1、 第 1 页 共 19 页【易错题解析】浙教版九年级数学下册 第一章 解直角三角形 单元测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.在 中， , ，AB=5，则 BC 的长为( ) RtABC C=90 B=40A. 5tan40 B. 5cos40 C. 5sin40 D. 5cos40【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】在 RtABC 中，C=90，cosB= ，BCABAB=5， B=40，BC=ABcosB=5cos40.故答案为：B.【分析】根据余弦函数的定义得出 cosB= ，故 BC=ABcosB=5cos40.BCAB2.在 RtABC 中， C=90
2、，sinA= ， 则 tanB 的值为（ ） 35A. B. C. D. 43 45 54 34【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】C=90， sinA= ，35sinA= = ，BCAB35设 AB=5x，BC=3x，AC=4x，tanB = = .ACBC43故答案为：A.【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义即可得出答案.3.在 RtABC 中， C=90，a=3 ，b=4，则 tanB 的值是（ ） A. B. C. D. 43 35 34 45【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】在 RtABC 中，C=90，a=3 ，b=4 ，根据正切
3、的定义知：tanB= .ba=43故选 A.第 2 页 共 19 页4.如图所示,热气球探测器在 A 点处,点 B 为楼顶,点 C 为楼底 ,AD 为水平线,EF 为经过点 A 的铅垂线,则下列说法正确的有( )1 为仰角; 2 为仰角; 3 为俯角; 4 为俯角.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：正确的说法是 2 为仰角， 3 为俯角；故答案为：B【分析】根据仰角与俯角的定义，视线在水平线上方，由视线和水平线所形成的夹角就是仰角；视线在水平线下方，由视线和水平线所形成的夹角就是俯角；根据定义即可一一判
4、定。5.在ABC 中，AB=5，BC=6， B 为锐角且 sinB= ， 则C 的正弦值等于（ ） 35A. B. C. D. 56 23 31313 21313【答案】C 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：过点 A 作 ADBC，sinB= ， 35 = ， ADAB35AB=5，AD=3，BD= =4，AB2-AD2BC=6，CD=2，AC= = ， AD2+CD2 13sinC= = = ， ADAC31331313故选 C第 3 页 共 19 页【分析】过点 A 作 ADBC，根据三角函数的定义得出 AD 的长，再求得 BD、CD，根据勾股定理得出 AC，再由三角函数的定义得出
5、答案即可6.如图，C 岛在 A 岛的南偏东 15方向，C 岛在 B 岛的北偏东 70方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 的度数是（ ）A. 95 B. 85 C. 60 D. 40【答案】A 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：C 岛在 A 岛的南偏东 15方向， FAC=15，C 岛在 B 岛的北偏东 70方向，CBD=BCE=70，FACE，FAC+ACB+BCE=180，15+ACB+70=180，ACB=95，故选 A【分析】根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解7.等腰三角形的底边长 10m，周长为 36cm，则底角的正弦值
6、为（ ） A. B. C. D. 518 516 1315 1213【答案】D 【考点】解直角三角形 第 4 页 共 19 页【解析】【解答】解：如图，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm ，则 AB=AC=13cm，作 ADBC 于 D，AB=AC，BD=CD= BC=5，12在 RtABD 中，AB=13 ，BD=5，AD= =12，132-52tanB= = ADAB1213故选 D【分析】先画出几何图形，AB=AC，BC=10cm，AB+BC+AC=36cm ，则 AB=AC=13cm，作 ADBC 于 D，根据等腰三角形的性质得 BD= BC=5，则利用勾股定理可计
7、算出 AD=12，然后根据正弦的定义求解128.（2017益阳）如图，电线杆 CD 的高度为 h，两根拉线 AC 与 BC 相互垂直， CAB=，则拉线 BC 的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（ ）A. B. C. D. hcoshsin hcos htan【答案】B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：CAD+ACD=90，ACD+BCD=90 ，CAD=BCD，在 RtBCD 中， cosBCD= ，CDBCBC= = ，CDcos BCDhcos第 5 页 共 19 页故选：B【分析】根据同角的余角相等得CAD= BCD，由 cosBCD= 知 BC= = CDBC C
