1、第 24章 圆 压 轴 题 过 关 测 试1 如 图 直 角 坐 标 系 中 ， 以 M（ 3， 0） 为 圆 心 的 M交 x轴 负 半 轴 于 A， 交 x轴正 半 轴 于 B， 交 y轴 于 C、 D（ 1） 若 C点 坐 标 为 （ 0， 4） ， 求 点 A坐 标 （ 2） 在 （ 1） 的 条 件 下 ， 在 M上 ， 是 否 存 在 点 P， 使 CPM=45 ， 若 存 在 ，求 出 满 足 条 件 的 点 P（ 3） 过 C作 M的 切 线 CE， 过 A作 AN CE于 F， 交 M于 N， 当 M的 半径 大 小 发 生 变 化 时 AN的 长 度 是 否 变 化 ？ 若
2、 变 化 ， 求 变 化 范 围 ， 若 不 变 ， 证明 并 求 值 来 源 :Zxxk.Com2 如 图 ， AB是 圆 O的 直 径 ， O为 圆 心 ， AD、 BD是 半 圆 的 弦 ， 且 PDA=PBD 延 长 PD交 圆 的 切 线 BE于 点 E（ 1） 判 断 直 线 PD是 否 为 O的 切 线 ， 并 说 明 理 由 ；（ 2） 如 果 BED=60 ， ， 求 PA的 长 （ 3） 将 线 段 PD以 直 线 AD为 对 称 轴 作 对 称 线 段 DF， 点 F正 好 在 圆 O上 ， 如图 2， 求 证 ： 四 边 形 DFBE为 菱 形 3 如 图 所 示 ，
3、CD为 O的 直 径 ， AD、 AB、 BC分 别 与 O相 切 于 点 D、 E、 C（ AD BC） 连 接 DE并 延 长 与 直 线 BC相 交 于 点 P， 连 接 OB（ 1） 求 证 ： BC=BP；（ 2） 若 DEOB=40， 求 ADBC的 值 ；（ 3） 在 （ 2） 条 件 下 ， 若 S ADE： S PBE=16： 25， 求 四 边 形 ABCD的 面 积 4 如 图 ， 在 ABC中 ， 已 知 AB=BC=CA=4cm， AD BC于 D， 点 P、 Q分 别从 B、 C两 点 同 时 出 发 ， 其 中 点 P沿 BC向 终 点 C运 动 ， 速 度 为
4、1cm/s； 点 Q沿 CA、 AB向 终 点 B运 动 ， 速 度 为 2cm/s， 设 它 们 运 动 的 时 间 为 x（ s） （ 1） 求 x为 何 值 时 ， PQ AC；（ 2） 设 PQD的 面 积 为 y（ cm2） ， 当 0 x 2时 ， 求 y与 x的 函 数 关 系 式 ；（ 3） 当 0 x 2时 ， 求 证 ： AD平 分 PQD的 面 积 ；（ 4） 探 索 以 PQ为 直 径 的 圆 与 AC的 位 置 关 系 ， 请 写 出 相 应 位 置 关 系 的 x的 取 值范 围 （ 不 要 求 写 出 过 程 ） 5 已 知 ： 如 图 ， 在 半 径 为 2的
5、半 圆 O中 ， 半 径 OA垂 直 于 直 径 BC， 点 E与 点F分 别 在 弦 AB、 AC上 滑 动 并 保 持 AE=CF， 但 点 F不 与 A、 C重 合 ， 点 E不与 A、 B重 合 （ 1） 求 四 边 形 AEOF的 面 积 （ 2） 设 AE=x， S OEF=y， 写 出 y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 ， 求 x取 值 范 围 6 如 图 ， 已 知 BC是 O的 弦 ， A是 O外 一 点 ， ABC为 正 三 角 形 ， D为 BC的 中 点 ， M为 O上 一 点 ， 并 且 BMC=60 （ 1） 求 证 ： AB是 O的 切 线 ；（ 2） 若
