0， 据 此 列 出 关 于 m 的 方 程 ， 解 答 即 可 解 ： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+2x+m 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 0， 22 4m 0， m 1，故 答 案 为 ： 1【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 根 的 判 别 式 的 知 识 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 掌 握 一 元 二 次 方程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 可 得 0， 此 题 难 度 不 大 15 （ 5 分 ） 若 ， 则 x2+
18、2x+1 2 【 分 析 】 首 先 把 所 求 的 式 子 化 成 （ x+1） 2的 形 式 ， 然 后 代 入 求 值 解 ： 原 式 （ x+1） 2，当 x 1 时 ， 原 式 （ ） 2 2【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 化 简 求 值 ， 正 确 对 所 求 式 子 进 行 变 形 是 关 键 16 （ 5 分 ） 对 于 任 意 实 数 a、 b， 定 义 ： a b a2+ab+b2 若 方 程 （ x 2） 50 的 两 根 记 为 m、 n， 则 m2+n2 6 【 分 析 】 根 据 新 定 义 可 得 出 m、 n 为 方 程 x2+2x 1
19、0 的 两 个 根 ， 利 用 根 与 系 数的 关 系 可 得 出 m+n 2、 mn 1， 将 其 代 入 m2+n2 （ m+n） 2 2mn 中 即可 得 出 结 论 解 ： （ x 2） 5 x2+2x+4 5， m、 n 为 方 程 x2+2x 1 0 的 两 个 根 ， m+n 2， mn 1， m2+n2 （ m+n） 2 2mn 6故 答 案 为 ： 6【 点 评 】 本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 ， 牢 记 两 根 之 和 等 于 、 两 根 之 积 等 于是 解 题 的 关 键 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 44 分 ）17
20、 （ 9 分 ） 计 算 下 列 各 题 ：（ 1） ；（ 2） （ 1） 2+ ；（ 3） （ ） （ ） +| 1|+（ 5 2） 0【 分 析 】 （ 1） 根 据 二 次 根 式 的 乘 除 法 则 运 算 ；（ 2） 利 用 完 全 平 方 公 式 计 算 ；（ 3） 根 据 二 次 根 式 的 乘 法 法 则 、 绝 对 值 的 意 义 和 零 指 数 幂 的 意 义 运 算 ；解 ： （ 1） 原 式 3；（ 2） 原 式 3 2 +1+2 4；（ 3） 原 式 + 1+1 3 + 4 【 点 评 】 本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 混 合 运 算 ： 先 把 各 二 次
21、 根 式 化 简 为 最 简 二 次 根 式 ，然 后 进 行 二 次 根 式 的 乘 除 运 算 ， 再 合 并 即 可 在 二 次 根 式 的 混 合 运 算 中 ， 如能 结 合 题 目 特 点 ， 灵 活 运 用 二 次 根 式 的 性 质 ， 选 择 恰 当 的 解 题 途 径 ， 往 往 能事 半 功 倍 18 （ 9 分 ） 用 指 定 的 方 法 解 下 列 一 元 二 次 方 程 ：（ 1） x2 2x 2 0（ 公 式 法 ） ；（ 2） 2（ x 3） 3x（ x 3） （ 因 式 分 解 法 ） ；（ 3） 2x2 4x+1 0（ 配 方 法 ）【 分 析 】 （ 1）
22、 利 用 公 式 法 即 可 求 解 ；（ 2） 利 用 因 式 分 解 法 即 可 求 解 ；（ 3） 利 用 配 方 法 解 方 程 即 可 求 解 解 ： （ 1） a 1， b 2， c 2， （ 2）2 4 1 （ 2） 4+8 12 0，则 x 1 ， x1 1+ ， x2 1 ；（ 2） 2（ x 3） 3x（ x 3） ， 2（ x 3） 3x（ x 3） 0，则 （ 2 3x） （ x 3） 0， 2 3x 0 或 x 3 0，解 得 ： x1 ， x2 3；（ 3） 2x2 4x+1 0， 2x2 4x 1， x2 2x ，则 x2 2x+1 +1， 即 （ x 1） 2
