1、2018 年秋 九年级上学期 第 24 章 圆 单元测试卷数 学 试 卷考试时间：120 分钟；满分：150 分学校:_姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分评卷人 得 分 一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1 （4 分）已知O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且AB=8cm，则 AC 的长为（ ）A2 cm B4 cm C2 cm 或 4 cm D2 cm 或 4 cm55532 （4 分）如图，O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC若A=60，ADC=85，则C 的度数是（ ）A25 B27.5 C
2、30 D353 （4 分）已知O 的半径为 5cm，直线 1 上有一点 P，OP=5cm，则直线 1 与O 的位置关系为（ ）A相交 B相离 C相切 D相交或相切4 （4 分）如图所示，AB 是O 的直径，PA 切 O 于点 A，线段 PO 交O 于点 C，连结 BC，若 P=36，则B 等于（ ）A27 B32 C36 D545 （4 分）在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2 成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3 ，点 P 在以 DE为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2 的最小值为（ ）A B
3、 C34 D10102196 （4 分）某同学以一个边长为 1 的正六边形的三个顶点为圆心，边长为半径，向外画了三段圆弧，设计了如图所示的图案则图案外围轮廓的周长为（ ）A2 B3 C4 D67 （4 分）若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ ）A3 B4 C5 D68 （4 分）如图，正六边形螺帽的边长是 2cm，这个扳手的开口 a 的值应是（ ）A2 cm B cm C cm D1cm33329 （4 分）如图，已知圆 O 的半径为 a，点 A，B，C 均在圆 O 上，且 OBAC ，则图中阴影部分的面积是（ ）A （ +）a 2 B a2 C （ +1）a 2 D
4、a26113410 （4 分）如图，在ABC 中，AB=5 ，AC=3 ，BC=4，将ABC 绕 A 逆时针方向旋转40得到ADE，点 B 经过的路径为弧 BD，是图中阴影部分的面积为（ ）A 6 B C 3 D +31492583评卷人 得 分 二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11 （5 分）已知O 的半径为 10cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB=16cm ，CD=12cm ，则弦 AB 和 CD 之间的距离是 cm12 （5 分）如图，在圆 O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于点 C，AD=DC ，则C= 度13
5、（5 分）如图，在正五边形 ABCDE 中，AC 与 BE 相交于点 F，则AFE 的度数为 14 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABAD ，D=30，CD=4，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 E，则阴影部分的面积为 评卷人 得 分 三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15 （8 分）如图，AB、AC 是O 的两条弦，且 AB=AC求证：1=216 （8 分）如图，正三角形 ABC 内接于O ，若 AB= cm，求O 的半径17 （8 分）文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题已知正方形的边长是 2，就能求出图中阴影部分的面积证明：S 矩
6、形 ABCD=S1+S2+S3=2，S 4= ，S 5= ，S 6= + ，S 阴影=S1+S6=S1+S2+S3= 18 （8 分）如图，AB 是 O 的直径，点 D 在O 上，DAB=45，BC AD，CDAB若O 的半径为 1，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） 19 （10 分）已知在ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接 ED（1）求证：ED=EC；（2）若 CD=3，EC=2 ，求 AB 的长320 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 为弦，BAC 的平分线交O 于点 D，过点D 的切线交 AC 的延长线于点 E求证：（1
7、）DEAE；（2）AE +CE=AB21 （12 分）如图，AD 是 O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C（1）求证：CBP=ADB（2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长22 （12 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，对角线 AE 与 BF 相交于点 M，BD 与 CE 相交于点 N（1）求证：AE=FB；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有与ABM 全等的三角形23 （14 分）如图，AB 是 O 的直径，弦 CDAB，垂足为 P，若 AB=2，AC= 3（1）求A 的度数（2）求弧 CBD
8、 的长（3）求弓形 CBD 的面积2018 年秋 九年级上学期 第 24 章 圆 单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 40 分，每小题 4 分）1【分析】先根据题意画出图形，由于点 C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论【解答】解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm， ABCD，AB=8cm，AM= AB= 8=4cm， OD=OC=5cm，21当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm， AM=4cm，CDAB ，OM= = =3cm，2AMO245CM=OC+OM=5+3=8cm ，AC= = =4 cm；2C28当 C 点位置如图 2 所示时，同理
9、可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在 RtAMC 中，AC= = =2 cm2CMA245故选：C【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键2【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出B 以及ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案【解答】解：A=60，ADC=85，B=8560=25 ，CDO=95，AOC=2B=50，C=1809550=35故选：D【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出AOC度数是解题关键3【分析】根据直线与圆的位置关系来判定判断直线和圆的位置关系：直线
