1、 第 1 页 共 17 页【易错题解析】冀教版九年级数学下册 第 30 章二次函数 单元检测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.将抛物线 y= x26x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） 12A. y= （x 8） 2+5 B. y= （x 4） 2+5 C. y= （x 8） 2+3 D. y= （x4 ） 2+312 12 12 12【答案】D 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：y= x26x+2112= （x 212x）+2112= （x6 ） 236+2112= （x6） 2+3，12故 y= （x6） 2+3，向左平移 2 个单
2、位后，12得到新抛物线的解析式为：y= （x 4） 2+312故答案为：D【分析】考查二次函数的平移变化；需要将二次函数化成顶点式 ， 由向左平移 2 个y=a(x-h)2+k单位，则顶点式中（x-h）写成 “（x-h+2）”即可。2.函数 是二次函数的条件是（ ） y=(m-n)x2+mx+nA. m、n 是常数，且 m B. m、n 是常数，且 mnC. m、n 是常数，且 n D. m、n 可以为任何常数【答案】B 【考点】二次函数的定义 【解析】【分析】根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可【解答】由题意得m-n0 且 m,n 都是常数，所以 mn，故选 B.【点评】解答本题的关键
3、是掌握好二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c( ， a、b、c 为常数)，尤其注a 0意不能忽视二次项系数 a 0 第 2 页 共 17 页3.已知二次函数的图象（0x3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最小值 0，有最大值 3 B. 有最小值 1，有最大值 0C. 有最小值 1，有最大值 3 D. 有最小值1，无最大值【答案】C 【考点】二次函数的性质，二次函数的最值 【解析】 【 分析 】 根据函数图象自变量取值范围得出对应 y 的值，即是函数的最值【解答】根据图象可知此函数有最小值-1，有最大值 3故选 C【 点评 】 此题主要考查了根据函数
4、图象判断函数的最值问题，结合图象得出最值是利用数形结合，此知识是部分考查的重点4.抛物线 与 轴的交点坐标是（ ） y=(x-1)2 yA. (0, 1) B. (1, 0) C. (0, -1) D. (0, 0)【答案】A 【考点】二次函数图像与坐标轴的交点问题 【解析】【解答】当 x=0 时，y=1，故抛物线与 y 轴的交点坐标是（0,1），故答案为：A.【分析】根据抛物线与 y 轴相交，横坐标为 0 可求解。5.图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 轴，x建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ，桥拱与桥墩 AC
5、 的交y= -1400(x-80)2+16点 C 恰好在水面，有 AC 轴。若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为（ ）xA. 米 B. 米 C. 米 D. 米16140 174 16740 154【答案】B 第 3 页 共 17 页【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】根据题意，由 ACx 轴，OA=10 米，可知点 C 的横坐标为-10，然后把 x=-10 代入函数的解析式 =- ，即 C 点为（-10，- ），因此可知桥面离水面的高度 AC 为 y= -1400(x-80)2+16 174 174 174m.故答案为：B.【分析】根据由 ACx 轴，OA=10 米
6、，及 C 点的所在的象限可知点 C 的横坐标为-10，将 x=-10 代入函数的解析式可以算出对应的函数值，从而知道桥面离水面的高度 AC 的值。6.已知二次函数 ，当自变量 x 取 m 对应的函数值大于 0，设自变量分别取y= -x2+3x-35m3 ，m3 时对应的函数值为 y1 ， y2 ， 则（ ） A. y10，y 20 B. y10，y 20 C. y10，y 20 D. y10，y 20【答案】D 【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】如图，作出函数 的图象，图象与 x 轴交于 A，B 两点，y= -x2+3x-35令 ，则y= -x2+3x-35=
7、0根据一元二次方程根与系数的关系，AB= 。x1+x2= -3-1=3当自变量 x 取 m 对应的函数值大于 0 时，函数图象位于 A，B 之间，对自变量分别取 m3，m3 时对应的函数值为 y1 ， y2 ， 有 y10，y 20。故选 D。7.如果将抛物线 y=x2+2 向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. y=（x 1） 2+4 B. y=（x+1） 2+4 C. y=x2+1 D. y=x2+4【答案】B 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2+2 向左平移 1 个单位，向上平移 2 个单位，那么所得新抛物线的