23、， x 1 ，则 x1 1+ ， x2 1 【 点 评 】 此 题 分 别 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 几 种 解 法 ， 解 题 的 关 键 是 根 据 不 同 方 程的 形 式 选 择 最 佳 方 法 解 决 问 题 19 （ 8 分 ） 已 知 线 段 a 0.3m， b 60cm， c 12dm（ 1） 求 线 段 a 与 线 段 b 的 比 （ 2） 如 果 线 段 a、 b、 c、 d 成 比 例 ， 求 线 段 d 的 长 （ 3） b 是 a 和 c 的 比 例 中 项 吗 ？ 为 什 么 ？【 分 析 】 （ 1） 根 据 a 0.3m 30cm； b 60cm，
24、 即 可 求 得 a： b 的 值 ；（ 2） 根 据 线 段 a、 b、 c、 d 是 成 比 例 线 段 ， 可 得 ， 再 根 据 c 12dm 120cm，即 可 得 出 线 段 d 的 长 ；（ 3） 根 据 b2 3600， ac 30 120 3600， 可 得 b2 ac， 进 而 得 出 b 是 a 和 c的 比 例 中 项 解 ： （ 1） a 0.3m 30cm； b 60cm， a： b 30： 60 1： 2；（ 2） 线 段 a、 b、 c、 d 是 成 比 例 线 段 ， ， c 12dm 120cm， ， d 240cm；（ 3） 是 ， 理 由 ： b2 36
25、00， ac 30 120 3600， b2 ac， b 是 a 和 c 的 比 例 中 项 【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 了 成 比 例 线 段 ， 判 段 四 条 线 段 是 否 成 比 例 ， 只 要 把 四 条 线段 按 大 小 顺 序 排 列 好 ， 判 断 前 两 条 线 段 之 比 与 后 两 条 线 段 之 比 是 否 相 等 即 可 ；求 线 段 之 比 时 ， 要 先 统 一 线 段 的 长 度 单 位 20 （ 9 分 ） 某 公 司 今 年 1 月 份 的 生 产 成 本 是 400 万 元 ， 由 于 改 进 技 术 ， 生 产 成本 逐 月 下 降 ， 3
26、 月 份 的 生 产 成 本 是 361 万 元 假 设 该 公 司 2、 3、 4 月 每 个 月 生 产 成 本 的 下 降 率 都 相 同 （ 1） 求 每 个 月 生 产 成 本 的 下 降 率 ；（ 2） 请 你 预 测 4 月 份 该 公 司 的 生 产 成 本 【 分 析 】 （ 1） 设 每 个 月 生 产 成 本 的 下 降 率 为 x， 根 据 2 月 份 、 3 月 份 的 生 产 成 本 ，即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 解 之 取 其 较 小 值 即 可 得 出 结 论 ；（ 2） 由 4 月 份 该 公 司 的 生 产 成 本 3 月 份
27、 该 公 司 的 生 产 成 本 （ 1 下 降 率 ） ，即 可 得 出 结 论 解 ： （ 1） 设 每 个 月 生 产 成 本 的 下 降 率 为 x，根 据 题 意 得 ： 400（ 1 x） 2 361，解 得 ： x1 0.05 5%， x2 1.95（ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） 答 ： 每 个 月 生 产 成 本 的 下 降 率 为 5%（ 2） 361 （ 1 5%） 342.95（ 万 元 ） 答 ： 预 测 4 月 份 该 公 司 的 生 产 成 本 为 342.95 万 元 【 点 评 】 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 的 应 用 ， 解 题 的 关