8、Dcos BCD hcos9.如图，在ABC 中， C=90，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD，若 cosBDC= ， 35则 BC 的长是（ ）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm【答案】A 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：C=90，AC=8cm，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D，连接 BD，BD=AD，CD+BD=8，cosBDC= ，CDBD=35 ，CD8-CD=35解得：CD=3，BD=5，BC=4故选 A【分析】根据垂直平分线的性质得出 BD=AD，再利用 cosBDC= ，即可求出 CD 的长，再利用勾股
9、定CDBD=35理求出 BC 的长10.（ 2017广元）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC ，垂足为 F，连结 DF，下列四个结论：AEFCAB；tan CAD= ；DF=DC；CF=2AF，正确的是（ ）2A. B. C. D. 【答案】C 【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形 【解析】【解答】如图，过 D 作 DMBE 交 AC 于 N，第 6 页 共 19 页四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ABC=90，AD=BC，BEAC 于点 F，EAC=ACB， ABC=AFE=90，AEFCAB，故正确；ADBC，AEFCBF， = ，AEBC
10、AFCFAE= AD= BC，12 12 = ，AFCF12CF=2AF，故正确；DEBM，BEDM，四边形 BMDE 是平行四边形，BM=DE= BC，12BM=CM，CN=NF，BEAC 于点 F，DMBE，DNCF，DM 垂直平分 CF，DF=DC，故正确；设 AE=a，AB=b，则 AD=2a，由BAE ADC，有 = ，即 b= a，ba 2ab 2tanCAD= = = 故 不正确；DCADb2a 22正确的有，故答案为：C【分析】只要证明EAC= ACB，ABC=AFE=90即可判断正误；由 ADBC，推出AEFCBF ，推出 AE和 CF 的关系即可判断 正误；只要证明 DM
11、垂直平分 CF，即可证明；设 AE=a，AB=b，则 AD=2a，由BAEADC，求出 a 和 b 的关系，可得 tanCAD 的值即可判断的正误，于是得到四个结论中正确结论.二、填空题（共 10 题；共 30 分）第 7 页 共 19 页11.如图, 在 RtABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sinB 的值是_.【答案】 34【考点】直角三角形斜边上的中线，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 RtABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,AB=2CD=4，则 sinB=ACAB=34故答案为： 【分析】根据直角三角形斜边上的中线长是斜边的一半，可
12、得 AB=2CD=4；而 sin B 的值为B34所对的边 AC 与斜边 AB 长的比值。12.在 RtABC 中， C=90，a，b 分别是A、 B 的对边，如果 sinA：sinB=2：3，那么 a：b 等于_ 【答案】2：3 【考点】互余两角三角函数的关系 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C=90，a，b 分别是A 、B 的对边，c 为C 对的边， sinA= ac，sinB= ，bcsinA：sinB=2 ： 3， ： =2：3，ac bca：b=2：3故答案为 2：3【分析】根据正弦的定义得到 sinA= ，sinB= ，再由 sinA：sinB=2：3 得到 ： =2：3，
13、然后利用比ac bc ac bc例性质化简即可13.在 RtABC 中， C=90，若 AC=5，tanA=2，则 BC=_ 【答案】10 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：tanA= ，BCACBC=ACtanA=52=10故答案是：10【分析】根据已知条件 tanA=2= 可求 BC 的长。BCAC14.（ 2016西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴 ”游客中心 A 处修建通往百米观景长廊 BC的两条栈道 AB，AC若B=56，C=45，则游客中心 A 到观景长廊 BC 的距离 AD 的长约为_第 8 页 共 19 页米（sin560.8 ，tan561.5）【答
14、案】60 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：B=56，C=45 ，ADB=ADC=90 ，BC=BD+CD=100 米，BD= ，CD= ，ADtan56 ADtan45 + =100，ADtan56 ADtan45解得，AD60，故答案为：60【分析】根据题意和图形可以分别表示出 AD 和 CD 的长，从而可以求得 AD 的长，本题得以解决本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答15.（ 2016黔南州）为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为 56 米的路段规划处如图所示的停车位，已知每个车位是长为 5 米，宽为 2 米