10、l 和O相交dr ； 直线 l 和 O 相切d=r；直线 l 和O 相离dr分 OP 垂直于直线 l，OP 不垂直直线 l 两种情况讨论【解答】解：当 OP 垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d=5cm=r，O 与 l 相切；当 OP 不垂直于直线 l 时，即圆心 O 到直线 l 的距离 d5cm=r ，O 与直线 l 相交故直线 l 与O 的位置关系是相切或相交故选：D【点评】本题考查直线与圆的位置关系解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d与圆半径大小关系完成判定4【分析】直接利用切线的性质得出OAP=90，再利用三角形内角和定理得出AOP=54，结合圆周角定理得出答案【
11、解答】解：PA 切O 于点 A，OAP=90，P=36，AOP=54，B=27故选：A【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出AOP 的度数是解题关键5【分析】设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2 即可求出结论【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时PN 取最小值DE=4 ，四边形 DEFG 为矩形，GF=DE，MN=EF ，MP=FN= DE=2，21NP=MNMP=EFMP
12、=1，PF 2+PG2=2PN2+2FN2=212+222=10故选：D【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出 PN 的最小值是解题的关键6【分析】图案外围轮廓的周长=三条弧长之和，利用函数公式计算即可；【解答】解：正六边形的内角= =120，61802扇形的圆心角=360120=240，图案外围轮廓的周长=3 =4，18024故选：C【点评】本题考查正多边形与圆，弧长公式等知识，解题的关键是求出扇形的圆心角，记住弧长公式：l= 180rn7【分析】根据正 n 边形的中心角的度数为 360n 进行计算即可得到答案【解答】解：360n= 1802
13、故这个正多边形的边数为 4故选：B【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键8【分析】根据正六边形的内角度数可得出1=30，再通过解直角三角形即可得出 a21的值，进而可求出 a 的值，此题得解【解答】解：正六边形的任一内角为 120，1=30（如图） ， a=2cos1= ，213a=2 故选：A【点评】本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键9【分析】根据阴影部分的面积=半圆面积+ABC 的面积，计算即可；【解答】解：如图连接 OBOA=OC，OBAC，S ABC =a2，S 半圆 = a2，1S 阴 =a2+ a2
14、=（ +1）a 2，故选：C【点评】本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积；10【分析】根据 AB=5，AC=3，BC=4 和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到AED 的面积= ABC 的面积，得到阴影部分的面积 =扇形 ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可【解答】解：AB=5，AC=3，BC=4，ABC 为直角三角形，由题意得，AED 的面积= ABC 的面积，由图形可知，阴影部分的面积=AED 的面积+扇形 ADB 的面积ABC 的面积，阴影部分的面积=扇形 ADB 的面积= ，9253604故选：B【点评】本题考查的是
15、扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形 ADB 的面积是解题的关键二填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）11【分析】分两种情况进行讨论：弦 AB 和 CD 在圆心同侧；弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解【解答】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图，AB=16cm， CD=12cm，AE=8cm，CF=6cm，OA=OC=10cm，EO=6cm， OF=8cm，EF=OFOE=2cm ；当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图，AB=16cm， CD=12cm，AF=8cm
16、，CE=6cm，OA=OC=10cm，OF=6cm，OE=8cm ，EF=OF+OE=14cmAB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm故答案为：2 或 14【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解12【分析】利用圆周角定理得到ADB=90，再根据切线的性质得ABC=90，然后根据等腰三角形的判定方法得到ABC 为等腰直角三角形，从而得到 C 的度数【解答】解：AB 为直径，ADB=90 ，BC 为切线，ABBC，ABC=90 ，AD=CD，ABC 为等腰直角三角形，C=45故答案为 45【点评】本题考查了
17、切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了等腰直角三角形的判定与性质13【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形，EAB=ABC= =108，51802BA=BC，BAC=BCA=36，同理ABE=36，AFE=ABF+BAF=36+36=72，故答案为：72 【点评】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键14【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得： AEB=90，可得 AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面
18、积与OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以OBE 的面积是ABE 面积的一半，可得结论【解答】解：连接 OE、AE，AB 是O 的直径，AEB=90，四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD=4，B=D=30，AE= AB=2，BE= =2 ，21243OA=OB=OE，B= OEB=30，BOE=120，S 阴影 =S 扇形 OBESBOE ，= ，36021BEA1= ，4= ，3故答案为： 3【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中 30 度角等知识点，能求出扇形 OBE 的面积和ABE 的面积是解此题的关键三解答题（共 9 小题，满分 90 分）15【分析】