6、E， F分 别 是 边 AB， AC上 的 两 个 动 点 ， 且 EDF=120 ， O的 半 径为 2， 试 问 BE+CF的 值 是 否 为 定 值 ？ 若 是 ， 求 出 这 个 定 值 ； 若 不 是 ， 请 说 明理 由 7 如 图 ， ABC内 接 于 O， AB=AC， BD为 O的 弦 ， 且 AB CD， 过 点 A作 O的 切 线 AE与 DC的 延 长 线 交 于 点 E， AD与 BC交 于 点 F（ 1） 求 证 ： 四 边 形 ABCE是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 若 AE=6， CD=5， 求 OF的 长 8 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， C=90
7、， BAC的 角 平 分 线 AD交 BC边 于 D 以AB上 某 一 点 O为 圆 心 作 O， 使 O经 过 点 A和 点 D（ 1） 判 断 直 线 BC与 O的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；（ 2） 若 AC=3， B=30 求 O的 半 径 ； 设 O与 AB边 的 另 一 个 交 点 为 E， 求 线 段 BD、 BE与 劣 弧 DE所 围 成 的 阴 影部 分 的 图 形 面 积 （ 结 果 保 留 根 号 和 ）9 如 图 ， CE是 O的 直 径 ， BD切 O于 点 D， DE BO， CE的 延 长 线 交 BD于 点 A（ 1） 求 证 ： 直 线 BC是
8、 O的 切 线 ；（ 2） 若 AE=2， tan DEO= ， 求 AO的 长 10 如 图 ， 在 Rt ABC中 ， A=90 ， O是 BC边 上 一 点 ， 以 O为 圆 心 的 半 圆与 AB边 相 切 于 点 D， 与 AC、 BC边 分 别 交 于 点 E、 F、 G， 连 接 OD， 已 知BD=2， AE=3， tan BOD= （ 1） 求 O的 半 径 OD；（ 2） 求 证 ： AE是 O的 切 线 ；（ 3） 求 图 中 两 部 分 阴 影 面 积 的 和 11 如 图 ， O是 ABC的 外 接 圆 ， AC是 直 径 ， 过 点 O作 OD AB于 点 D，延
9、长 DO交 O于 点 P， 过 点 P作 PE AC于 点 E， 作 射 线 DE交 BC的 延 长线 于 F点 ， 连 接 PF（ 1） 若 POC=60 ， AC=12， 求 劣 弧 PC的 长 ； （ 结 果 保 留 ）（ 2） 求 证 ： OD=OE；（ 3） 求 证 ： PF是 O的 切 线 12 如 图 1在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O1与 x轴 切 于 A（ 3， 0） 与 y轴 交 于 B、C两 点 ， BC=8， 连 AB（ 1） 求 证 ： ABO1= ABO；（ 2） 求 AB的 长 ；（ 3） 如 图 2， 过 A、 B两 点 作 O2与 y轴 的 正 半
10、轴 交 于 M， 与 O1B的 延 长 线 交于 N， 当 O2的 大 小 变 化 时 ， 得 出 下 列 两 个 结 论 ： BM BN的 值 不 变 ； BM+BN的 值 不 变 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 正 确 ， 请 判 断 正 确 结 论 并 证 明 13 已 知 如 图 ， D是 O的 直 径 AB延 长 线 上 一 点 ， DC切 O于 C， 过 D作ED AD与 AC的 延 长 线 相 交 于 E（ 1） 求 证 ： CD=DE；（ 2） 若 tan BAC= ， 求 的 值 ；（ 3） 设 AB=2R， 当 BC=CE时 ， 求 BD的 长 14 如 图 ， 已