15、的矩形，且矩形的宽与路的边缘成 45角，则该路段最多可以划出_个这样的停车位（取 =1.4，结果保留整数） 2【答案】19 【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：如图， CE=2， DE=5，且BCE= CBE=ABD=ADB=45，BE=CE=2，BD=DE BE=3，BC=2sin45=2 ，AB=（5 2）sin45=（5 2） = ，222 322设至多可划 x 个车位，依题意可列不等式2 x+ 56，2322将 =1.4 代入不等式，化简整理得，28x539，2第 9 页 共 19 页解得 x19 ，因为是正整数，所以 x=19，14所以这个路段最多可以划出 1
16、9 个这样的停车位故答案为：19【分析】如图，根据三角函数可求 BC，AB，设至多可划 x 个车位，依题意可列不等式 2 x+（5 2） 22256，解不等式即可求解考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算16.如图，ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 tanA=_.【答案】 12【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：由图可计算得到 tanA= 2412故答案是 12【分析】锐角三角函数的定义17.在 RtABC 中， C=90，AB=10，sinA= ，则 BC=_ 35【答案】6 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：sin
17、A=CB：AB=CB：10= ， CB=635故答案为：6【分析】根据正弦定义：对边：斜边=正弦可得答案18.如图，小明在一块平地上测山高，先在 B 处测得山顶 A 的仰角为 30，然后向山脚直行 100 米到达 C处，再测得山顶 A 的仰角为 45，那么山高 AD 为_ 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，1.414， ， 1.732）2 3第 10 页 共 19 页【答案】137 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，ABD=30 ，ACD=45，BC=100m，设 AD=xm，在 RtACD 中， tanACD= ， ADCDCD=AD=x，BD=BC+CD=x+100，在 Rt
18、ABD 中，tan ABD= ， ADBDx= （x+100），33x=50（ +1）137，3即山高 AD 为 137 米故答案为 137【分析】根据仰角和俯角的定义得到ABD=30 ，ACD=45，设 AD=xm，先在 RtACD 中，利用ACD 的正切可得 CD=AD=x，则 BD=BC+CD=x+100，然后在 RtABD 中，利用 ABD 的正切得到 x= （x+100），解33得 x=50（ +1），再进行近似计算即可319.如图，测量河宽 AB（假设河的两岸平行），在 C 点测得ACB=30 ，D 点测得 ADB=60，又CD=100m，则河宽 AB 为_m （结果保留根号）【答
19、案】50 3【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：ACB=30 ， ADB=60，CAD=30，AD=CD=100m，在 RtABD 中，AB=ADsinADB=100 =50 （m）32 3故答案是：50 3【分析】根据解直角三角形中正切的定义，得到 AB=ADsinADB 的值.20.如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km ， 某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）第 11 页 共 19 页为_km 【答案】2 【考点】解直角三角形的应用方向角问题
20、【解析】【解答】如图，过点 A 作 ADOB 于 D.在 RtAOD 中，ADO=90，AOD=30，OA=4km ， AD= OA=2km 在 RtABD 中， ADB=90， B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=2km ， AB= AD=2 km 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km 故答案为 2 km 【分析】过点 A 作 ADOB 于 D.先解 RtAOD ， 得出 AD= OA=2km ， 再由 ABD 是等腰直角三角形，得出 BD=AD=2km ， 则 AB= AD=2 km 三、解答题（共 10 题；共 60 分）21.（ 2016丹东）计算： 4sin6