8、表达式是 y=（x+1 ） 2+2+2=（x+1） 2+4 故选：B【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题 第 4 页 共 17 页8.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（ a0）的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（ 1，0），其中部分图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A. 4acb 2 B. 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=1，x 2=3；C. 当 y0 时，x 的取值范围是1x3 D. 当 x0 时，y 随 x 增大而增大【答案】C 【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点 【解析】【解答】抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac 0，4
9、acb 2 ， A 不符合题意；抛物线与 x 轴的一个交点是（1 ，0），对称轴是 x=1，抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0 ），方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=1，x 2=3，B 不符合题意；当 y0 时，x 的取值范围是1 x3，C 错误，C 符合题意；抛物线的对称轴是 x=1，开口向下，当 x0 时，y 随 x 增大而增大，D 正确，D 不符合题意，故答案为：C【分析】依据抛物线与 x 轴的交点个数可对 A 作出判断，然后依据抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴的令一个交点的坐标，从而得到方程的两个根，故此可对 B 作出判断，当 y0 时，函数图像位于 x 轴的上方，
10、从而可确定出自变量 x 的取值范围；依据函数图像可得到抛物线的增减性，从而可对 D 作出判断.9.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B（ 1，3 ），与 x 轴的交点 A 在点（3，0 ）和（2，0 ）之间，以下结论：b24ac=0；a+b+c0；2a b=0；ca=3 第 5 页 共 17 页其中正确的有（ ）个A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【考点】根的判别式，二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点，0 ，b24ac 0，故 错误；由于对称轴为 x=1，x=3
11、 与 x=1 关于 x=1 对称，x=3 时，y0，x=1 时，y=a+b+c0，故错误；对称轴为 x= =1，b2a2ab=0，故正确；顶点为 B（1，3），y=ab+c=3，y=a2a+c=3，即 ca=3，故正确；故答案为：（B）【分析】观察函数图像：根据抛物线与 x 轴有两个交点，得出 b24ac0，可对作出判断；根据 x=1 可知 a+b+c 的符号，可对作出判断；根据对称轴为直线 x=-1，可对作出判断；结合顶点坐标及对称轴，可对作出判断，即可得出答案。 第 6 页 共 17 页10.二次函数 （ ）的图像如图所示，下列结论： ；当 y=ax2+bx+c a 0 ac0 x 1时，
12、y 随 x 的增大而减小； ； ； ，其中正确的个2a+b=0 b2-4ac0数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】由图像可知：抛物线开口向上，与 y 轴负半轴相交，a 0，c 0， 错误.由图像可知：当 x=-1 时 y 0，再由函数性质知当 x 1 时，y 随 x 的增大而减少； 当 x=-2 时，4a-2b+c 0.正确.故答案为：B.【分析】由图像可知：抛物线开口向上，与 y 轴负半轴相交，即可得出 a 0，c 0，从而得出 ac 由图像可知：当 x=-1 时 y 0，再由函数性质知当 x 1 时，
13、y 随 x 的增大而减少；从而得出正 确.二、填空题（共 10 题；共 30 分） 第 7 页 共 17 页11.抛物线 经过点 ，那么 _ y=2x2+3x+k-2 (-1,0) k=【答案】3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】把（-1，0）代入 得：y=2x2+3x+k-22-3+k-2=0,解得：k=3.故答案为 3.【分析】根据抛物线上点的坐标特点，把（-1，0）代入 y = 2 x 2 + 3 x + k 2 得出一个关于 k 的一元一次方程，求解即可得出 k 的值。12.抛物线 与 y 轴的交点坐标是_. y=12x2+x-32【答案】（0， ） -32【考点】