19、已知 AB=AC，又 OC=OB，OA=OA，则AOBAOC，根据全等三角形的性质知，1=2【解答】证明：连接 OB、 OCAB=AC，OC=OB，OA=OA，AOBAOC（SSS） 1=2【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题16【分析】利用等边三角形的性质得出点 O 既是三角形内心也是外心，进而求出OBD=30，BD=CD ，再利用锐角函数关系得出 BO 即可【解答】解：过点 O 作 ODBC 于点 D，连接 BO，正三角形 ABC 内接于O ，点 O 即是三角形内心也是外心，OBD=30，BD=CD= BC=
20、AB= ，213cos30= = = ，BD3解得：BO=2，即O 的半径为 2cm【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正多边形内外心的特殊关系得出OBD=30，BD=CD 是解题关键17【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S 矩形 ABCD=S1+S2+S3=2，S4=S2，S 5=S3，S 6=S4+S5，S 阴影面积 =S1+S6=S1+S2+S3=2故答案为：S 2，S 3，S 4，S 5，2【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型18【分析】连接 OD
21、，求出四边形 ABCD 是平行四边形，关键平行四边形的性质求出 DC长，再根据梯形面积公式和扇形面积公式求出即可【解答】解：连接 OD，OA=OD，A=45，A=ADO=45，DOB=90，即 ODAB，BC AD，CDAB，四边形 ABCD 是平行四边形，CD=AB=2S 梯形 OBCD= ，2312ODCB图中阴影部分的面积 S=S 梯形 OBCDS 扇形 OBD= = 6019234【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，能分别求出梯形 OBCD 的面积和扇形 DOB 的面积是解此题的关键19【分析】 （1）由圆内接四边形的性质知B=EDC，根据 AB=AC 即
22、B=C 得EDC=C，即可得证；（2）连接 AE，得 AEBC，结合 AB=AC 知 BC=2EC=4 ，证ABCEDC 即可得3【解答】解：（1）EDC+EDA=180、B +EDA=180，B= EDC ，又AB=AC，B= C，EDC=C，ED=EC ；（2）连接 AE，AB 是直径，AE BC，又AB=AC，BC=2EC=4 ，3B= EDC 、C=C，ABCEDC，AB：EC=BC：CD ，又EC=2 、BC=4 、CD=3，3AB=8【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质20【分析】 （1）连接 OD
23、，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出CAD=ODA，利用“内错角相等，两直线平行” 可得出 AEOD，结合切线的性质即可证出 DEAE；（2）过点 D 作 DMAB 于点 M，连接 CD、DB，根据角平分线的性质可得出 DE=DM，结合 AD=AD、AED=AMD=90即可证出DAE DAM（SAS） ，根据全等三角形的性质可得出 AE=AM，由EAD=MAD 可得出 ，进而可得出 CD=BD，结合DE=DM 可证出 RtDECRtDMB（HL） ，根据全等三角形的性质可得出 CE=BM，结合AB=AM+BM 即可证出 AE+CE=AB【解答】证明：（1）连接 OD，如图 1 所示O
24、A=OD，AD 平分BAC，OAD=ODA，CAD=OAD，CAD=ODA，AE ODDE 是O 的切线，ODE=90 ，ODDE，DEAE （2）过点 D 作 DMAB 于点 M，连接 CD、DB，如图 2 所示AD 平分 BAC，DEAE ，DM AB ，DE=DM在DAE 和 DAM 中， ，ADE90DAE DAM（SAS ） ，AE=AMEAD= MAD， ，CD=BD在 RtDEC 和 RtDMB 中， ，BDCMERtDEC RtDMB（HL） ，CE=BM，AE +CE=AM+BM=AB【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行
25、线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：（1）利用平行线的判定定理找出 AEOD；（2）利用全等三角形的性质找出 AE=AM、CE=BM21【分析】 （1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据切线的性质得到OBC=90，然后利用等量代换进行证明；（2）证明AOPABD，然后利用相似比求 BP 的长【解答】 （1）证明：连接 OB，如图，AD 是O 的直径，ABD=90 ，A+ADB=90，BC 为切线，OBBC，OBC=90，OBA+CBP=90，而 OA=OB，A=OBA，CBP= ADB；（2）解：OP AD ，POA=90，P+ A=90，P=D，AOP ABD，
26、 ，即 ，ABOP124PBP=7【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质22【分析】 （1）证明AFE 与BAF 全等，利用全等三角形的性质证明即可；（2）先证明ABMDEN，同理得出ABMFEMCBN，【解答】证明：（1）正六边形 ABCDEF，AF=EF=AB，AFE=FAB ，在AFE 与BAF 中，FEABAFEBAF（SAS） ，AE=FB；（2）与ABM 全等的三角形有DEN，FEM， CBN；六边形 ABCDEF 是正六边形，AB=DE， BAF=120，ABM
27、=30，BAM=90，同理DEN=30，EDN=90，ABM=DEN，BAM= EDN，在ABM 和 DEN 中，DENABMABM DEN（ASA ） 同理利用 ASA 证明FEMABM，CBNABM【点评】本题考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定，掌握正多边形的性质和全等三角形的判定是解题的关键23【分析】 （1）根据题意可以求得 BC 的长和ACB 的度数，从而可以求得A 的度数；（2）根据（1）中的结果可以求得COD 的度数，从而可以求得弧 CBD 的长；（3）根据图形可知，弓形 CBD 的面积等于扇形 CBD 与COD 的面积之差，从而可以解答本题【解答】解：（1）连接 BC，BD，AB 是直径，ACB=90 ，AB=2，AC= ，3BC=1，A=30；（2）连接 OC，OD ，CDAB、AB 是直径，BOC=2A=60，COD=120，弧 CBD 的长是： ；32180（3）OC=OA=1 ，BOC=60，CP=OCsin60=1 = ，OP=OCcos60= ，221CD=2CP= ，3弓形 CBD 的面积是： 432136012【点评】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理、弧长计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答
