1、第一章单元测试卷(时间：100 分钟 满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ，每小题 3 分，共 30 分)1. 已知ABC 的三边长分别是 3 cm，4 cm ，5 cm，则ABC 的面积是(A)A6 cm 2 B7.5 cm 2 C10 cm 2 D12 cm 22. 如图，字母 B 所代表的正方形的面积是 (C)A12B13C144D1943. 三角形的三条边长分别为 a，b，c，且(ab) 2c 22ab，则这个三角形是( C)A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形4. 已知一直角三角形木板，三边的平方和为 1800，则斜边长为(B)A80 B30 C90
2、 D1205. 下列结论中不正确的是(C)A三个内角之比为 123 的三角形是直角三角形B三条边长之比为 345 的三角形是直角三角形C三条边长之比为 816 17 的三角形是直角三角形D三个内角之比为 112 的三角形是直角三角形6. 如图 ，小明将一张长为 20 cm，宽为 15 cm 的长方形纸(AEDE) 剪去了一角，量得AB3 cm，CD4 cm ，则剪去的直角三角形的斜边 BC 长为( D)A5 cm B12 cm C16 cm D20 cm,第 7 题图) ,第 8 题图) ,第 9 题图)7. 如图，某公司举行周年庆典 ，准备在门口长 25 m，高 7 m 的台阶上铺设红地毯，
3、已知台阶的宽为 3 m，则共需购买红地毯 (C)A21 m 2 B 75 m2 C93 m2 D96 m 28. 如图，已知长方形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交 AD 于E，AD 8，AB4，则 DE 的长为( C)A3 B4 C5 D69. 如图，在三角形 ABC 中 ，D 是边 BC 上的一点，已知AC5， AD6，BD10，CD5，那么三角形 ABC 的面积是( B)A30 B36 C72 D12510. 在ABC 中，AB 15，AC13，高 AD12，则 ABC 的周长是(C)A42 B32 C42 或 32 D30 或 35二、填空题(本大题共 6
4、小题 ，每小题 4 分，共 24 分)11. 在 RtABC 中，C 90 .若 b8，c17，则 SABC 60.12. 在ABC 中，AB5 cm，BC6 cm，BC 边上的中线 AD4 cm，则ADC 的度数是 90.13. 如图，每个小正方形边长为 1，则ABC 边 AC 上的高 BD 的长为 .85,第 13 题图) ,第 14 题图) ,第 16 题图 )14. 如图，已知长方形 ABCD，AB3 cm，AD4 cm，过对角线 BD 的中点 O 作 BD的垂直平分线 EF，分别交 AD，BC 于点 E，F，则 AE 的长为 cm.7815. 李明从家出发向正北方走了 1200 m，
5、接着向正东方向走到离家 2000 m 的地方，则李明向正东方向走了 1600m.16. 如图 ，一块砖的宽 AN5 cm，长 ND10 cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD8 cm.地面上 A 处的一只蚂蚁要到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是 17cm.三、解答题(一)( 本大题共 3 小题 ，每小题 6 分，共 18 分)17. 如图 ，在 RtABC 中，C90，AC3，BC 4，求 AB 的长和ABC 的周长解：由勾股定理得 AB2AC 2BC 23 24 25 2，所以 AB5，ABC 的周长是ACBC AB3451218. 如图，C90，AMCM，MP AB 于点 P，求证：B
6、M 2AP 2BC 2PM 2.证明：因为 BM2BC 2CM 2，CMAM，所以 BM2BC 2AM 2.又AM2AP 2PM 2，所以 BM2BC 2AP 2PM 219. 如图 ，在 ABC 中，AB20，AC15，AD 为 BC 边上的高，且 AD12，求ABC 的周长解：因为 AD 为 BC 边上的高，所以ADB ADC90，在 RtABD 中，AB20 ，AD12，所以 BD2AB 2AD 2，即 BD16，在 RtADC 中，AC15 ，AD12，所以 DC2AC 2AD 2，即 DC9，所以 BC25，所以ABC 的周长是 60四、解答题(二)( 本大题共 3 小题 ，每小题
7、7 分，共 21 分)20. 如图，已知ADC90，AD8，CD6，AB26 ，BC 24.(1)证明：ABC 是直角三角形(2)请求图中阴影部分的面积解：(1)因为在 RtADC 中，ADC90，AD8，CD6，所以AC2AD 2CD 28 26 2100，所以 AC10.在ABC 中，因为AC2BC 210 224 2676，AB 226 2676，所以 AC2 BC2AB 2，所以ABC 为直角三角形 (2)S 阴影 S ABC S ACD 1024 869612 1221. 如图，小明的家位于一条南北走向的河流 MN 的东侧 A 处，某一天小明从家出发沿南偏西 30方向走 60 m 到