11、 知 ： 在 ABC中 ， AB=BC=CA=2， D为 BC延 长 线 上 一 点 ， CD=1，P为 AB上 一 动 点 （ 不 运 动 至 点 A， B） ， 以 PC为 直 径 作 O交 BC于 M， 连接 PD， 交 O于 H， 交 AC于 E， 连 接 PM（ 1） 设 AP=t， S PCD=S， 求 S关 于 t的 函 数 解 析 式 和 t的 取 值 范 围 ；（ 2） 过 D作 O的 切 线 DT， T为 切 点 ， 试 用 含 t的 代 数 式 表 示 DT的 长 ；（ 3） 当 点 P运 动 到 AB中 点 时 ， 求 证 ： 15 已 知 ： 如 图 ， 四 边 形
12、ABCD是 圆 内 接 四 边 形 ， = ， 以 AD为 直 径 作 O交 BA的 延 长 线 于 E， 交 AC于 F（ 1） 求 证 ： AE=AF；（ 2） 设 AB=2， AC=7， 求 AE的 长 16 如 图 ， 已 知 AB是 O的 直 径 ， PC切 O于 C， AD PD， CM AB， 垂 足分 别 为 D， M（ 1） 求 证 ： CB平 分 PCM；（ 2） 若 CBA=60 ， 求 证 ： ADM为 等 边 三 角 形 ；（ 3） 若 PO=5， PC=a， O的 半 径 为 r， 且 a， r是 关 于 x的 方 程 x2 （ 2m+1）x+4m=0的 两 根 ，
13、 求 m的 值 来 源 :Z&xx&k.Com参 考 答 案 与 试 题 解 析1 【 解 答 】 解 ： （ 1） 根 据 题 意 ， 连 接 CM， 又 M（ 3， 0） ， C（ 0， 4） ；故 CM=5， 即 M的 半 径 为 5；所 以 MA=5， 且 M（ 3， 0） ；即 得 A（ 2， 0） ；（ 2） 假 设 存 在 这 样 的 点 P（ x， y） ， 结 合 题 意 ，可 得 CMP为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 CM=PM=5，故 CP=5 ；结 合 题 意 有 ， ；解 之 得 ：、 即 存 在 两 个 这 样 的 点 P；P1（ 7， 3） ， P2（ 1
14、， 3） ；（ 3） AN的 长 不 变 为 6证 明 ： 连 接 CM， 作 MH AN于 H，易 证 AMH MCO，故 AH=MO=3即 AN=HN+AH=3+3=62 【 解 答 】 （ 1） 解 ： 直 线 PD为 O的 切 线证 明 ： 如 图 1， 连 接 OD， AB是 圆 O的 直 径 ， ADB=90 ADO+ BDO=90 ，又 DO=BO， BDO= PBD PDA= PBD， BDO= PDA ADO+ PDA=90 ， 即 PD OD 点 D在 O上 ， 直 线 PD为 O的 切 线 （ 2） 解 ： BE是 O的 切 线 ， EBA=90 BED=60 ， P=3
15、0 PD为 O的 切 线 ， PDO=90在 Rt PDO中 ， P=30 ， ， 解 得 OD=1 PA=PO AO=2 1=1（ 3） （ 方 法 一 ） 证 明 ： 如 图 2， 依 题 意 得 ： ADF= PDA， PAD= DAF PDA= PBD ADF= ABF ADF= PDA= PBD= ABF AB是 圆 O的 直 径 ADB=90设 PBD=x ， 则 DAF= PAD=90 +x ， DBF=2x 四 边 形 AFBD内 接 于 O， DAF+ DBF=180即 90 +x+2x=180 ， 解 得 x=30 ADF= PDA= PBD= ABF=30 BE、 ED是
16、 O的 切 线 ， DE=BE， EBA=90 DBE=60 ， BDE是 等 边 三 角 形 BD=DE=BE又 FDB= ADB ADF=90 30 =60 DBF=2x =60 BDF是 等 边 三 角 形 BD=DF=BF DE=BE=DF=BF， 四 边 形 DFBE为 菱 形（ 方 法 二 ） 证 明 ： 如 图 3， 依 题 意 得 ： ADF= PDA， APD= AFD， PDA= PBD， ADF= ABF， PAD= DAF， ADF= AFD= BPD= ABF AD=AF， BF PD DF PB BE为 切 线 BE PB DF BE 四 边 形 DFBE为 平 行
