1、2018学 年第 一 学 期 宁 波 市 九 校 联 考 高 二 数 学 试 题参 考 答 案一 、 选 择 题 :本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答 案 A D A C A B B D C C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 小 题 6 分 ， 单 空 题 每 小 题 4 分 ， 共 36 分 。11 ( )0 15， ， 2y x 12 3 1 1 30( , ,
2、 ),8 2 8 813 1， 2 14 15+ 2 ， 72 15 5+216 0, 2 1 17 262, 3 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 。18 （ 本 题 满 分 14分 ）解 :( ） 当 1,33x 时 ， 因 为 ( )f x 在 1,13 上 为 减 函 数 ， 在 1,3 上 为 增 函 数 ， 2分( )f x 在 1,33x 上 最 小 值 为 (1) 2f . 4分当 1,33x 时 ， 由 函 数 1 1( )f x x x a 恒 成 立 ， 得
3、 12 a ， 解 得 12a . 6 分( )若 命 题 q为 真 命 题 ， 则 2 81 3aa ， 解 得 1a ， 8分若 p为 真 命 题 且 q为 假 命 题 ， 则 120 1a a ， 可 得 1 12 a ， 10 分若 p为 假 命 题 且 q为 真 命 题 ， 则 10 21aa ， 此 时 a , 12分由 上 可 知 ， a的 取 值 范 围 为 1 12 a 14分19 （ 本 题 满 分 15分 ）解 ： （ ） 作 CH OAB H OH平 面 于 ， 连, ,HE OA E HF OB F CE CF 作 于 ， 于 连AO 平 面 CEH,BO 平 面 C
4、FH , ,CE OA CF OB CEO 所 以 CFO ,OE OF OEHF 四 边 形 为 正 方 形 ，OH AOB 是 的 角 平 分 线 ， 3分cos cos cosCOE COH EOH 01 2 2cos , cos , 45 ,2 2 2COH COH COH 即04 sin45 2 2.CH 8分( )（ 方 法 1） , ,OA a OB bOC c BC c b a c b 记 = , = , = ,则 = - ,记 - 0( ) cos , ( )= - 4 4 cos60 8,a c b a c b a c b a c a b 又 08 14, 4, cos ,
5、 60 ,4 4 2a c b 即所 以 异 面 直 线 OA与 BC所 成 角 的 大 小 为 060. 15分（ 方 法 2） 以 , ,HF HE HC 所 在 直 线 分 别 为 , ,x y z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则(0,0,2 2), (2,2,0), ( 2,2,0), (2, 2,0)C O A B ,则 ( 4,0,0), ( 2,2,2 2),OA BC 10分设 异 面 直 线 OA与 BC所 成 角 为 , 则cos cos , OA BCOA BC OA BC 2 2 28 124 ( 2) 2 (2 2) 13分060 ,
6、 所 以 异 面 直 线 OA与 BC所 成 角 的 大 小 为 060. 15分（ 用 补 体 法 求 解 同 样 给 分 ）20.(本 题 满 分 15分 )( )在 PBA 中 ， 2PA ， 1AB ， 60PAB ，所 以 2 2 22 1 2 2 1 cos60 3PB ， 3PB ，所 以 2 2 2PB AB PA ， PB AB .因 为 AD BC ， 所 以 , , ,A B C D 四 点 共 面 .又 AD 平 面 PAB ， PB 平 面 PAB ，所 以 AD PB .又 PB AB ， AD AB A ，所 以 PB 平 面 ABCD. 7 分( )(方 法 一
7、 )在 Rt PBC 中 ， 7PC ，在 Rt PAD 中 ， 2 5PD .在 直 角 梯 形 ABCD中 ， 5CD . 9 分在 PDC 中 ， 2 2 2(2 5) ( 5) ( 7) 9cos 102 2 5 5PDC ， 29 19sin 1 ( )10 10PDC .所 以 1 19 192 5 52 10 2PDCS ， 1 4 1 22ACDS . 12 分设 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 为 ， 设 点 A到 平 面 PCD的 距 离 为 h，因 为 A PDC P ACDV V ， 所 以 1 13 3PDC ACDS h S PB ， 即 1 19 1
8、 2 33 2 3h ，所 以 4 319h ， 2 3 2 57sin 1919hPA ， 15分故 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 的 正 弦 值 为 2 5719 .(方 法 二 )由 ( )知 ， BC 平 面 PAB ， BC AB .以 点 B为 坐 标 原 点 ， 以 , ,BA BC BP 所 在 直 线 分 别为 , ,x y z 轴 建 立 如 图 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则(0,0, 3)P ， (1,0,0)A ， (0,2,0)C ， (1 4 0)D ， ， ，所 以 (1,0, 3)PA ，(0,2, 3)PC ， (1,2,0)CD .