8、达河边 B 处取水，然后沿另一方向走 80 m 到达菜地 C 处浇水，最后沿第三方向走 100 m 回到家 A 处问小明到河边 B 处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由解：因为 AB60，BC80，AC100，所以 AB2BC 2AC 2，ABC90.因为ADNM，所以NBABAD30，所以MBC180903060，所以小明在河边 B 处取水后是沿南偏东 60方向行走的22. 学校要征收一块土地，形状如图所示，BD90，AB20 米，BC15 米，CD7 米，土地价格为 1000 元/ 平方米，请你计算学校征收这块地需要多少元？解：连接 AC，在ABC 中，B90，AB20，BC15.由勾股
9、定理得：AC2AB 2BC 220 215 2625.在ADC 中，D90，CD7，由勾股定理得：AD2AC 2CD 26257 2576，AD24，所以四边形的面积为ABBC CDAD234( 平方米) ，2341000234000(元)，所以学校征收这块地需要12 12234000 元五、解答题(三)( 本大题共 3 小题 ，每小题 9 分，共 27 分)23. 如图，ABC 的面积为 84，BC21，现将ABC 沿直线 BC 向右平移a(0a 21)个单位到 DEF 的位置(1)求 BC 边上的高；(2)若 AB10，求线段 DF 的长；连接 AE，当ABE 时等腰三角形时 ，求 a 的
10、值解：(1)作 AMBC 于 M，因为ABC 的面积为 84，所以 BCAM84，解得12AM8 ，即 BC 边上的高为 8(2)在 RtABM 中，BM 2AB 2AM 2，所以 BM6，所以 CMBC BM15，在 Rt ACM 中，AC 2AM 2CM 2，所以 AC17，由平移的性质可知 ，DFAC17；当 AB BE10 时，a BE10；当 ABAE10 时，BE2BM 12，则 aBE 12；当EAEBa 时 ，MEa 6， 在 RtAME 中，AM 2ME 2AE 2，即 82(a6) 2a 2，解得 a ，则当ABE 时等腰三角形时，a 的值为 10 或 12 或253 25
11、324. 我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五” (1)观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，发现这些勾股数的勾都是奇数 ，且从 3 起就没有间断过事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是 (91) ， (91)；勾是五12 12时，股和弦的算式分别是 (251) ， (251) 根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股12 12和弦的算式；(2)根据(1)的规律，请用含 n(n 为奇数，且 n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系(请写出两种) ，并对其中一种猜想加以证明；(3)继续观察 4，3，5；6，8，10；8，15，17；，可以发现
12、各组的第一个数都是偶数 ，且从 4 起也没有间断过运用类似上述探索的方法，直接用 m(m 为偶数，且 m4)的代数式来表示股和弦解：(1) (721)， (721) (2)当 n3，且 n 为奇数时，勾、股、弦分别为：12 12n， (n21) ， (n21)，它们之间的关系为：弦股1，勾 2股 2弦 2，如证明12 12，弦股 (n21) (n21) n2 n2 1 (3) 当 m4，且 m 为偶数时，股、12 12 12 12 12 12弦分别为：( )21，( )21m2 m225. 如图，在ABC 中，ACBC，ACB90 ，点 D，E 是直线 AB 上两点DCE45.(1)当 CEA
13、B 时，点 D 与点 A 重合，求证：DE 2AD 2BE 2；(2)当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE 2AD 2BE 2；(3)当点 D 在 BA 的延长线上时，(2)中的结论是否成立？画出图形，说明理由解：(1)因为 CEAB，所以 AEBE，因为点 D 与点 A 重合，所以 AD0，所以DE2AD 2BE 2 (2)如图，过点 A 作 AFAB，使 AFBE，连接 DF，CF ，因为在ABC 中，AC BC，ACB 90，所以CAB B 45，所以FAC45，所以CAF CBE(SAS)，所以 CFCE，ACFBCE ，因为ACB90，DCE45，所以ACD BCE ACBDCE
14、904545，因为ACF BCE，所以ACD ACF45，即DCF 45，所以DCFDCE，又因为 CDCD，所以CDF CDE(SAS)，所以 DF DE，因为 AD2AF 2DF 2，所以AD2BE 2DE 2(3)结论仍然成立理由：如图，过点 A 作 AFAB，使 AFBE，连接 DF，CF，因为在ABC 中，AC BC，ACB90，所以CAB B45，所以FAC 45， 所以CAF CBE(SAS)，所以 CFCE，ACFBCE，因为BCE ACE 90，所以 ACFACE90，即 FCE 90，因为DCE45，所以DCF 45，所以DCF DCE ，又因为 CDCD，所以CDF CDE(SAS)，所以 DFDE ，因为 AD2AF 2DF 2，所以 AD2BE 2DE 2