14、二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】抛物线与 y 轴的交点，即 x=0，y=- ，32故答案为：（0，- ）32【分析】根据函数与坐标轴交点求出即可.13.若 A（ ， ），B（ ， ），C（1 ， ）为二次函数 y= +4x5 的图象上的三点，-134 y1 -54 y2 y3 x2则 、 、 的大小关系是_ y1 y2 y3【答案】 y2 y1 y3【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】将二次函数 y= +4x5 配方得 ，所以抛物线开口向上，对称轴为x2 y=(x+2)2-9x=2，因为 A、B、C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远，所以 y2 y1 y3故答案为
15、： y2 y1 y3【分析】先将抛物线配成顶点式，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出 A、B、C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远，从而得出 y2 y1 y3 14.将抛物线 y1=x22x1 先向右平移 2 个为单位，再向下平移 1 个单位得到抛物线 y2 ， 则抛物线 y2 的顶点坐标是_ 【答案】y= （x 3） 23 【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解：抛物线 y=x2-2x-1 向右平移 2 个单位，得： y=（x-3） 2-2；再向下平移 1 个单位，得：y=（x-3） 2-2-1=（x-1） 2-3；即 y=（x-3） 2-3；故答案是：y= （
16、 x-3） 2-3 第 8 页 共 17 页【分析】首先将抛物线 y=x2-2x-1 配成顶点式，然后根据平移规律向右平移 2 个单位，得：y= （x-3） 2-2；再向下平移 1 个单位，得：y=（x-3） 2-2-1=（x-1） 2-3；即 y=（x-3） 2-3；从而得出答案。15.若二次函数 y=x2+2m1 的图像经过原点，则 m 的值是_ 【答案】 12【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】解：二次函数 y=x2+2m1 的图像经过点（ 0，0），2m1=0，m= 12故答案为 12【分析】利用二次函数图像上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式得到关于 m 的方程，
17、然后解此方程即可16.如果函数 y=（a1 ）x 2 是二次函数，那么 a 的取值范围是 _ 【答案】a1 或 a1 【考点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：由 y=（a1）x 2 是二次函数，得a10解得 a1，即 a1 或 a1，故答案为：a1 或 a1【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可17.如图，边长为 1 的正方形 ABCO，以 A 为顶点，且经过点 C 的抛物线与对角线交于点 D，点 D 的坐标为_【答案】（ ， ） 3-52 3-52【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，正方形的性质，二次函数与一次函数的综合应用 【解析】【解答】解：A 的坐标是（1，0
18、 ）、C 坐标是（0 ，1），设出解析式是 y=a（x1 ） 2 ， 把 C 的坐标代入得：a（ 1） 2=1， 第 9 页 共 17 页解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=（x1 ） 2；B 的坐标是（ 1，1），设 OB 解析式的解析式是 y=kx，则 k=1，则 OB 的解析式是 y=x根据题意得： ，y=(x-1)2y=x解得： （舍去），或 x=3+52y=3+52 x=3-52y=3-52则 D 的坐标是：（ ， ）3-52 3-52故答案为：（ ， ）3-52 3-52【分析】根据图形首先求得 A、B、C 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线 OB 的解析式，然后
19、两函数解析式联立组成的方程组即可求解。18.抛物线 y=x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 则抛物线的解析式是_ 【答案】y=x 24x+3 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【解答】解：将 x=0、y=3 代入 y=x2+bx+c，得：c=3， 由表可知，抛物线的对称轴 x= =2，b2解得：b= 4，抛物线的解析式为 y=x24x+3，故答案为：y=x 24x+3【分析】将 x=0、y=3 代入解析式求得 c，再根据抛物线的对称轴 x= =2 可得 b，即可得抛物线的解析b2式19.抛物线 y=ax2+