21、0+|3 |（ ） 1+（ 2016） 0 1212【答案】解：4sin60+|3 |（ ） 1+（ 2016） 01212=4 +2 32+132 3第 12 页 共 19 页=2 +2 43 3=4 4 3【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值 【解析】【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式4sin60+|3 |（ ） 1+（ 2016） 0 的值是多少即可（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，1212解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括
22、号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a 0=1（a0）；0 01（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a p= （a0 ，p 为正整数）；计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数1ap幂的意义计算；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30、45 、60角的各种三角函数值22.如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线 AB 长 100 米，风筝线与水平线的夹角 =37，小
23、王拿风筝线的手离地面的高 AD 为 1.5 米，求风筝离地面的高度 BE（精确到 0.1 米）【答案】解：AB=100 米，=37，BC=ABsin=100sin37，AD=CE=1.5 米，BE=BC+CE=100sin37+1.51000.60+1.5=61.5（米），答：风筝离地面的高度 BE 为：61.5 米 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据正弦函数的定义，由 BC=ABsin得出 BC 的长，根据矩形的性质得出 AD=CE，根据线段的和差即可得出答案。23.如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段
24、时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离（参考第 13 页 共 19 页数据： 2.449，结果保留整数）6【答案】解：作 PCAB 交于 C 点，由题意可得APC=30 ， BPC=45，AP=80（海里）在 RtAPC 中，PC=PAcos APC=40 （海里）3在 RtPCB 中，PB= 98（海里）PCcos BPC= 403cos45=406答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】构造直角三角形，作 PCAB 交于 C 点；由方位角易知APC=30，
25、BPC=45，则根据解直角三角形的知识解答即可24.如图，小明到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它经过了 200 m，缆车行驶的路线与水平夹角=16，当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆车由点 B 到点D 的行驶路线与水平夹角 =42，求缆车从点 A 到点 D 垂直上升的距离（结果保留整数）（参考数据：sin160.27，cos160.77，sin420.66，cos420.74）【答案】解：如图，第 14 页 共 19 页在 Rt 中，斜边 AB=200 米， =16，（m），在 Rt 中，斜边 BD=200 米，=42，因此缆车垂
26、直上升的距离应该是 BC+DF=186（米）答：缆车垂直上升了 186 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】在 Rt ABC 中，利用正弦函数的定义由 BC=ABsin得出 BC 的长，在 Rt BDF 中，利用正弦函数的定义由 DF=BDsin得出 BC 的长，根据线段的和差即可得出答案。25.我校的北大门是由相同菱形框架组成的伸缩电动推拉门，如图是大门关闭时的示意图，此时 菱形的边长为 0.5m，锐角都是 50.求大门的宽（结果精确到 0.01，参考数据：sin250.422 6，cos250.906 3）.【答案】解：如图，取其中一个菱形 ABCD 根据题意，得BA
27、D =50，AB =0.5 米在菱形 ABCD 中，AC BD ， BAO=25，在 RtABO 中， BO=sinBAOAB=sin250.5 =0.2113（米）大门的宽是：0.2113306.34（米）答：大门的宽大约是 6.34 米 【考点】菱形的性质，解直角三角形的应用 第 15 页 共 19 页【解析】【分析】由菱形对角线的性质知 ACBD，从而在 RtABO 中根据三角函数知识求出 BO 的长，大门的长也就得以求出。26.如图，在一笔直的海岸线上有 A、B 两个观测点，B 在 A 的正东方向，AB 4km 从 A 测得灯塔 C 在北偏东 60的方向，从 B 测得灯塔 C 在北偏西
28、 27的方向，求灯塔 C 与观测点 A 的距离（精确到0.1km）(参考数据:sin270.45 ，cos270.90，tan270.50 ， 1.73)3【答案】解：如图，过点 C 作 CDAB，则BCD=27，ACD=60，在 RtBDC 中，由 tanBCD= ，BDCDBD=CDtan27=05CD 在 RtADC 中，由 tanACD= ADCDAD=CDtan60= CD3AD+BD= CD+05CD=4，3CD= 43+0.5在 RtADC 中，ACD=60 ，CAD=30，AC=2CD= 3683+0.5灯塔 C 与观测点 A 的距离为 36km【考点】解直角三角形的应用方向角