28、键 是 ： （ 1） 找 准 等 量 关 系 ，正 确 列 出 一 元 二 次 方 程 ； （ 2） 根 据 数 量 关 系 ， 列 式 计 算 21 （ 9 分 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2+（ 2m+1） x+m2 2 0（ 1） 若 该 方 程 有 两 个 实 数 根 ， 求 m 的 最 小 整 数 值 ；（ 2） 若 方 程 的 两 个 实 数 根 为 x1， x2， 且 （ x1 x2） 2+m2 21， 求 m 的 值 【 分 析 】 （ 1） 利 用 判 别 式 的 意 义 得 到 （ 2m+1） 2 4（ m2 2） 0， 然 后 解不 等 式 得
29、到 m 的 范 围 ， 再 在 此 范 围 内 找 出 最 小 整 数 值 即 可 ；（ 2） 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2 （ 2m+1） ， x1x2 m2 2， 再 利 用 （ x1x2） 2+m2 21 得 到 （ 2m+1） 2 4（ m2 2） +m2 21， 接 着 解 关 于 m 的 方 程 ，然 后 利 用 （ 1） 中 m 的 范 围 确 定 m 的 值 解 ： （ 1） 根 据 题 意 得 （ 2m+1） 2 4（ m2 2） 0，解 得 m ，所 以 m 的 最 小 整 数 值 为 2；（ 2） 根 据 题 意 得 x1+x2 （ 2m+1）
30、， x1x2 m2 2， （ x1 x2） 2+m2 21， （ x1+x2） 2 4x1x2+m2 21， （ 2m+1） 2 4（ m2 2） +m2 21，整 理 得 m2+4m 12 0， 解 得 m1 2， m2 6， m ， m 的 值 为 2【 点 评 】 本 题 考 查 了 根 与 系 数 的 关 系 ： 若 x1， x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 的 两 根 时 ， x1+x2 ， x1x2 也 考 查 了 根 的 判 别 式 四 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 6 分 ， 共 24 分 请 将 最 后 答 案
31、 直 接 写 在答 题 卷 的 相 应 题 中 的 横 线 上 ）22 （ 6 分 ） 如 果 ， 那 么 【 分 析 】 设 ， 然 后 根 据 比 例 的 性 质 解 三 元 一 次 方 程 组 ， 最 后将 a、 b 的 值 代 入 所 求 解 答 即 可 解 ： 设 ， 则，解 得 ， 【 点 评 】 本 题 集 中 考 查 了 比 例 的 基 本 性 质 、 代 数 式 求 值 及 三 元 一 次 方 程 组 的 解 法 23 （ 6 分 ） 如 果 恰 好 只 有 一 个 实 数 a 是 方 程 （ k2 9） x2 2（ k+1） x+1 0 的 根 ，则 k 的 值 为 3 或
32、 5 【 分 析 】 分 原 方 程 是 一 元 一 次 方 程 和 一 元 二 次 方 程 两 种 情 况 讨 论 即 可 得 到 答 案 解 ： 当 原 方 程 是 一 个 一 元 一 次 方 程 时 ， 方 程 只 有 一 个 实 数 根 ，则 k2 9 0，解 得 k 3，当 原 方 程 是 一 元 二 次 方 程 时 ， b2 4ac 0，即 ： 4（ k+1） 2 4（ k2 9） 0解 得 ： k 5故 答 案 为 3 或 5【 点 评 】 本 题 考 查 了 根 的 判 别 式 ， 同 时 还 考 查 了 分 类 讨 论 思 想 ， 是 一 道 好 题 24 （ 6 分 ） 若
33、 a、 b、 c 是 实 数 ， 且 a 2b+ ， ab+ 0， 那 么 的 值为 【 分 析 】 将 a 2b+ 代 入 ab+ 0 中 ， 利 用 配 方 法 将 等 式 变 形 为 两 个非 负 数 的 和 为 0 的 形 式 ， 利 用 几 个 非 负 数 的 和 为 0， 这 几 个 非 负 数 都 为 0， 据此 解 答 本 题 解 ： 将 a 2b+ 代 入 ab+ 0，得 ： （ 2b+ ） b+ 0，整 理 ， 得 ： （ b+ ） 2+ c2 0， b+ 0 且 c 0，解 得 ： b ，则 a 2 （ ） + ， ，故 答 案 为 ： 【 点 评 】 本 题 主 要 考