17、 四 边 形 PE、 BE为 切 线 BE=DE 四 边 形 DFBE为 菱 形3 【 解 答 】 解 ： （ 1） 证 明 ： 连 接 OE， 如 下 图 ， BC、 AB分 别 与 O相 切 于 点 C、 E， OCB= OEB=90 ，在 Rt OCB与 Rt OEB中 ，Rt OCB Rt OEB（ HL） COB= EOB 同 弧 所 对 的 圆 周 角 是 其 所 对 的 圆 心 角 的 一 半 ， COB= COE= CDP， DP OB，又 点 O是 CD的 中 点 ， OB是 CDP的 中 位 线 ， BC=BP图 （ 2） 连 接 OA、 OE、 CE， 如 下 图 所 示
18、 图 CD是 O的 直 径 ， DEC=90 ，又 BC与 O相 切 于 点 C， DEC= OCB=90 ，又 4= 6 DEC OCB， DEOB=OCDC=40 DC=2OCOC2=20， OC=2 ， 又 1= 2， 3= 4， 1+ 4=90 ，又 1+ 5=90 ， 4= 5 ADO OCB ADBC=OCOD=OC2=20即 ： ADBC=20（ 3） AD、 BC分 别 与 O相 切 于 点 D、 C， 如 图 所 示 ， CD AD， CD PC， AD PB ADE BPE = = ， ，即 ： AD= BC= BP又 ADBC=20 BC2=25即 ： BC=5 S四 边
19、 形 ABCD= （ AD+BC） 2OC=OC（ AD+BP）=2 BC=2 5=18即 ： 四 边 形 ABCD的 面 积 为 184 【 解 答 】 解 ： （ 1） 当 Q在 AB上 时 ， 显 然 PQ不 垂 直 于 AC，当 Q在 AC上 时 ， 由 题 意 得 ， BP=x， CQ=2x， PC=4 x； AB=BC=CA=4， C=60 ；若 PQ AC， 则 有 QPC=30 ， PC=2CQ， 4 x=2 2x， x= ；（ 2） y= x2+ x，如 图 ， 当 0 x 2时 ， P在 BD上 ， Q在 AC上 ， 过 点 Q作 QN BC于 N； C=60 ， QC=2
20、x， QN=QC sin60 = x； AB=AC， AD BC， BD=CD= BC=2， DP=2 x， y= PDQN= （ 2 x） x= x2+ x；（ 3） 当 0 x 2时 ， 在 Rt QNC中 ， QC=2x， C=60 ； NC=x， BP=NC， BD=CD， DP=DN； AD BC， QN BC， AD QN， OP=OQ， S PDO=S DQO， AD平 分 PQD的 面 积 ；（ 4） 显 然 ， 不 存 在 x的 值 ， 使 得 以 PQ为 直 径 的 圆 与 AC相 离 ，由 （ 1） 可 知 ， 当 x= 时 ， 以 PQ为 直 径 的 圆 与 AC相 切
21、 ；当 点 Q在 AB上 时 ， 8 2x= ， 解 得 x= ，故 当 x= 或 时 ， 以 PQ为 直 径 的 圆 与 AC相 切 ，当 0 x 或 x 或 x 4时 ， 以 PQ为 直 径 的 圆 与 AC相 交 5 【 解 答 】 解 ： （ 1） BC为 半 圆 O的 直 径 ， OA为 半 径 ， 且 OA BC， B= OAF=45 ， OA=OB，又 AE=CF， AB=AC， BE=AF， BOE AOF S四 边 形 AEOF=S AOB= OBOA=2（ 2） BC为 半 圆 O的 直 径 ， BAC=90 ， 且 AB=AC=2 ，y=S OEF=S四 边 形 AEOF