20、bx+c（a，b ， c 为常数，且 a0）经过点（1，0 ）和（m，0），且 1m2 ，当 x 1 时，y 随着 x 的增大而减小下列结论：abc0；a+b0；若点 A（3，y 1），点 B（3，y 2）都在抛物线上，则 y1y 2；a（m1）+b=0； 第 10 页 共 17 页若 c1，则 b24ac4a其中结论错误的是_（只填写序号） 【答案】 【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数与不等式（组）【解析】【解答】解：如图， 抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，b0，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，abc0，所以
21、的结论正确；抛物线过点（ 1，0）和（m，0），且 1m2，0 ，b2a 12 + = 0，a+b0，所以 的结论正确；12 b2a a+b2a点 A（ 3，y 1）到对称轴的距离比点 B（3，y 2）到对称轴的距离远，y1y 2 ， 所以的结论错误；抛物线过点（ 1，0），（m，0），ab+c=0，am 2+bm+c=0，am2a+bm+b=0，a（ m+1）（m 1）+b（m+1）=0，a（m1）+b=0 ，所以的结论正确； c，4ac-b24a 第 11 页 共 17 页而 c1， 1，4ac-b24ab24ac 4a，所以的结论错误故答案为【分析】先根据题意画出抛物线的大致图像，观察函
22、数图像的开口方向、对称轴的位置、抛物线与两坐标轴的位置可知：a0，b 0 ，c0，可对 作出判断；根据抛物线过点（1，0 ）和（m，0），且1 m2 ，结合对称轴方程可得出 a+b0，可对 作出判断；由点 A（ 3，y 1），点 B（3，y 2）都在抛物线上，可根据两点到对称轴的距离远近对作出判断；将（1，0 ），（m，0），分别代入函数解析式，建立方程组，将两方程相减，再将方程变形即可对作出判断；观察图像可知抛物线的顶点纵坐标c，且 c1，建立不等式通过变形可对作出判断。20.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，直角MPN 的顶点 P 与点 O 重合，直
23、角边 PM，PN 分别与 OA，OB 重合，然后逆时针旋转 MPN，旋转角为 （090），PM、PN 分别交AB、 BC 于 E、F 两点，连接 EF 交 OB 于点 G，则下列结论中正确的是_EF= OE； S 四边形 OEBF：S 正方形 ABCD=1：4 ；在旋转过程中，当BEF 与 COF 的面积之和最大时，2AE= ； OGBD=AE2+CF2 34【答案】 【考点】二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，OB=OC，OBE=OCF=45， BOC=90，BOF+COF=90，EOF=90，BOF+COE=90，
24、BOE=COF，在BOE 和COF 中， BOE= COFOB=OC OBE= OCF 第 12 页 共 17 页BOECOF（ASA），OE=OF，BE=CF，EF= OE；故正确；2S 四边形 OEBF=SBOE+SBOE=SBOE+SCOF=SBOC= S 正方形 ABCD ， 14S 四边形 OEBF：S 正方形 ABCD=1：4；故正确；过点 O 作 OHBC，BC=1，OH= BC= ，12 12设 AE=x，则 BE=CF=1x，BF=x，SBEF+SCOF= BEBF+ CFOH= x（1 x）+ （1 x） = （x ） 2+ ，12 12 12 12 12 12 14 93
25、2a= 0，12当 x= 时，S BEF+SCOF 最大；14即在旋转过程中，当BEF 与 COF 的面积之和最大时，AE= ；故错误；14EOG=BOE， OEG=OBE=45，OEGOBE，OE：OB=OG：OE，OGOB=OE2 ， OB= BD，OE= EF，12 22OGBD=EF2 ， 在 BEF 中，EF 2=BE2+BF2 ， EF2=AE2+CF2 ， OGBD=AE2+CF2 故正确故答案为：【分析】根据全等三角形的定义，通过 ASA 判定得出 BOECOF， 以此得出结论。求证 S 四边形 OEBF=SBOC= S 正方形 ABCD， 得出结论。14 第 13 页 共 1
26、7 页设 AE=x，则 BE=CF=1x，BF=x，表示出 SBEF+SCOF， 求出 SBEF+SCOF 最大时的 x 值。证出OEGOBE，由相似三角形的对应边成比例，求证出 OGBD=AE2+CF2。三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.抛物线 y=-x2+bx+c 过点（0，-3）和（2，1 ），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与 x 轴的交点坐标 【答案】解：抛物线 y=-x2+bx+c 过点（0 ，-3 ）和（2 ，1）， ，解得 ，c= -3-4+2b+c=1 b=4c= -3抛物线的解析式为 y=-x2+4x-3，令 y=0，得-x 2+4x-3=0，即 x2-4x+3