34、 查 二 次 根 式 的 化 简 求 值 ， 解 题 的 关 键 是 利 用 配 方 法 将 原 式 变形 为 几 个 非 负 数 的 和 的 形 式 ， 并 熟 练 掌 握 二 次 根 式 的 运 算 顺 序 和 运 算 法 则 25 （ 6 分 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 x2+2kx+k2+k+3 0 的 两 根 分 别 是 x1、 x2， 则 （ x1 1） 2+（ x2 1） 2的 最 小 值 是 8 【 分 析 】 利 用 根 与 系 数 的 关 系 得 x1+x2 2k， x1x2 k2+k+3， k 3， 再 将 （ x1 1）2+（ x2 1） 2化 简 为 （ x1
35、+x2） 2 2x1x2 2（ x1+x2） ， 代 入 即 可 求 解 解 ： 关 于 x 的 方 程 x2+2kx+k2+k+3 0 的 两 根 分 别 是 x1、 x2， x1+x2 2k， x1x2 k2+k+3， 4k2 4（ k2+k+3） 4k 12 0， 解 得 k 3， （ x1 1） 2+（ x2 1） 2 x12 2x1+1+x22 2x2+1 （ x1+x2） 2 2x1x2 2（ x1+x2） +2 （ 2k） 2 2（ k2+k+3） 2（ 2k） +2 2k2+2k 4 2（ k+ ） 2 ， k 3， 2 （ 3+ ） 2 8， 2（ k+ ） 2 8，故 （
36、x1 1） 2+（ x2 1） 2的 最 小 值 是 8故 答 案 为 ： 8【 点 评 】 本 题 考 查 了 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 的 根 与 系 数 的 关 系 ： x1，x2是 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c 0（ a 0） 的 两 根 时 ， x1+x2 ， x1x2 同时 考 查 了 配 方 法 的 应 用 五 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 36 分 解 答 时 必 须 写 出 必 要的 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 推 演 步 骤 ）26 （ 12 分 ） 能 力 拓 展
37、： A1： ； A2： ； A3：； A4： ； ； An： （ 1） 请 观 察 A1， A2， A3的 规 律 ， 按 照 规 律 完 成 填 空 ；（ 2） 请 比 较 下 列 代 数 式 的 大 小 ： 和 ； 和 ；（ 3） 请 直 接 写 出 与 的 大 小 关 系 【 分 析 】 （ 1） 观 察 A1， A2， A3的 规 律 可 知 ， 即 可 得 到 结 论 ；（ 2） 根 据 （ 1） 的 结 论 即 可 得 到 结 果 ；（ 3） 利 用 （ 1） 的 结 论 进 行 填 空 即 可 解 ： （ 1） 观 察 A1， A2， A3的 规 律 可 知 ， ，故 答 案 为
38、 ： ；（ 2） ； ； ， ； ， ； ， ；（ 3） ， ， ， 【 点 评 】 主 要 考 查 二 次 根 式 的 有 理 化 根 据 二 次 根 式 的 乘 除 法 法 则 进 行 二 次 根 式有 理 化 二 次 根 式 有 理 化 主 要 利 用 了 平 方 差 公 式 ， 所 以 一 般 二 次 根 式 的 有 理化 因 式 是 符 合 平 方 差 公 式 的 特 点 的 式 子 即 一 项 符 号 和 绝 对 值 相 同 ， 另 一 项符 号 相 反 绝 对 值 相 同 27 （ 12 分 ） 如 图 ， 四 边 形 ACDE 是 证 明 勾 股 定 理 时 用 到 的 一 个
39、 图 形 ， a， b， c是 Rt ABC 和 Rt BED 边 长 ， 易 知 ， 这 时 我 们 把 关 于 x 的 形 如的 一 元 二 次 方 程 称 为 “ 勾 系 一 元 二 次 方 程 ” 请 解 决 下 列 问 题 ：（ 1） 写 出 一 个 “ 勾 系 一 元 二 次 方 程 ” ；（ 2） 求 证 ： 关 于 x 的 “ 勾 系 一 元 二 次 方 程 ” 必 有 实 数 根 ；（ 3） 若 x 1 是 “ 勾 系 一 元 二 次 方 程 ” 的 一 个 根 ， 且 四 边 形ACDE 的 周 长 是 6 ， 求 ABC 面 积 【 分 析 】 （ 1） 直 接 找 一