9、 9分设 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 为 ，设 平 面 PCD的 一 个 法 向 量 为 ( , , )x y zn ，由 00PCCD nn 得 2 3 02 0y zx y 取 3y ，则 2z ， 2 3x ， 所 以 ( 2 3, 3,2) n . 12分所 以 | 2 3 0 2 3| 2 57sin 19| | | 2 19PAPA nn| ，故 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 的 正 弦 值 为 2 5719 . 15分(方 法 三 )延 长 ,DC AB 相 交 于 点 E， 连 结 PE .因 为 AD BC ， 2AD BC ，所 以 BC为
10、 ADE 的 中 位 线 ，点 ,B C 分 别 为 ,AE DE 的 中 点 .所 以 PDE 为 等 腰 三 角 形 .取 PE 中 点 F ， 连 ,DF AF .所 以 DF PE ， AF PE ， DF AF F ，所 以 PE 平 面 ADF ， 又 PE 平 面 PCD，所 以 平 面 ADF 平 面 PCD.作 AH DF 于 H ， 连 PH ，所 以 AH 平 面 PCD.所 以 APH 就 是 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 . 12分因 为 3AF ， 4AD , 19DF ，所 以 2 2 2AF AD DF ， 所 以 4 319AH .所 以 2
11、3 2 57sin 1919AHAPH AP ，故 直 线 PA与 平 面 PCD所 成 的 角 的 正 弦 值 为 2 5719 . 15分21. （ 本 题 满 分 15 分 ）( ) Q PN点 是 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 的 点 ，QN QP = ， 2 2,QM QN QP QM MP + = + = =,Q M N点 的 轨 迹 是 以 为 焦 点 的 椭 圆 ，2 2 2,2 2,a c= =其 中 2, 1, 1.a c b = = =2 2 1.2xQ y+ =因 此 ， 点 的 轨 迹 方 程 是 5 分( )设 其 中 一 条 直 线 AB的 方 程 为 (
12、1)y k x 代 入 椭 圆 方 程 可 得 ：2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0,k x k x k 222 2(1 )2 1kAB k 8分设 1 1 2 2C(x ,y ),D(x ,y ),则 1 ( 1)2 xkCD:y=- 即 x=-2ky-1,代 入 椭 圆 方 程 可 得 ： (4k2 22) 4 1 0,y ky 设 ,C D到 直 线 AB的 距 离 分 别 为 d1和 d2， 则1 1 2 21 2 221 2 1 2 1 22 21( ) ( ) (2 1)( )1 1kx y k kx y kd d kk x x y y k y yk k 222 4 11kk
13、 12 分2 2 4 2 21 2 2 4 2 4 21 2 1 4 1 4 5 1( ) 2 2 12 2 1 4 4 1 4 4 1k k k k kS AB d d k k k k k 2 21 9 3 22 1 21 8 24 4k k 2 221 1 “ “2k 当 4k = ， 即 k = 时 取 15 分22 （ 本 题 满 分 15 分 ）（ ） 解 ： 切 线 PA的 方 程 为 y-x 21 1 12 ( ),x x x 即 y=2 21 1 ,x x x22 2 .x x x同 理 可 得 ， 切 线 PB的 方 程 为 y=2 4分（ 另 解 ： 21 1( )PA k
14、 x x 设 切 线 的 方 程 为 ： y-x2 2 21 121 1 0( )y x kx x kxk x x 由 消 去 y后 可 得 ： xy-x2 21 1 14 4 0 2k x kx k x 2 21 1 1 1 12 ( ), ,x x x x x x 切 线 PA的 方 程 为 y-x 即 y=222 2 .x x x同 理 可 得 ， 切 线 PB的 方 程 为 y=2 ） 4 分（ ） 证 明 ： 因 为 点 P既 在 切 线 PA上 ， 也 在 切 线 PB上 ，由 （ 1） 可 得 20 1 0 12y x x x ， 20 2 0 22y x x x ， 故 1 2
15、0 2x xx ， 0 1 2y x x .又 点 M 的 坐 标 为 2 21 2 1 2( , )2 2x x x x 6 分所 以 点 N 的 纵 坐 标 为 2 2 21 2 1 21 21( ) ( )2 2 2N x x x xy x x ，即 点 N 的 坐 标 为 21 2 1 2( ,( ) )2 2x x x x 故 N 在 抛 物 线 C上 8分（ ） 解 由 ( )知 ： 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) ( ) 1 ( ) AB x x x x x x x x ，21 2( )| | 2x xPM ， 所 以 22 01 22 21 2 0 01 41 ( )| | 2| | ( ) xx xABPM x x x y 020 04 14 5 3yy y PA BM xyO D 12分设 04 1 11, 3t y ， 则 02 20 04 1 16 16295 3 18 29 18y ty y t t t t 当 29 11, 3t 时 ， 即 当 0 29 14y 时 ， | | |ABPM 的 取 最 大 值 15分