29、问题 【解析】【分析】过点 C 作 CDAB，则BCD=27，ACD=60，在 RtBDC 中，根据正切函数的定义，由tanBCD= ,得出 BD=CDtan27=05CD，在 RtADC 中，根据正切函数的定义，由 tanACD= 得出BDCD ADCDAD=CDtan60= CD根据 AD+BD=4 列出方程，求解得出 CD 的长，在 RtADC 中，根据含 30角的直角3三角形的边之间的关系得出 AC 的长。27.小明在热气球 A 上看到横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 45，36已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m请求出热气球离地面的高度（结
30、果保留小数点后一位）参考数据：tan360.73第 16 页 共 19 页【答案】解：作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 xm，由题意得， ABD=45，ACD=36在 RtADB 中， ABD=45，DB=xm在 RtADC 中，ACD=36，tanACD= ，ADCD =0.73，xx+100解得：x270.4答：热气球离地面的高度约为 270.4m【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，根据题意可得出ADB 是等腰直角三角形，可得出DB=AD=x，则 DC=x+100，再在 RtADC 中，利用锐角三角形函数的定义
31、，可求出 AD 的长。28.如图，某次中俄“ 海上联合”反潜演习中，我军舰 A 测得潜艇 C 的俯角为 30位于军舰 A 正上方 1000米的反潜直升机 B 侧得潜艇 C 的俯角为 68试根据以上数据求出潜艇 C 离开海平面的下潜深度（结果保留整数参考数据：sin680.9，cos680.4 ，tan682.5 ， 1.7）3【答案】解：过点 C 作 CDAB ， 交 BA 的延长线于点 D ， 第 17 页 共 19 页则 AD 即为潜艇 C 的下潜深度，根据题意得： ACD=30， BCD=68，设 AD=x ， 则 BD=BA+AD=1000+x ， 在 RtACD 中， CD= = =
32、 ADtan ACDxtan300 3x在 RtBCD 中，BD=CDtan68，325+x= tan683x解得：x100 米，潜艇 C 离开海平面的下潜深度为 100 米【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】利用锐角三角函数解直角三角形，做 CDAB，垂足为点 D，因为海平面与 AC 的夹角为，所以CAD= ，即 DC= AD，设 AD=x，在 RtBCD 中，BD=1000+x，因为 BCD= ，用BCD30 60 3 68的正切可求出 x 的值，即 AD 的值.29.如图，书桌上的一种新型台历和一块主板 AB、一个架板 AC 和环扣（不计宽度，记为点 A）组成，其侧面示意图为AB
33、C，测得 ACBC，AB=5cm，AC=4cm ，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点 C 至 C，当C=30时，求移动的距离即 CC的长（或用计算器计算，结果取整数，其中 =1.732， 3=4.583） 21【答案】解：过点 A作 ADBC，垂足为 D 在ABC 中， ACBC，AB=5cm，AC=4cm，BC=3cm当动点 C 移动至 C时，AC=AC=4cm在ADC 中，C=30，ADC=90，AD= AC=2cm，CD= AD=2 cm在ADB 中， ADB=90，AB=5cm，AD=2cm，BD= = cm，第 18 页 共 19 页CC=CD+BDBC=2 + 3， =1
34、.732， =4.583，CC=21.732+4.58335故移动的距离即 CC的长约为 5cm【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过点 A作 ADBC，垂足为 D，先在ABC 中，由勾股定理求出 BC=3cm，再解 RtADC，得出 AD=2cm，CD=2 cm，在 RtADB中，由勾股定理求出 BD= cm，然后根据3 21CC=CD+BDBC，将数据代入，即可求出 CC的长30.（ 2014葫芦岛）油井 A 位于油库 P 南偏东 75方向，主输油管道 AP=12km，一新建油井 B 位于点 P 的北偏东 75方向，且位于点 A 的北偏西 15方向（1 ）求 PBA；（2 ）求 A，B 间的距离；（3 ）要在 AP 上选择一个支管道连接点 C，使从点 B 到点 C 处的支输油管道最短，求这时 BC 的长（结果保留根号） 【答案】解：如图：（1）BPA=152=30，BAP=7515=60，PBA=1803060=90；（2 ） AB=APsin30=12 =6km；12（3 ）过 B 作 BCAP，BC=ABsin60=6 =3 32 3第 19 页 共 19 页【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】（1）根据方向角进行解答；（2 ）利用三角函数解答；（3 ）作出 AP 上的垂线解答