40、组 勾 股 数 代 入 方 程 即 可 ；（ 2） 通 过 判 断 根 的 判 别 式 的 正 负 来 证 明 结 论 ；（ 3） 利 用 根 的 意 义 和 勾 股 定 理 作 为 相 等 关 系 先 求 得 c 的 值 ， 根 据 完 全 平 方 公 式求 得 ab 的 值 ， 从 而 可 求 得 面 积 （ 1） 解 ： 当 a 3， b 4， c 5 时勾 系 一 元 二 次 方 程 为 3x2+5 x+4 0；（ 2） 证 明 ： 根 据 题 意 ， 得 （ c）2 4ab 2c2 4ab a2+b2 c2 2c2 4ab 2（ a2+b2） 4ab 2（ a b） 2 0即 0 勾
41、 系 一 元 二 次 方 程 必 有 实 数 根 ；（ 3） 解 ： 当 x 1 时 ， 有 a c+b 0， 即 a+b c 2a+2b+ c 6 ， 即 2（ a+b） + c 6 3 c 6 c 2 a2+b2 c2 4， a+b 2 （ a+b） 2 a2+b2+2ab ab 2 S ABC ab 1【 点 评 】 此 类 题 目 要 读 懂 题 意 ， 根 据 题 目 中 所 给 的 材 料 结 合 勾 股 定 理 和 根 的 判 别式 解 题 28 （ 12 分 ） 我 们 在 解 决 数 学 问 题 时 ， 经 常 采 用 “ 转 化 ” （ 或 “ 化 归 ” ） 的 思 想
42、方法 ， 即 把 待 解 决 的 问 题 ， 通 过 转 化 归 结 到 一 类 已 解 决 或 比 较 容 易 解 决 的 问 题 譬 如 ， 求 解 一 元 二 次 方 程 ， 通 常 把 它 转 化 为 两 个 一 元 一 次 方 程 来 解 ； 求 解 分 式 方程 ， 通 常 把 它 转 化 为 整 式 方 程 来 解 ， 只 是 因 为 分 式 方 程 “ 去 分 母 ” 时 可 能 产生 增 根 ， 所 以 解 分 式 方 程 必 须 检 验 请 你 运 用 上 述 把 “ 未 知 ” 转 化 为 “ 已 知 ” 的 数 学 思 想 ， 解 决 下 列 问 题 （ 1） 解 方
43、程 ： x3+x2 2x 0；（ 2） 解 方 程 ： x；（ 3） 如 图 ， 已 知 矩 形 草 坪 ABCD 的 长 AD 8m， 宽 AB 3m， 小 华 把 一 根 长 为10m 的 绳 子 的 一 端 固 定 在 点 B， 沿 草 坪 边 沿 BA、 AD 走 到 点 P 处 ， 把 长 绳 PB段 拉 直 并 固 定 在 点 P， 然 后 沿 草 坪 边 沿 PD、 DC 走 到 点 C 处 ， 把 长 绳 剩 下 的一 段 拉 直 ， 长 绳 的 另 一 端 恰 好 落 在 点 C 求 AP 的 长 【 分 析 】 （ 1） 因 式 分 解 多 项 式 ， 然 后 得 结 论
44、；（ 2） 两 边 平 方 ， 把 无 理 方 程 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 解 ， 注 意 验 根 ；（ 3） 设 AP 的 长 为 xm， 根 据 勾 股 定 理 和 BP+CP 10， 可 列 出 方 程 ， 由 于 方 程 含有 根 号 ， 两 边 平 方 ， 把 无 理 方 程 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 解 ，解 ： （ 1） x3+x2 2x 0，x（ x2+x 2） 0，x（ x+2） （ x 1） 0所 以 x 0 或 x+2 0 或 x 1 0 x1 0， x2 2， x3 1；（ 2） x，方 程 的 两 边 平 方 ， 得 2x+3 x2即 x2 2x
45、 3 0（ x 3） （ x+1） 0 x 3 0 或 x+1 0 x1 3， x2 1，当 x 1 时 ， 1 1，所 以 1 不 是 原 方 程 的 解 所 以 方 程 x 的 解 是 x 3；（ 3） 因 为 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ，所 以 A D 90 ， AB CD 3m设 AP xm， 则 PD （ 8 x） m因 为 BP+CP 10，BP ， CP + 10 10 ，两 边 平 方 ， 得 （ 8 x） 2+9 100 20 +9+x2整 理 ， 得 5 4x+9两 边 平 方 并 整 理 ， 得 x2 8x+16 0即 （ x 4） 2 0所 以 x 4经 检 验 ， x 4 是 方 程 的 解 答 ： AP 的 长 为 4m【 点 评 】 本 题 考 查 了 转 化 的 思 想 方 法 ， 一 元 二 次 方 程 的 解 法 解 无 理 方 程 是 注 意到 验 根 解 决 （ 3） 时 ， 根 据 勾 股 定 理 和 绳 长 ， 列 出 方 程 是 关 键