22、 S AEF=2 AEAF=2 x（ 2 x） y= x2 x+2（ 0 x 2 ） 6 【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： 连 结 OB、 OD、 OC， 如 图 1， D为 BC的 中 点 ， OD BC， BOD= COD， ODB=90 ， BMC= BOC， BOD= M=60 ， OBD=30 ， ABC为 正 三 角 形 ， ABC=60 ABO=60 +30 =90 ， AB OB， AB是 O的 切 线 ；（ 2） 解 ： BE+CF的 值 是 为 定 值 作 DH AB于 H， DN AC于 N， 连 结 AD， 如 图 2， ABC为 正 三 角 形 ， D为 BC的
23、中 点 ， AD平 分 BAC， BAC=60 ， DH=DN， HDN=120 ， EDF=120 ， HDE= NDF，在 DHE和 DNF中 ， DHE DNF， HE=NF， BE+CF=BH EH+CN+NF=BH+CN，在 Rt DHB中 ， DBH=60 ， BH= BD，同 理 可 得 CN= OC， BE+CF= DB+ DC= BC， BD=OBcos30 = ， BC=2 ， BE+CF的 值 是 定 值 ， 为 7 【 解 答 】 （ 1） 证 明 ： AE与 O相 切 于 点 A， EAC= ABC， AB=AC ABC= ACB， EAC= ACB， AE BC，
24、AB CD， 四 边 形 ABCE是 平 行 四 边 形 ；（ 2） 解 ： 如 图 ， 连 接 AO， 交 BC于 点 H， 双 向 延 长 OF分 别 交 AB， CD与 点 N，M， AE是 O的 切 线 ，由 切 割 线 定 理 得 ， AE2=ECDE， AE=6， CD=5， 62=CE（ CE+5） ， 解 得 ： CE=4， （ 已 舍 去 负 数 ） ，由 圆 的 对 称 性 ， 知 四 边 形 ABDC是 等 腰 梯 形 ， 且 AB=AC=BD=CE=4，又 根 据 对 称 性 和 垂 径 定 理 ， 得 AO垂 直 平 分 BC， MN垂 直 平 分 AB， DC，设
25、OF=x， OH=Y， FH=z， AB=4， BC=6， CD=5， BF= BC FH=3 z， DF=CF= BC+FH=3+z，易 得 OFH DFM BFN， ， ，即 ， ， + 得 ： ， 得 ： ，解 得 ， x2=y2+z2， ， x= ， OF= 8 【 解 答 】 解 ： （ 1） 直 线 BC与 O相 切 ；连 结 OD， OA=OD， OAD= ODA， BAC的 角 平 分 线 AD交 BC边 于 D， CAD= OAD， CAD= ODA， OD AC， ODB= C=90 ，即 OD BC又 直 线 BC过 半 径 OD的 外 端 ， 直 线 BC与 O相 切
26、（ 2） 设 OA=OD=r， 在 Rt BDO中 ， B=30 ， OB=2r，在 Rt ACB中 ， B=30 ， AB=2AC=6， 3r=6， 解 得 r=2（ 3） 在 Rt ACB中 ， B=30 ， BOD=60 B=30 ， OD BC， OB=2OD， AB=3OD， AB=2AC=6， OD=2， BD=2S BOD= ODBD=2 ， 所 求 图 形 面 积 为 9 【 解 答 】 解 ： （ 1） 连 接 OD， DE BO， 1= 4， 2= 3， OD=OE， 3= 4， 1= 2，在 DOB与 COB中 ， DOB COB， OCB= ODB， BD切 O于 点 D， ODB=90 ， OCB=90 ， AC BC， 直 线 BC是 O的 切 线 ；（ 2） DEO= 2， tan DEO=tan 2= ，设 ； OC=r， BC= r，由 （ 1） 证 得 DOB COB， BD=BC= r，由 切 割 线 定 理 得 ： AD2=AEAC=2（ 2+2r） ， AD=2 ， DE BO， ， ， r=1， AO=3