27、=0，x1=1，x 2=3，抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0 ）、（3，0 ） 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题 【解析】【分析】运用待定系数法将两点坐标分别代入 y=-x2+bx+c，得到关于 b、c 的方程组，解方程组可求出 b、c 的值。将 y=0 代入求得的解析式中，得一个一元二次方程，解方程所求的未知数的值即是交点横坐标22.如图，用 50m 长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y（m 2）与它与墙平行的边的长 x（m）之间的函数 【答案】解：与墙平行的边的长为 x（m），则垂直于墙的边长为： =（25 0.5x）m，
28、 根据题意得出：y=x（25 0.5x）=0.5x 2+25x 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可23.向上抛掷一个小球，小球在运行过程中，离地面的距离为 y(m)，运行时间为 x(s)，y 与 x 之间存在的关系为 y x23x 2.问：小球能达到的最大高度是多少？ 12【答案】解：a （n+2） 2+2（n+2）+1 ，化简整理得，4n+80， n -2，实数 n 的取值范围是 n -2. 【考点】根的判别式，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式（组） 【解析】【解答】（1）根据图象与
29、x 轴有且只有一个公共点，且对称轴为 x=-1,求得函数的顶点坐标为（ 1，0）；（2 ）解不等式可得出 n -2。【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数与不等式的知识点。27.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0 ）与 x 轴、y 轴分别相交于 A（-1 ，0）、B （3，0）、C（0，3 ）三点，其顶点为 D（1 ）求：经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2 ）求四边形 ABDC 的面积；（3 ）试判断BCD 与COA 是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由 【答案】解：（1）由题意，得： ，a-b+c=09a+3b+c=0c=3 解之，得： ，a=
30、-1b=2c=3 第 16 页 共 17 页y=-x2+2x+3；（2 ）由（1 ）可知 y=-（x-1） 2+4，顶点坐标为 D（1 ，4），设其对称轴与 x 轴的交点为 E，SAOC= |AO|OC|= 13= ，12 12 32S 梯形 OEDC= （|DC|+|DE|）|OE|= （3+4 ）1= ，12 12 72SDEB= |EB|DE|= 24=4，12 12S 四边形 ABDC=SAOC+S 梯形 OEDC+SDEB= + +4=9；3272（3 ） DCB 与AOC 相似，证明：过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 F，D（1， 4），F（0，4 ），RtDFC 中，DC= ，
31、且DCF=45，2在 RtBOC 中， OCB=45，BC=3 ，2AOC=DCB=90，= = ，DCAOBCCO21DCBAOC 【考点】待定系数法求二次函数解析式，图形的剪拼，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）已知 A、B、C 三点坐标，由待定系数可求出抛物线解析式；（2 ）求出顶点坐标，作辅助线把四边形 ABDC 的面积拆为二个三角形面积加上一梯形的面积，从而求出四边形 ABDC 的面积；（3 ）判断BCD 与COA 是否相似，验证是否满足相似比例关系 第 17 页 共 17 页28.如图，在ABC 中，C=90，CD AB，垂足为 D，AC=20，BC=15动点 P 从 A 开
32、始，以每秒 2 个单位长的速度沿 AB 方向向终点 B 运动，过点 P 分别作 AC、BC 边的垂线，垂足为 E、F（1 ）求 AB 与 CD 的长；（2 ）当矩形 PECF 的面积最大时，求点 P 运动的时间 t；（3 ）以点 C 为圆心， r 为半径画圆，若圆 C 与斜边 AB 有且只有一个公共点时，求 r 的取值范围 【答案】（1）在 RtABC 中， AC=20，BC=15又（2 ） APEABC, ， 即 ， 同理可求：设矩形 PECF 的面积为 S，S=“1.2t(20-1.6t)“ ，当 t=6.25 时，S 有最大值.（3 ）当圆与 AB 相切时，r=12，当圆与 AB 相交且只有一个交点时，15r20. 【考点】二次函数的最值，直线与圆的位置关系，相似三角形的应用 【解析】【分析】（1 ）在 RtABC 中，先利用勾股定理求出 AB 的长，然后由面积关系求出 CD 的长；（2 ）由相似关系可以求出 PE、CE 与 t 的关系，矩形 PECF 的面积最大，求点 P 运动的时间 t；（3 ）当圆与 AB 相切时，r=12，当圆与 AB 相交且只有一个交点时，15r20.
